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1、窄带随机过程的定义窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程窄带高斯随机过程Z(t)Z(t)的高斯分布的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程余弦波加窄带高斯过程窄带随机过程窄带随机过程窄带系统窄带系统-很多无线电系统的通频带很多无线电系统的通频带 是比较窄是比较窄的，它们远小于其中心频率的，它们远小于其中心频率 ，这种系统只允许输入信，这种系统只允许输入信号靠近号靠近 附近的频率分量通过，故称为附近的频率分量通过，故称为窄带系统窄带系统。其满。其满足：足：为高频载波。为高频载波。窄带随机过程窄带随机过程-&若一个随机过程的
2、功率谱密度，只分布在高频载波若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波0 0 附近的一个较窄的频率范围附近的一个较窄的频率范围内，且满足内，且满足0 0时，则称该过程为时，则称该过程为窄带随机过程窄带随机过程。记为：。记为：Z( t )Z( t ) 。例：图例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数为以窄带随机过程的功率谱密度函数问题问题:对应于功率谱密度对应于功率谱密度GZ ()的窄带随机过程的窄带随机过程Z(t)的表达的表达式为何？即如何式为何？即如何。1.由由可知可知:若若Gz()占的频带很窄，则占的频带很窄，则ZT()也一定占很窄的也一定占很窄的频带频带,即其系统函数具有与功率转移
3、函数相似的形式即其系统函数具有与功率转移函数相似的形式2.由信号与线性系统可知：由信号与线性系统可知：时域中的一个慢变化信号对一高频时域中的一个慢变化信号对一高频(0)信号调幅变换时信号调幅变换时,信号具有如图所示的频响特征。信号具有如图所示的频响特征。窄带随机过程的时域表达窄带随机过程的时域表达( (一一):):B( t )Z( t )的一个样本函数的一个样本函数 B( t )-窄带随机过程窄带随机过程Z(t)的的包络函数包络函数-慢变化慢变化( t )-窄带随机过程窄带随机过程Z(t)的的相位函数相位函数-慢变化慢变化，B( t ),( t )都是随时间都是随时间 t 慢变化的随机过程。慢
4、变化的随机过程。表达式表达式( (二二) )： 其中：其中： 由于由于与与正交，正交，故称故称X( t )-Z( t )的同相分量的同相分量，Y( t )-Z( t )的正交分量的正交分量。引入表达式引入表达式 2 2 的目的是将的目的是将Z( t )Z( t )分解成两个相互正交的分量，分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。以便于分别分析。表达式表达式1和表达式和表达式2两者间的几何关系：两者间的几何关系：表达式表达式1：表达式表达式2：表达式表达式1：表达式表达式2：问题的提出：问题的提出：平稳窄带过程平稳窄带过程B( t )与与( t )X( t )和和Y( t )统计特性或功率谱密
5、度如何统计特性或功率谱密度如何确定呢？确定呢？一般时域信号一般时域信号S(t)满足共轭对称性，即，满足共轭对称性，即，由此可知：由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。时域实信号正、负频域的频谱可互求。6.2 6.2 解析信号与希尔伯特变换解析信号与希尔伯特变换 1 1 解析信号的引入解析信号的引入- - 仅在正频域有值的复信号仅在正频域有值的复信号. .从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余余的，所以只要保留正频域的频谱，记为余的，所以只要保留正频域的频谱，记为，即可。，即可。时域复信号。时域复信号。Fourier变换变换问题：如
6、何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?窄带随机过程对给定的时域实信号对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为，设构造的时域复信号为其中，其中，为一由为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，构造的信号，其构造方法可为，即，即，H(w w)的设计要求：的设计要求：1要满足使得要满足使得Z(w w)只有正频域频谱；只有正频域频谱；2要使要使z(t)信号与信号与s(t)信号的总能量保持不变。信号的总能量保持不变。故此，故此， H s(t)，称为称为Hilbert变换。变换。由此可得由此可得:Hilbert变换与反变换:H(w w)或或h(t
