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1、3.2.1立体几何中的向量方法方向向量与法向量1lAP、直线的方向向量直线的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量. .一、方向向量与法向量一、方向向量与法向量22、平面的法向量、平面的法向量AlP平面平面 的向量式方程 换句话说换句话说, ,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量. .3oxyzABCO1A1B1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1
2、)(1,0,0)456 练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.XYZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为7练习 设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.垂直垂直平行平行相交相交8 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和
3、平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系. 用向量方法解决几何问题用向量方法解决几何问题93.2.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法平行关系平行关系10ml一一. 平行关系：平行关系：111213例例1.用向量方法证明用向量方法证明 定理定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行.已知已知 直线直线l与与m相交相交, 14 例例2 四棱锥四棱锥P-ABCD中
4、，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, PD 底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG. 证证 ：如图所示：如图所示, , 建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系. ./AEAE与与FGFG不共线不共线，立体几何法呢？立体几何法呢？M MN N15 例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD 底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，中点， (1)
5、求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG解解1 立体立体几何法几何法连结连结AC交交BD于点于点G，再连结再连结GE.16ABCDP PE EXYZG解解2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG17ABCDP PE EXYZ解解3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：设平面设平面EDB的法向量为的法向量为18ABCDP PE EXYZ解解4：如图所示建立空间直角
6、坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：解得解得 x,19三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点.求证:BC1面AB1D.练习题练习题O立体几何法呢？立体几何法呢？203.2.3立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法垂直关系垂直关系22二、垂直关系：二、垂直关系：lm23lABC2425 例例1 1 四面体四面体ABCDABCD的六条棱长相等的六条棱长相等, AB, AB、CDCD的中点分别是的中点分别是M M、N,N,求证求证MNMNAB, MNAB, MNCD.CD.证证1 1 立立体体几几何何法法MN就是异面直线就是异面
7、直线AB与与CD的的公垂线，公垂线，故异面直线故异面直线AB与与CD的的距离距离就是就是MN.26 例例1 1 四面体四面体ABCDABCD的六条棱长相等的六条棱长相等, AB, AB、CDCD的中点分别是的中点分别是M M、N,N,求证求证MNMNAB, MNAB, MNCD.CD.MNMNAB, AB, 同理同理 MN MNCD.CD.证证2 2 向量法向量法27 例例1 1 四面体四面体ABCDABCD的六条棱长相等的六条棱长相等, , ABAB、CDCD的中点分别是的中点分别是M M、N,N,求证求证MNMNAB, MNAB, MNCD.CD.证证3 3 如图所示建立空间直角坐标系，设
8、如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.AB=2.xyZxy28 练习练习 棱长为棱长为a a 的正方体的正方体 中中,E,E、F F分别是棱分别是棱AB,OAAB,OA上的动点，且上的动点，且AF=BE,AF=BE,求证：求证： OCABOAB CEFzxy 证明：如图所示建立空证明：如图所示建立空间直角坐标系，设间直角坐标系，设AF=BE=b.AF=BE=b.29ABCDPEFXYZ 证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.30ABCDPEFxyz证2：立体立体几几何何法法31A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F 练习练习 正方体正方
9、体中，中，E、F分别分别平面平面ADE. 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以所以x32A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F 练习练习 正方体正方体中，中，E、F分别分别平面平面ADE. 证明证明2：立立体体几几何何法法P33,E,E是是AA1 1中点，中点， 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD. 证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一
10、个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是平面平面C1 1BD. 平面平面EBD34 证明证明2：立立体体几几何何法法E,E,E是是AA1 1中点，中点， 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD. 求证：求证：平面平面EBDO353.2.43.2.4立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法夹角问题夹角问题36夹角问题：夹角问题：lmlm1.异面直线所成角异面直线所成角372、二面角、二面角38注意法向量的方向：注意法向量的方向：同进同出，二面角等同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等一进一
11、出，二面角等于法向量夹角于法向量夹角2、二面角、二面角39夹角问题：夹角问题：PPAl40夹角问题：夹角问题：ll2、线面角、线面角41 解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：所以 与 所成角的余弦值为42解2立立体体几几何何法法43例： 的棱长为 1.解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yzEF44例：的棱长为 1.解解2 立立体体几几何何法法 A1xD1B1ADBCC1yzEFP45 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，
12、作中点，作EF PB交交PB于点于点F. (1)求证：求证：PA/平面平面EDB;(2)(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F46ABCDPEFXYZ(3) 解 建立空间直角坐标系，设DC=1.4748 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EF PB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一个法向量为的一个法向量为：解2如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.
13、平面平面PBD的一个法向量为的一个法向量为：G49 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的中的中点，作点，作EF PB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大的大小。小。ABCDP PE EF F解解3 立体几何法：立体几何法：设设DC=1DC=1，50练习练习 的棱长为 1.解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yz平面平面ABD1的一个法向量为的一个法向量为平面平面CBD1的一个法向量为的一个法向量为51的棱长为 1.解解2 立立体体
14、几几何何法法A1D1B1ADBCC1P523.2.43.2.4立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法距离问题距离问题53(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则则距离问题：距离问题：54(2) 点点P与直线与直线l的距离为的距离为d , 则则距离问题：距离问题：55距离问题：距离问题：(3) 点点P与平面与平面的距离为的距离为d , 则则dd56距离问题：距离问题：(4) 平面平面与与的的距离距离为为d , 则则mDCPA57 例例1 如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的
15、夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD 图图1解：解：如图如图1，所以所以答答: 这个晶体的对角线这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的长是棱长的的 倍。倍。58 练习练习.(.(P107.2P107.2) )如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B B两点，两点， 直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,A
16、C6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD解解159 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B B两点，两点， 直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD解解2 立体几何法立体几何法 P60 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的
17、距离的距离.点点E到直线到直线A1B的距离为的距离为61 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离.解解2 立立体体几几何何法法面积面积法法P62 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.63 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法解解264
18、例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离. 解解1: D1C 面面A1BE D1到面到面A1BE的距离的距离即为即为D1C到面到面A1BE的距离的距离. 仿上例求得仿上例求得D1C到到 面面A1BE的距离为的距离为65 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法解解266 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求
19、面，求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 解解1: 面面D1CB1 面面A1BD D1到面到面A1BD的距离的距离即即 为面为面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离67 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面，求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离.等体积法等体积法解解268 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面，求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离.解解3 立立体体几几何何法法P69 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D1B与与A1E的距离的距离.70
