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1、1第二章 连续时间信号 第二章第二章 连续时间信号连续时间信号 2.1 连续周期信号的连续周期信号的 Fourier 级数级数 2.2 连续非周期信号的连续非周期信号的 Fourier 变换变换 2第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 2.1 连续周期信号的连续周期信号的 Fourier 级数级数 一、一、问题的提出问题的提出 二二、Fourier 级数的三角形式级数的三角形式 三三、Fourier 级数的指数形式级数的指数形式 五五、有限区间上连续信号的有限区间上连续信号的Fourier级数级数 四四、连续周期信号的连续周期信号的离散频谱离散频谱 3第二章 连续
2、时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 一、一、问题的提出问题的提出 由基频由基频 可以得到如下一系列的简谐波：可以得到如下一系列的简谐波： 基本周期为基本周期为 的连续周期信号的连续周期信号。 对象对象 称称 为为基本频率基本频率( (简称简称基频基频) )。 定义定义 生成周期为生成周期为 的复杂波。的复杂波。 显然，由这些简谐波通过加权叠加显然，由这些简谐波通过加权叠加( (即即线性组合线性组合) )可以可以 这些简谐波都是以这些简谐波都是以 为周期的，即它们均满足：为周期的，即它们均满足： 4第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 一、一、问
3、题的提出问题的提出 ?( ( Fourier级数的历史回顾级数的历史回顾) ) 对于任何一个周期为对于任何一个周期为 的的( (复杂复杂) )信号信号 ， 问题问题 能否：能否： 历史历史 5第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 1. 正交函数系正交函数系 函数系函数系 二二、Fourier 级数的三角形式级数的三角形式 6第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 1. 正交函数系正交函数系 二二、Fourier 级数的三角形式级数的三角形式 特点特点 (1) 周期性周期性 (2) 正交性正交性 7第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信
4、号的 Fourier 级数 2. Dirichlet 定理定理 (1) 连续或只有有限个第一类间断点；连续或只有有限个第一类间断点； (2) 只有有限个极值点只有有限个极值点 . 二二、Fourier 级数的三角形式级数的三角形式 设设 是以是以 为周期的实值信号，在为周期的实值信号，在区间区间 上上 满足如下条件满足如下条件( (称为称为 Dirichlet 条件条件) )： 定理定理 则在则在 的的连续连续点点处有处有 在在 的的间断间断处，上处，上式左端为式左端为 8第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 (A) 其中其中 (1) 称称 (A) 式为式为 Fo
5、urier 级数的三角形式级数的三角形式。 定义定义 2. Dirichlet 定理定理 定理定理 二二、Fourier 级数的三角形式级数的三角形式 (2) 称称 和和 为为 Euler - - Fourier 系数系数。 ( (利利用用正正交交性性) ) 9第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 3. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义 改写改写 二二、Fourier 级数的三角形式级数的三角形式 令令 则则 (A) 式变为式变为 O(A) 10第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 3. Fourier 级数的物理含义级数
6、的物理含义 二二、Fourier 级数的三角形式级数的三角形式 这些简谐波的频率分别为一个基频这些简谐波的频率分别为一个基频 的倍数。的倍数。 这是连续周期信号的一个非常重要的特点这是连续周期信号的一个非常重要的特点。 连续周期信号可以分解为一系列连续周期信号可以分解为一系列固定频率固定频率的简谐波之和的简谐波之和 , 表明表明 的频率成份，其频率是以基频的频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。 认为认为 “ 一个周期为一个周期为 的连续周期信号的连续周期信号 并不包含所有并不包含所有 意义意义 ” 11第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数
7、 3. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义二二、Fourier 级数的三角形式级数的三角形式 这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。 反映了频率为反映了频率为 的简谐波在信号的简谐波在信号 中中振幅振幅 所占有的份额；所占有的份额；相位相位 反映了反映了在在信号信号 中中频率为频率为 的简谐波的简谐波沿时间轴移动的大小。沿时间轴移动的大小。12第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 三三、Fourier 级数的指数形式级数的指数形式 代入代入 (A) 式并整理得式并整理得 由由 Euler 公式有公式有 推导推
