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1、. 1 分式方程意义及解法 一、容综述： 1解分式方程的根本思想 在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的可化为一元二次方程分式方程的根本思想也一样，就是设法将分式方程“转化为整式方程即分式方程整式方程 2解分式方程的根本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 产生增根的原因： 当最简公分母等于 0 时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解 检验根的方
2、法： 1将整式方程得到的解代入原方程进展检验，看方程左右两边是否相等。 2为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于 0，就是原方程的根；如果使公分母等于 0，就是原方程的增根。必须舍去 注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0 . 1 用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决*些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素或者叫辅助未知数来解决 辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量， 从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向量转化，
3、这种思维方法就是换元法换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程 用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答 注意： 1换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的根本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 2分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 3无论用什么
4、方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。 . 1 二、例题精析： 例 1解分式方程：。 分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。 解：方程两边都乘以*(*+2)，约去分母，得 *+4-*=2(*+2)+*(*+2) 整理后，得*2+4*=0 解这个方程，得*1=0, *2=-4, 代入公分母检验： 当*1=0 时，*(*+2)=0(0+2)=0, *=0 是增根； 当*2=-4 时，*(*+2)=-4(-4+2)0, *=-4 是原方程的根。 故原方程的根是*=-4。 例 2解方程：。 分析：此题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来用拆分分式的方法， ；考虑方
5、程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。 解： 即 ， 移项，整理，得， . 1 即 ， 亦即 去分母，得(*-6)(*-5)=(*-9)(*-8)，去括号，整理，得*=7. 经检验，*=7 是原方程的根。 原方程的根是*=7。 例 3解方程。 解法 1：方程两边都乘以(*+4)(*+5)(*+2)(*+3)，去分母，得 (*+3)2(*+5)(*+2)-(*+4)2(*+2)(*+3) =(*+1)(*+4)(*+5)(*+3)-(*+2)2(*+4)(*+5) 即 4*+14=0, ， 经检验知是原方程的解。 解法 2：方程两边分别通分，得 ， 即 ， (*+5)(*+4
6、)=(*+2)(*+3) 解得 。 . 1 解法 3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。 原方程可化为 即：， 两边分别通分，得， 解之，得 。 例 4解方程。 解：设， 则原方程变形为 y2-5y+6=0, 解得 y1=2, y2=3, 由=2，解得*1=4; 由，解得*2=3. 经检验*1=4, *2=3，都是原方程的根。 例 5用换元法解方程. 解：设 2*2+3*=y，于是原方程变为 , 整理，得 y2-4y-5=0 解得 y1=5, y2=-1. 当 y=5 时，即 2*2+3*=5, 解得*1=1, , . 1 当 y=-1 时，2*2+3*=-1，解得*3=-1, , 经检验，