7、)称为称为Hilbert变换器。变换器。它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。由此方法构造的复信号称为实信号由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的的解析信号解析信号:H全通滤波器全通滤波器90相移器相移器窄带随机过程n性质性质1.H=n性质性质2若若，则，则Hn性质性质3和和x(t)的能量及平均功率相等，即的能量及平均功率相等，即。性质性质4.平稳随机过程平稳随机过程X(t)和其对应的和其对应的Hilbert变换变换的自相关函数满足：的自相关函数满足：性性质5.平平稳随机随机过程程X(t)的互相关函数的互相关函数满足：足：变换后平均功率不
8、变变换后平均功率不变X(t)在同一时刻正交在同一时刻正交为奇函数为奇函数性质性质6.设具有有限带宽设具有有限带宽DwDw的信号的信号a(t)的傅氏变换的傅氏变换A(w w),假定假定，则有则有HH即即: : 幅度调制信号幅度调制信号( (窄带过程窄带过程), ), 仅对载波进行仅对载波进行Hilbert Hilbert 变换变换. .6.3窄带随机过程的性质的功率谱密度的功率谱密度或统计特性或统计特性设设:若若Z(t)是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均零均且功率谱密度满足：且功率谱密度满足： 问题：若已知问题：若已知如何确定如何确定则则X(t)X(t)和和
9、Y(t)Y(t)具有下列性质：具有下列性质：性质性质1X(t)和和Y(t)各自宽平稳且联合宽平稳。各自宽平稳且联合宽平稳。性性质2性质性质3性质性质4性质性质5性质性质6性质性质7性质性质8性质性质9性质性质10性质性质11性质性质12其中，其中，Lp为求等效低通运算。即，令为求等效低通运算。即，令0=0窄带随机过程性质的证明，窄带随机过程性质的证明，p.165168。窄带随机过程的性质的证明与讨论：窄带随机过程的性质的证明与讨论：1.均值均值( (性质性质2)2)由由的条件，可知：的条件，可知：2.相关函数相关函数由由Z(t)的平稳性：的平稳性：可知，可知，Z(t)的自相关函数应该与时间的自
10、相关函数应该与时间t无关，而仅与无关，而仅与有有关。关。即即t可为任何值，而不影响可为任何值，而不影响。故，故，(1)令令t=0，可得：，可得：（2）令令t=/20，可得：，可得：性质性质1. 1. 若若Z(t)Z(t)是宽平稳的是宽平稳的, , 则则X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)也是宽平稳的。也是宽平稳的。v、以及以及、的性质：的性质：性质性质5.5.窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。由上述关系式（由上述关系式（2）-（1），可得），可得性质性质7.7.同相和正交分量的互相关函数为奇函数。同相和正交分量的互相关函数为奇函数。由式（
11、由式（3）同理可得：）同理可得：由互相关函数性由互相关函数性质：性质性质8. 8. 同时刻的同时刻的X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)正交正交 同时刻同时刻互不相关。互不相关。 和和为奇函数为奇函数 性质性质8 8. . 零均窄带平稳随机过程零均窄带平稳随机过程Z(t)Z(t)、X(t)X(t)、Y(t)Y(t)的的平均功率及方差相同平均功率及方差相同。前面假设前面假设窄带平稳随机过程的均值为零窄带平稳随机过程的均值为零，即即:X(t),Y(t),Z(t)的平均功率相同的平均功率相同令令性质性质性质性质4 4证明证明: : 例例6.6 6.6 对于窄带平稳随机过程对于窄带平稳随机过程。若其均
12、值为零，功率谱密度为。若其均值为零，功率谱密度为 其中W, w ，w0都是正实常数。试求:1. Z(t)的平均功率； 2. X(t)的功率谱密度；3. X(t),Y(t)的互相关函数；4. X(t),Y(t)是否正交？解解: , 其中 和所以所以 X(t),Y(t)X(t),Y(t)处处正交处处正交 低通特性对称的窄带过程低通特性对称的窄带过程, , X(t),Y(t)X(t),Y(t)处处正交处处正交. . 一般情况只满足一般情况只满足 同时刻正交同时刻正交 。 窄带随机过程窄带随机过程1. 1. 同相分量同相分量X(t)/X(t)/正交分量正交分量Y(t)Y(t)的概率分布的概率分布由由，
13、可得：，可得：Z(t)为高斯为高斯X(t1)和和Y(t2)也是高斯随机变量。也是高斯随机变量。高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关而严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关,，t的任意性。的任意性。，t的任意性。的任意性。故，故，其中，其中，可替换为可替换为或或。结论结论:零均窄带平稳高斯随机过程零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量，其同相分量X(t)和正交分量和正交分量Y(t)(1)同样是平稳高斯随机过程，且具有一般平稳过程的性质。同样是平稳高斯随机过程，且具有一般平稳过程的性质。同时刻的同时刻