8、导 (A) 已知已知 1. 公式推导公式推导 13第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 三三、Fourier 级数的指数形式级数的指数形式 1. 公式推导公式推导 则有则有 令令 其中其中 (B) 称称 (B) 式为式为 Fourier 级数的指数形式级数的指数形式。 定义定义 推导推导 14第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 (1) 分解式具有惟一性。分解式具有惟一性。 说明说明 (3) 在不考虑具体的物理意义在不考虑具体的物理意义( (即纯粹进行数学变换即纯粹进行数学变换) ) 的时候，分解式与系数中指数的正负号可互换。的时候，
9、分解式与系数中指数的正负号可互换。 三三、Fourier 级数的指数形式级数的指数形式 2. 几点说明几点说明 (2) 计算系数计算系数 时时, 其中的积分可以在任意一个长度其中的积分可以在任意一个长度 为为 的区间上进行。的区间上进行。 (4) 采用采用周期延拓周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义技术，可以将结论应用到仅仅定义 在某个有限区间上的信号。在某个有限区间上的信号。 15第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 四四、连续周期信号的连续周期信号的离散频谱离散频谱 1. 离散频谱离散频谱 得得 O分析分析 由由 即即 的模与辐角正好是振幅和相位。的模与辐角
10、正好是振幅和相位。 (2) 称称 为为( (离散离散) )频谱频谱。 (1) 称称 为为振幅谱振幅谱， 称称 为为相位谱相位谱； 定义定义 16第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 四四、连续周期信号的连续周期信号的离散频谱离散频谱 2. 离散频谱图离散频谱图 将振幅将振幅 、相位、相位 与频率与频率 的关系画成图形。的关系画成图形。 OO17第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 四四、连续周期信号的连续周期信号的离散频谱离散频谱 小结小结 频率成份，其频率是以基频频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。 (1)
11、 一个周期为一个周期为 的连续周期信号的连续周期信号 并不包含所有的并不包含所有的 占有的份额，因此通常记为占有的份额，因此通常记为 (2) 系数系数 反映了频率为反映了频率为 的简谐波在信号的简谐波在信号 中所中所 Fourier 第第 一一 对对 傅傅 氏氏 变变 换换 周期周期 连续连续 离散离散 非周期非周期 18第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 (1) 当当 n = 0 时，时， 在在 上上 设信号设信号 以以 为周期，为周期， 求它的求它的例例 离散频谱及其离散频谱及其 Fourier 级数的级数的 指数形式指数形式 O解解 首先求基频首先求基频
12、19第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 (2) 当当 时，时， 解解 在在 上上 设信号设信号 以以 为周期，为周期， 求它的求它的例例 离散频谱及其离散频谱及其 Fourier 级数的级数的 指数形式指数形式 O20第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 解解 (3) 的的 Fourier 级数为级数为 (4) 振幅谱为振幅谱为 相位谱为相位谱为 在在 上上 设信号设信号 以以 为周期，为周期， 求它的求它的例例 离散频谱及其离散频谱及其 Fourier 级数的级数的 指数形式指数形式 O21第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信
13、号的 Fourier 级数 解解 (5) 频谱图如下图所示。频谱图如下图所示。 2- - 44- - 2O 2- - 44- - 2O 在在 上上 设信号设信号 以以 为周期，为周期， 求它的求它的例例 离散频谱及其离散频谱及其 Fourier 级数的级数的 指数形式指数形式 O22第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 五五、有限区间上连续信号的有限区间上连续信号的Fourier级数级数 仅仅定义在有限区间仅仅定义在有限区间 上的信号上的信号 对象对象 周期延拓周期延拓， (1) 将信号将信号 进行进行周期延拓周期延拓，得到一个基本周期为得到一个基本周期为 分析分
14、析 的周期信号的周期信号 ， 即即 23第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 五五、有限区间上连续信号的有限区间上连续信号的Fourier级数级数 分析分析 (2) 对信号对信号 进行进行 Fourier 级数展开，级数展开， 仅仅定义在有限区间仅仅定义在有限区间 上的信号上的信号 对象对象 即得即得 24第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 五五、有限区间上连续信号的有限区间上连续信号的Fourier级数级数 定义在区间长度为定义在区间长度为 的有限区间上的连续信号，其频谱的有限区间上的连续信号，其频谱 结论结论 也是以基频也是以基
15、频 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。 Fourier第第 二二 对对 傅傅 氏氏 变变 换换有限有限 连续连续 离散离散 非周期非周期 仅仅定义在有限区间仅仅定义在有限区间 上的信号上的信号 对象对象 25第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 休息一下26第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 1807 年年 12 月月 12 日，在法国科学院举行的一次会议上，日，在法国科学院举行的一次会议上，Fourier 宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣
