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1、第二节第二节 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量及其几何表示一、向量及其几何表示二、向量的坐标表示二、向量的坐标表示三、向量的模与方向角三、向量的模与方向角四、向量的线性运算四、向量的线性运算五、向量的分向量表示式五、向量的分向量表示式六、小结六、小结 思考题思考题向量向量(vector)：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：一、向量及其几何表示或或向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量 . . 自由向量：自由向量：不考虑起点、终点位置的向量不考虑起点、终点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向
2、相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量，记为大小相等但方向相反的向量，记为 . .空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 二、向量的坐标表示向量在向量在x轴上的投影轴上的投影向量在向量在y轴上的投影轴上的投影向量在向量在z轴上的投影轴上的投影由图分析可知由图分析可知通常用来表示向量的通常用来表示向量的方向方向. .表示向量
3、的表示向量的长度长度向量的向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：特殊地：三、向量的模(modulus)与方向角模长为模长为1 1的向量，记为的向量，记为| | 向量的模（向量的模（大小）大小）：单位向量单位向量(unit vector) ：或或或或非零向量非零向量 的的方向角方向角(direction angle)：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角. .当当 时，时，向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地特殊地单位向量与方向余弦的关系为单位向量与方向余弦的关系为:解解四、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法（平行四边形法则）平行四边形法
4、则）特殊地：若特殊地：若分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则） 向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）(commutativity)(associativity)注：向量的减法注：向量的减法平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则向量加减法的坐标表达式向量加减法的坐标表达式二、向量与数的乘法（数乘）二、向量与数的乘法（数乘）数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：
5、向量与数的乘法的坐标表达式向量与数的乘法的坐标表达式特殊地，一向量与其单位向量的关系为特殊地，一向量与其单位向量的关系为两个向量的平行关系定理证明证明充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得解解设设为直线上的点，为直线上的点，由题意知：由题意知：五、向量的分向量表示式表示向量在表示向量在x、y、z轴上的投影轴上的投影.解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或解解六、小结向量的坐标向量的坐标向量的模与方向角向量的模与方向角（注意分向量与向量的坐标的注意分向量与向量的坐标的区别区别）向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）注意与标量的区别）（三角形法则）三角形法则）（注意数乘后的方向）注意数乘后的方向）向量的分向量表示式向量的分向量表示式思考题思考题思考题思考题1解答解答对角线的长为对角线的长为思考题思考题2. 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.思考题思考题2解答解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案14.14. 15.15. 16. 2.16. 2. 13.13. 四、四、 (-2,3,0)(-2,3,0)； 五、五、三、三、