7、都是原方程的根。 原方程的根为。 例 6解方程。 分析：利用方程左边构造特点，构造一元二次方程来解。 解：设 ，所以原方程变形为：y+=7, 整理得：y2-7y+10=0 解得 y1=2, y2=5， 当 y1=2 时，即， *1=0, *2=2; 当 y2=5 时， 即*2-5*+9=0 0，此方程无实根 经检验，*1=0, *2=2 是原方程的解。 例 7解方程. 分析： 此方程初看起来容易把， 而实际上 ， 所以 .但是,就是说原方程可变形为 , 变形后才可用换元法解此方程。解：原方程可化为. 1 即, 设, 则原方程可化为：2y2-3y-5=0 解得 y1=-1, y2=, 当 y=-
8、1 时，, 去分母整理，得*2+*+1=0 解这个方程，0, 方程无解。 当 y= 时，, 去分母整理，得 2*2-5*+2=0 解得*1=2, , 经检验，*1=2, 都是原方程的根。 原方程的根是*1=2, 。 注意：切勿把。 例 8假设分式方程有增根*=2，求 a 的值。 分析：将方程的两边同乘以最简公分母(*+2)(*-2)， 得 a(*+2)+1+2(*+2)(*-2)=0，假设分式方程有增根*=2，则*=2 一定是整式方程a(*+2)+1+2(*+2)(*-2)=0 的根，代入之即可求出 a。 解：原分式方程去分母，得 a(*+2)+1+2(*+2)(*-2)=0 . 1 把*=2
9、 代入所得方程，得 4a+1+0=0, a=-, 当 a=-时, *=2 是原分式方程的增根。 测试 选择题 1方程*- =2-的根的情况是 A、 只有一解*=2 B、任意实数都是解 C、无解 D、解为*2 2用换元法解方程 + =，以下变形正确的选项是 A、设=y，原方程变形为 y+ = ，去分母得 2y2+5y+2=0 B、设 =y，原方程变形为 y+ -1= ，去分母得 2y2-7y+2=0 C、设=y，原方程变形为 + = ，去分母得 y2-5y+3=0 D、设 =y，原方程变形为 + =，去分母得 y2-5y+6=0 3如果设 y= -5，则对于方程( -5)2+-13=0，下面变形
10、正确的选项是 A、y2-2y-8=0 B、y2+2y-3=0 C、y2+2y-13=0 D、y2-2y-23=0 . 1 4假设*=1 是方程的增根，则 m 的值为c A、1 B、 -1 C、-3 D、3 5方程会产生增根,则 a 的值为c A、1 B、-2 C、1 或-2 D、以上都不对。 6方程=0 的根是 A、-1 B、2 C、-1 或 2 D、1 或-2 7使分式方程产生增根的 k 的值是 A、0 B、0 或 2 C、1 D、2 8 用换元法解方程 , 设， 则方程变形为 。 A、6y2+5y-38=0 B、6y2+5y-40=0 C、6y2+5y-26=0 D、6y2+5y-50=0
11、 9方程的根为 A、*=2 B、*= C、*=3 D、*=-5,或*=3 10*项工程，甲独做需 a 天，乙独做需 b 天，甲、乙合做完成任务需要的天数是 。 A、 B、 C、a+b D、 . 1 答案与解析 答案：1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、A 8、D 9、D 10、D 解析： 1、答案：选 C。 移项，整理得*=2，但当*=2 时，分母*-2=0，则*=2 为增根，原方程无解。2、答案：2选 D。 3、答案：选 B。 原方程 整理得：， 设 原方程变为：y2+2y-3=0。 4答案：选 C。 原方程两边乘以(*-1)(*-2)得： *2-4+*2+2*-3=m 即：
12、 2*2+2*-7-m=0 则*=1 是方程 2*2+2*-7-m=0 的根，代入*=1 得： 2+2-7-m=0, m=-3. 5.答案：选 C。 两边乘以*(*-1) 得*2+2*-2-a=0, 假设原方程有增根， 则有增根*=1 或*=0， 而*=1 或*=0 是整式方程*2+2*-2-a=0的两根，将*=1 或*=0 代入整式方程 得 a=1 或 a=-2，选 C。 6答案：选 B。 . 1 由，去分母得(*+1)(*-2)=0 得*=-1 或*=2，经检验，*=-1 是增根，则原方程的根为*=2。 7答案：选 A。 分式方程 的增根为*=2 或*=-2， 而*=2 或*=-2，一定是
13、去分母得到的整式方程的解。 原方程两边乘以(*-2)(*+2)得*2-2*-*2+4=k2*+2k2 整理得：(k2+2)*=4-2k2, , 则：， 解得：k=0. 8答案：选 D。 分析：原方程变形为，则原方程变形为6(y2-2)+5y-38=0，整理得：6y2+5y-50=0. 9答案：选 D。 方程两边乘以*2-4 得 15=2*+4+*2-4 即：*2+2*-15=0, 解得：*1=-5 或*2=3， 经检验，*=-5 或*=3 都是原方程的根。 10答案：选 D。 整个工程看成整体 1，则甲，乙的工作效率分别为 ，则合作工作效率为，则甲，乙合作用的时间为。 中考解析 分式方程 .