14、的X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)统计独立。统计独立。mx=my=0同时刻的同时刻的X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)不相关不相关高斯过程高斯过程(2)由由同时刻的同时刻的X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)正交正交设设B(t)和和(t)的二维概率密度函数为：的二维概率密度函数为：则，则，2 2Z(t)Z(t)的包络的包络B(t)B(t)和相位和相位(t)(t)的概率分布的概率分布若若Z(t)为零均窄带平稳高斯随机过程，则为零均窄带平稳高斯随机过程，则由边缘分布可得由边缘分布可得。B(t)和和(t)的二维概率密度函数为的二维概率密度函数为:结论结论:零均窄带平稳高斯随机过程：零均窄带平稳
15、高斯随机过程：(1)(1)其包络其包络B(t)B(t)服从瑞利分布，服从瑞利分布，(2)(2)相位相位(t)(t)服从均匀分布。服从均匀分布。(3)(3)B(t)B(t)与与(t)(t)在同一时刻在同一时刻t t是统计独立的。是统计独立的。另外另外:有窄带过程，则必存在非窄带过程。因此，相对于有窄带过程，则必存在非窄带过程。因此，相对于窄带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即：窄带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即：功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或不满足不满足ffffo o条件的）随机过程，称为条件的）随机过
16、程，称为非窄带过程非窄带过程。例例2：求求窄带高斯随机过程窄带高斯随机过程包络平方的概率分布。包络平方的概率分布。设包络的平方为：设包络的平方为：，已知：已知：。求。求。解：解：窄带随机过程窄带随机过程模拟通信系统接收机前端模型模拟通信系统接收机前端模型:加性噪声加性噪声: :平稳窄带零平稳窄带零均高斯过程均高斯过程加白噪声加白噪声其中：其中： 是是0，2上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。S(t)为随相余弦信号为随相余弦信号；。研究余弦信号加窄带高斯过程的重要性。研究余弦信号加窄带高斯过程的重要性。且且:加性噪声加性噪声-平稳窄带零均高斯过程平稳窄带零均高斯过程设合成信号：设合成信号
17、：令：令：其中：其中：。问题：余弦信号加窄带高斯过程之和问题：余弦信号加窄带高斯过程之和R(t)R(t)的包络函数的包络函数B(t)B(t)和相位函数和相位函数(t)(t)的统计特征如何？的统计特征如何？1.包络函数包络函数B(t)的统计特征的统计特征若若给定（即给定（即为一确定值），则为一确定值），则同理同理:在给定在给定的的条件下，条件下，X(t)和和Y(t)为高斯分布为高斯分布,在任意时刻在任意时刻t，随机变量，随机变量Xt和和Yt的联合概率密度函数为：的联合概率密度函数为：利用上式可得利用上式可得由此可求出由此可求出的表达式如下：的表达式如下：包络的条件概率：包络的条件概率：上式与上式
18、与q q 无关，故可得：无关，故可得：上式称为：上式称为：广义瑞利分布或莱斯密度函数广义瑞利分布或莱斯密度函数。若若a=0，则退化为瑞利分布，则退化为瑞利分布。其中，其中，是是零阶修正贝塞尔函数零阶修正贝塞尔函数。其级数形式为。其级数形式为。很小很小,或噪声平均功率或噪声平均功率很大很大a)当当x1时，时，有有即信噪比很大时即信噪比很大时:在慢变化系数因子中在慢变化系数因子中,用用a取代取代Bt,可得可得高斯分布。高斯分布。x1信噪比很小信噪比很小窄带随机过程窄带随机过程代入代入，并求并求积分可得：分可得：，故，相位分布积分较复杂。故，相位分布积分较复杂。窄带随窄带随机过程机过程Z(t)为零均
19、窄带高斯过程，其为零均窄带高斯过程，其。1.由由可知，可知，X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)分别与分别与X XN N(t)(t)和和Y YN N(t)(t)呈线性关系，而且呈线性关系，而且二者分别是均值为二者分别是均值为 和和 窄带高斯过程；窄带高斯过程；2由由可知，可知，B(t)和和(t)与与X(t)和和Y(t)为非线性关系，令为非线性关系，令，则：，则：当当时，时，B(t)为瑞利分布；为瑞利分布；当当和和可比较时，可比较时，B(t)为广义瑞利分布；为广义瑞利分布；当当r较大时，较大时，B(t)趋于正态分布；趋于正态分布； 相位相位(t)分布较复杂。当分布较复杂。当r从从0逐渐变大时，逐渐变大时，从均匀从均匀分布逐渐趋向于正态分布。分布逐渐趋向于正态分布。例：例：余弦信号加窄带高斯随机包络平方的概率分布余弦信号加窄带高斯随机包络平方的概率分布设包包络的平方的平方为：已知：已知：求求。任意时刻任意时刻t的包络平方为：的包络平方为：，。解：解：