16、称：在有限区间上由在有限区间上由任意任意图形定义的图形定义的任何任何函数函数都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人( (号称号称 3L) )审阅后，审阅后，认为其推导极不严密，被拒认为其推导极不严密，被拒( (锯锯) )收收。27第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 1811 年，年，Fourier 将修改好的论文：将修改好的论文：提交给法国科学院。提交给法国科学院。关于热传导问题的研究关于热传导问题的研究其新颖、实用，从而于其新颖、实用，从而于 1812 年获得
17、法国科学院颁发的年获得法国科学院颁发的大奖，但仍以其不严密性被大奖，但仍以其不严密性被论文汇编论文汇编拒拒( (锯锯) )收。收。经过评审小组经过评审小组( ( 3L ) )审阅后，认为审阅后，认为历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 28第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 1822 年，年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专著：经过十年的努力，终于出版了专著：热的解析理论热的解析理论这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在的三角
18、级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在工程应用方面显示出巨大的价值。工程应用方面显示出巨大的价值。历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 29第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 1829 年，德国数学家年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较终于对一类条件较“宽宽”的的函数给出了严格的证明。时年函数给出了严格的证明。时年 24 岁。岁。 1830年年 5 月月 16 日，日，Fourier 在巴黎去世。在巴黎去世。启示：启示：(1) 有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。(2) 坚持
19、不懈的努力就一定会有收获。坚持不懈的努力就一定会有收获。历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 30第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 解析数论的创始人之一。解析数论的创始人之一。 对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。 对德国数学发展产生巨大影响。对德国数学发展产生巨大影响。德国数学家(18051859)狄利克雷Dirichlet，Peter Gustav Lejeune人物介绍人物介绍 狄利克雷狄利克雷附：附：31第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 1859年年5月月5日卒于格
20、丁根。日卒于格丁根。 1839年任柏林大学教授。年任柏林大学教授。 1855年接任年接任 C. F. 高斯高斯在哥廷根大学的教授职位。在哥廷根大学的教授职位。 1805年年2月月13日生于迪伦。日生于迪伦。 18221826年在巴黎求学。年在巴黎求学。中学时曾受教于物理学家中学时曾受教于物理学家 G. S. 欧姆欧姆。回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。人物介绍人物介绍 狄利克雷狄利克雷附：附：32第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 附：附：人物介绍人物介绍 傅立叶傅立叶 傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。
21、傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。 1822年出版经典著作年出版经典著作热的解析理论热的解析理论。“深入研究自然是数学发现最丰富的源泉。深入研究自然是数学发现最丰富的源泉。” J. Fourier法国数学家、物理学家(17681830)傅立叶Fourier，Jean Baptiste Joseph33第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 1801年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。 1795年任巴黎综合工科大学助教。年任巴黎综合工科大学助教。 1798年随拿破仑军队远征埃及。年随拿破仑军队远征埃及。 1768年年3月月21日生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。日生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。 1785年回乡教数学。年回乡教数学。9岁父母双亡，岁父母双亡，12岁由一主教送入军事学校读书。岁由一主教送入军事学校读书。 1817年当选为法国科学院院士。年当选为法国科学院院士。 1822年任法国科学院终身秘书。年任法国科学院终身秘书。 1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。附：附：人物介绍人物介绍 傅立叶傅立叶( (返回返回) )