14、1 考点讲解 1解分式方程的根本思想方法是：把分式方程通过去分母或换元转化成整式方程，然后用解整式方程的方法去求解，但在转化过程中，可能会使分式方程增根，所以最后一定要验根。 2去分母法解分式方程的步骤：1去分母，即方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母，得到一个整式方程；2解这个整式方程；3验根。 3用换元法解分式方程的步骤：1根据分式方程中的特点设*一分式为另一未知字母；2写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程；3解换元所得新方程，求得未知字母的值；4把新未知字母值代入第一步所设的分式，求得原方程未知数的值；5验根。 4分式方程验根的方法：1将解得整式方程的根代入原方程，使方程左右两
15、边相等的未知数的值是原方程的根，否则是增根；2将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于 0，就是原方程的根，反之则为增根。 考题评析 1省一组学生去春游，预计共需费用 120 元，后来又有 2 人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊 3 元，原来这组学生的人数是 A8 B10 C12 D30 考点：分式方程的应用 评析：该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系，此题的等量关系有两个：一个是人数变化，前后的总费用不变，二是增加 2 人后，每人少分摊 3 元。根据条件，依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题,设原来这组学生的人数*人，所以列方程为：，解得*=8
16、,经检验*=8 是原方程的根。 . 1 答案：A 说明：所列方程是一个分式方程，求出结果后必须检验。 2(市)此题 8 分解方程： 考点：分式方程的解法 评析思路：此题可用去分母、化分式方程为整式方程的方法，来解此方程注一定要检验。 答案：*=2 3市方程的解是_。 考点：分式方程的解法 评析：思路：此题运用等式的性质两边乘以*(*1)化分式方程为整式方程，然后求解。 说明：右边的 1 必须乘以*(*1)同时要进展验根。 答案：*2 4(省)解方程：。 考点：分式方程。 评析思路，根据方程的形式可知用换元法解本方程，设，方程变为关于 y的整式方程，然后求解。 说明：分式方程一定要检验。 答案：
17、*=2 或*= . 1 5省用换元法解方程. 考点：分式方程的解法换元法 评析思路：设，原方程可变为关于 y 的一元二次方程是y2-5y-6=0. 该题用换元法变为整式方程将用 y 代替即可。 答案：*= 或*= 6省解方程 + = 时，设 y=, 则原方程可化为： A、5y2+5y-26=0 B、5y2+y-26=0 C、5y2-y-26=0 D、5y2-26y+5=0 考点：换元法解分式方程 评析:原方程是一个分式方程，其中两个分式互为倒数，当设 y=时，原方程变为 y+ = 化简得 5y226y+5=0，所以正确选项是 D 分式方程组的特殊解法 吴行民王爱灵 同学们已经知道，把分式方程的
18、两边同乘以各分母的最简公分母，化为整式方程，是解分式方程的根本思路。而对于一些特殊的分式方程组，我们还可以根据它的特征，采取灵活多变的方法求解。下面以课本习题、中考题和竞赛题为例，介绍解分式方程组的假设干特殊方法与技巧。 一、观察法 . 1 例 1、解关于*的方程： 精讲与解：由限制条件和方程两边 a，b 及*的“对称关系不难看出，当*=ab 时等式成立。而该方程是一个可化为一元一次方程的分式方程，最多只有一个解，故原方程的解是*=ab。 二、拆项法 例 2、解方程：。 精讲与解：先注意，将左边第一个分式“一分为二，就可以避开“去分母而另辟新路。 原方程可化为，即 1=8，这是不可能的，故原方
19、程无解。 试一试：解方程：。 提示：将拆成。 三、添项法 例 3、解方程：。 精讲与解：原方程可化为 。 . 1 即。 。 解之，得*=7。 经检验，*=7 是原方程的解。 试一试：用拆项法来解此题。 四、消去常数法 例 4、解方程组： 精讲与解：两个方程左边的分母都是*+y 和，右边的常数都是 3，因此，消去常数就能得到*、y 之间更为明显的数量关系。 ，得。 去分母、整理，得*=6y。代入，解之得。故*=18。 经检验，是原方程组的解。 五、整体消元法 . 1 例 5、解方程组： 精讲与解： 常规方法是通过换元化为二元一次方程组求解。 如果把 “看成一个整体，代入消元，则更加简捷。 将代入，得，解之，得*=18。 把*=18 代入，得 y=9。 经检验，是原方程组的解。 六、倒数法 例 6、解方程组： 精讲与解：对每一个方程进展取倒数处理，原方程组可化为 +，整理，得 分别减去、，可得 . 1 经检验，它们是原方程组的解。 该题应用两个数相等0 除外，这两个数的倒数也相等这一关系，对原方程组进展简化，从而找到了解题的简捷方法。
