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1、第一节第一节 二维随机变量二维随机变量二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量课堂练习课堂练习小结小结 布置作业布置作业从本讲起，我们开始第五章的学习从本讲起，我们开始第五章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量 .它是第四章内容的推广它是第四章内容的推广. 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布及其分布. 但
2、有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述需要用几个随机变量来描述. 在打靶时在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对r .v (两个坐标两个坐标)来确定的来确定的. 飞机的重心在空中的位置是飞机的重心在空中的位置是由三个由三个r .v (三个坐标三个坐标)来确定的等来确定的等等等.一般地一般地, 设设 是一个随机试验是一个随机试验,它的样本空间是它的样本空间是设设是定义在是定义在 上的随机变量上的随机变量,由它们构成的一个由它们构成的一个 维向维向量量叫做叫做 维随机向量维随机向量或或 维随机变维随机变量量. 以下
3、重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照 .X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量如果对于任意实数如果对于任意实数二元二元 函数函数称为二维随机变量称为二维随机变量 的的分布函数分布函数, 或者称为随机或者称为随机变量变量 和和 的的联合分布函数联合分布函数.定义定义1设设 是二维是二维随机变量随机变量,一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数 那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点 落在下图所示的落在下图所示的,以点以点 为顶为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率点而位于该点左下
4、方的无穷矩形域内的概率. 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点的看成是平面上随机点的坐标坐标,1、分布函数的函数值的几何解释：、分布函数的函数值的几何解释：X XY Yx yXxYy , (x,y) 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域内的概率为内的概率为（4 4）关于）关于x x或或y y右连续右连续（5 5）对）对 , ,有有或随机变量或随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律. k=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量XX 的分布律的分布律 k=1,2, 定义定义2的值是的值是有限对有限对或或可列无限多对可列无限多对,是是离散型离散型随机变量随机变量.则称则称设二维
5、离散型随机变量设二维离散型随机变量可能取的值是可能取的值是记记如果二维随机变量如果二维随机变量全部可能取到的不相同全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量称之为二维离散型随机变量 的的分布律分布律,二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的分布律分布律具有性质具有性质也可用表格来表示随机变量也可用表格来表示随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律. 例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数 ，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之
6、差的绝对值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=0=3/8=3/8例2 (2002年数学三考研试题十一题第1小题) 设随机变量U在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量试求X和Y的联合概率分布。连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的概率密度函数的概率密度函数定义定义3对于二维随机变量对于二维随机变量 的分布函数的分布函数则称则称 是是连续型的二维随连续型的二维随机变量机变量 ,函数函数 称为二维称为二维（X,Y )的的
7、概率密度概率密度 ,随机变量随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量存在非负的函数存在非负的函数如果如果任意任意 有有使对于使对于 称为随机变量称为随机变量 X 和和 Y 的的联合概联合概 率密度率密度.或或二维连续型随机变量二维连续型随机变量 的的概率密度概率密度具有性质具有性质此此2条性质是条性质是判断判断f(x,y)为概为概率密度函数的率密度函数的充要条件充要条件（X,Y）的概率密度的性质）的概率密度的性质 :在在 f (x,y)的连续点的连续点 ,例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是(1) 求求k和分布函数和分布函数 (2) 求概率求概率 .积分区域积分区域区域区
8、域解解 (1)当当 时时,故故当当 时时,(2) 设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域，其其面面积积为为A.若二维随机变量（若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度具有概率密度则称则称（X,Y）在）在G上服从上服从均匀分布均匀分布. 向向平平面面上上有有界界区区域域G上上任任投投一一质质点点，若若质质点点落落在在G内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与B的的位位置置无无关关. 则则质质点点的的坐标（坐标（ X,Y）在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.例例下面我们介绍两个常见的二维分布：下面我们介绍两个常见的二维分布： 若二维随机变量（若二维
9、随机变量（X,Y）具有概率密度具有概率密度记作（记作（ X,Y）N( )则称（则称（ X,Y）服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.其中其中均为常数均为常数,且且1、 二维随机向量二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05求求:(1)常数常数a的取值的取值; (2)P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1)解解 (1)由pij=1得: a=0.1（2） P(X0,Y1)=P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1) +P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+
10、0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X1,Y1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75练习：练习：2 2、 设(X,Y) 试求:(1)常数 A ;(2)P X2, Y1;解解 (1)所以, A=6=A/6 =1(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.X XY Y0所以,P X2,Y1=21X2, Y1X2, Y1(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.322x+3y=6X XY Y0四、课堂练习四、课堂练习设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度是的概率密度是(1) 确确定定常常数数 (2) 求概率求概率 .解解 (1) 故故(2) .思考题(2003年数学一考研试题填空题) 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为
