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1、ODEPP P到到OAOA的距离的距离P P到到OBOB的距离的距离角平分线上的点角平分线上的点几何语言描述：几何语言描述： OCOC平分平分AOBAOB， 且且PDOAPDOA， PEOBPEOB PD= PEPD= PEACB 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质：角平分线的性质：不必再证全等不必再证全等 如图，由如图，由 于点于点 D ， 于点于点 E，PD= PE ， 可以得到什么可以得到什么结论结论 ？ OBPE PD OA 到一个角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相等的点，的点， 在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。 已
2、知：如图，已知：如图， ， ，垂足分别是，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：点求证：点P在在 的角平分线上。的角平分线上。BADOPE 到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等的点 在角在角的平分线上。的平分线上。 已知：如图，已知：如图， ， ， 垂足分别是垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点求证：点P在在 的角平分线上。的角平分线上。证明：作射线OP 点点P在在 角的平分线上角的平分线上 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）（全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边公共边）PD = PE （ 已已 知知 ） 角平分线角平分线的判定的判定BADOPE角平分
3、线的判定角平分线的判定的应用书写格式的应用书写格式：OP 是是 的平分线的平分线PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） DEOPAB角平分线的性质：角平分线的性质：在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。角平分线的判定角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的到一个角的两边的距离相等的点，点， 在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。BADOPECPD = PEOP 是是 的平分线的平分线OP 是是 的平分线的平分线PD = PE用途：证线段相等用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线用途：判定一条射线是角平分线练
4、一练练一练填空：填空：(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(1). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB121= 2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等例例1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，DD是是BCBC的中点，的中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E、F F，且且BEBECFCF。求证：。求证：ADAD是是ABCABC的角平分线。的角平分线。A AB BC CE EF FD
5、D已知：如图，已知：如图，BEBEACAC于于E E， CFCFABAB于于F F，BEBE、CFCF相交于相交于DD， BD=CD BD=CD 。求证：求证： ADAD平分平分BAC BAC 。ABCFED课堂练习课堂练习拓展与延伸3、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA3、已知、已知PA=PB， 1+ 2=1800， 求证：求证：OP平分平分AOBAOBP12EFABCPEDFMN例题例题2.2.如图，如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交相交于点于点P P。求证：点
6、。求证：点P P也在也在A A的平分线上。的平分线上。证明：过点证明：过点P P作作PDABPDAB于于DD，PEBCPEBC于于E E， PFACPFAC于于F F证明：过点证明：过点P作作PD 、PE、PF分别垂直分别垂直于于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、FBM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上（已知）上（已知）PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF. PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等随堂练习随堂练习3 已知：如图，已知：如图，ABC的的B的外角的平分的外角的
7、平分线线BD和和C的外角平的外角平分线分线CE相交于点相交于点P。求证：点求证：点P在在BAC的的平分线上。平分线上。CA B P DE练习：练习： 8、如图，三条公路相交，现在要修、如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？离相等，问加油站该选在什么位置上？3、 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等 在一个角的内部且在一个角的内部且到角到角的两边距离相等的两边距离相等的的点点，在在这这个个角角的的角平分线上角平分线上1、如图所示，、如图所示，BF与与CE相交于相交于D，B
8、D=CD，BF AC于于F，CE AB于于E。求证：点。求证：点D在在 BAC的角平分线上。的角平分线上。EABDCF例、如图，例、如图， ABC的角平分线的角平分线BM，CN相交于点，求证：相交于点，求证：点到三边点到三边B，BC，CA的距离相等。的距离相等。ABCMNPEFD证明：过点证明：过点P作作PD，PE，PF分别垂直于分别垂直于AB，BC，CA，垂足为，垂足为D，E，F。 是是 ABC的角平分线，的角平分线，点点P在在BM上上 PD=PE同理同理 PD=PE=PF即点即点P到三边，到三边，CA的距离相等。的距离相等。证证明：三角形三条角平分明：三角形三条角平分线线相交于一点相交于一
9、点 4 4、如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的的平分线相交于点平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分的平分线上线上 GHP2、如图：、如图：AD是是 ABC的角平分线，的角平分线，DE AB、DF AC，垂足分别为，垂足分别为E、F连接连接EF，EF与与AD交于交于G，AD与与EF垂直吗？垂直吗？ACBEFGD课内拓展延伸 如如图图，ABC中，点中，点O是是BAC与与ABC的平分的平分线线的的交点，交点，过过O作与作与BC平行的直平行的直线线分分别别交交AB、AC于于D、E已已知知ABC的周的周长为长为15，BC的的长为长为6，求，求ADE的周的周长长. CBAEDOCBAEDO
