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1、北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 4 角平分线角平分线北师大版北师大版 八年级下册八年级下册第第1课时课时 角平分线性质定理及逆定理角平分线性质定理及逆定理1 1 1 1、什么叫角平分线？、什么叫角平分线？、什么叫角平分线？、什么叫角平分线？3 3 3 3、你还记得角平分线上的点有什么性质吗、你还记得角平分线上的点有什么性质吗、你还记得角平分线上的点有什么性质吗、你还记得角平分线上的点有什么性质吗? ? ? ? 2 2 2 2、如何用尺规作角的平分线？、如何用尺规作角的平分线？、如何用尺规作角的平分线？、如何用尺规作角的平分线？如果一条射线把一个角分成两个相等的角，如
2、果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线。那么这条射线叫角的平分线。分别以分别以M，N为圆为圆心大于心大于 MN的长为半的长为半径作弧两弧在径作弧两弧在 AOB的内的内部交于部交于C如何用尺规作角的平分线？如何用尺规作角的平分线？如何用尺规作角的平分线？如何用尺规作角的平分线？A AB BO OMMN NC C作法：作法：以以O为圆心，适当为圆心，适当长为半径作弧，交长为半径作弧，交OA于于M，交交OB于于N作射线作射线OC则则射线射线OC即为所求即为所求 请你说明请你说明OC为什么是为什么是AOB的的平分线平分线, ,并与同桌进行交流并与同桌进行交流. .命题：角平分线上
3、的点到角的两边的命题：角平分线上的点到角的两边的距离距离相等相等条件：一个点在一个角的平分线上条件：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等 已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在 OC上，上，PD OA ，PE OB.求证：求证：PD=PE.PD=PE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)。证明：证明：OC是是AOB的平分线的平分线(已知已知)，1=2(角平分线的定义角平分线的定义)。 PDOA，PEOB(已知已知)，PDO=PEO=90(垂直的定义垂直的定义)。在在PDO和和PEO中，中，PDO=PEO (已证已证)，12
4、(已证已证)，OPOP(公共边公共边)，PDOPEO (AAS)。12ABDEPOC用符号语言表示为：用符号语言表示为：1= 2 PD OA ，PE OBPD=PE.交换定理的条件和结论得到的命题如何叙述？交换定理的条件和结论得到的命题如何叙述？注：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.角平分线性质定理角平分线性质定理: : 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边角的两边距离距离相等相等. .12ABDEPOC你能写出它的逆命题吗？你能写出它的逆命题吗？思考w逆命题逆命题 在角的内部到一个角的两边距离相等的点在角的内部到一个角的两边距离相等的点, , 在这个角的平分线上在这个
5、角的平分线上. .w它是真命题吗它是真命题吗? ?如果是如果是. .请你证明它请你证明它. .已知已知: :如图如图, , 点点P为为AOB内一点，内一点，PDOA, , PEOB, , 垂足分别为垂足分别为D, ,E，且，且PD= =PE. .求证求证: :点点P在在AOB的平分线上的平分线上. .分析分析: :要证明点要证明点P在在AOB的的平分平分线上线上, ,可可以先作出过点以先作出过点P的射线的射线OC, ,然后证明然后证明AOC=BOC. .OCBAPDE证明：PDOA，PEOB， PDO =PEO = 90 在RtODP和RtOEP中, OP=OP，PD=PE， RtODP Rt
6、OEP(HL定理) 1=2(全等三角形对应角相等) 点P在AOB的角平分线上. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.判断下列推理是否正确判断下列推理是否正确（1）如图，）如图，AD平分平分BAC，PEAB，PFAC PE = PF（角平分线上的点到这个角的（角平分线上的点到这个角的 两边距离相等）两边距离相等）（2）如图，）如图， PE = PF AD平分平分BAC （到角两边距离相等的点（到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上）在这个角的平分线上）（3）如图，）如图， 点点P在在BAC 的平分线上的平分线上 PE = PF（角平分线上的点到（角平分线上的点到 这个角
7、的两边距离相等）这个角的两边距离相等）ABCDEFP（对）（对）（错）（错）（错）（错）判断下列推理是否正确判断下列推理是否正确ABCDEFP（4）如图，）如图， PEAB，PFAC AD平分平分BAC（到角两边距离相等（到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上）的点在这个角的平分线上）（错）（错）（5）如图）如图 PEAB，PFAC，PE = PF 点点P在在BAC 的平分线上（到角两边的平分线上（到角两边 距离相等的点在这个角的平分线上）距离相等的点在这个角的平分线上）（对）（对）例例1 如图，在如图，在ABC中，中，BAC=60，点，点D在在BC上，上，AD=10，DEAB，DFAC，垂
8、，垂足分别为足分别为E，F，求，求DE的长的长.ABCDEF解：解：DEAB，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E，F，且，且DE=DF，AD平分平分ABC（在一个角的内部，到角的两（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）边距离相等的点在这个角的平分线上）.又又BAC=60，BAD=30.在在RtADE中，中， AED=90， AD=10，1、已已知知：如如图图1，ABC的的角角平平分分线线BM、CN相交于点相交于点P.ABCMNP图图1求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.定理:三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这一点到到三条边的距离相等。
9、证明：过点证明：过点P作作PD，PE，PF分别垂直于分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为，垂足分别为D，E，F BM是是 ABC的的角平分线角平分线，点，点P在在BM上上 PDPE同理：同理：PEPF PDPEPF即点即点P到三边到三边AB，BC，CA的距离相等的距离相等 ABCMNP图图1DEF求证：求证：P在在A的平分线上的平分线上HEGABCP图图22、 已已知知：如如图图2，PB、PC分分别别是是ABC的的外外角平分线，角平分线， 相交于点相交于点P.证明：作证明：作PE AB，交，交AB延长线于延长线于E。PH BC于于H，PG AC，交，交AC的延长线于点的延长线于点G BP是是
10、角平分线角平分线 PE=PH PC是是角平分线角平分线 PH=PG PE=PG P在在 A的平分线上的平分线上 HEGABCP图图23、如图，某个居民小区、如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在，拟在MN上建造一个大型超市，使得上建造一个大型超市，使得它到它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置的距离相等，请确定该超市的位置P。小区小区CP4 4、在、在平面直角坐标系平面直角坐标系xOy中，边长为中，边长为a（a为大于为大于0 0的常数）的的常数）的正方形正方形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点P，顶点，顶点A在在x轴正半
11、轴正半轴上运动，顶点轴上运动，顶点B在在y轴正半轴上运动（轴正半轴上运动（x轴的正半轴、轴的正半轴、y轴的轴的正半轴都不包含原点正半轴都不包含原点O），顶点），顶点C、D都在第一象限都在第一象限求证：无论点求证：无论点A在在x轴正半轴上、点轴正半轴上、点B在在y y轴正半轴上怎样运动，轴正半轴上怎样运动，点点P都在都在AOB的平分线上；的平分线上；EF证明：作证明：作DEx轴于轴于E,PF y轴于轴于F1.1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等2.2.角平分线的性质定理的逆定理：角平分线的性质定理的逆定理：在角的内部
12、，到一个角的两边的距离相等的点，在这个在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角的平分线上。4.4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径的新途径. .角平分线的逆定理是证明点在直线上角平分线的逆定理是证明点在直线上( (或直线经过某一点或直线经过某一点) )的根据之一的根据之一. .3.3.性质定理和逆定理的关系性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点在角平分线上 点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等1.从教材习题中选取从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题布置作业布置作业布置作业布置作业人类要在竞争中生存，便人类要在竞争中生存，便要奋斗。要奋斗。孙中山孙中山
