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1、中考数学复习章节设计Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望 中考数学复习课的设计中考数学复习课的设计乐平市第二中学乐平市第二中学 骆文娟骆文娟基础知识的复习课如何设计基础知识的复习课如何设计?怎样通过一节或几节课的复习把一章知识进行系统归类怎样通过一节或几节课的复习把一章知识进行系统归类, 让学生加深对概念的理解、结论的掌握，方法的运用和让学生加深对概念的理解、结论的掌握，方法的运用和能力的提高能力的提高?专题复习课如何设计专题复习课如何设计,才能达到使学生能把各个章节中才
2、能达到使学生能把各个章节中的知识联系起来，提高综合运用知识的能力的知识联系起来，提高综合运用知识的能力?如何通过复习课如何通过复习课, 促进数学思想的形成和数学方法的掌促进数学思想的形成和数学方法的掌握握,培养学生的数学能力培养学生的数学能力,使学生从容应付中考使学生从容应付中考? 现在先探讨应用题的复习课的设计现在先探讨应用题的复习课的设计.应用题型的复习课设计应用题型的复习课设计(1) -方程与不等式的应用方程与不等式的应用方程与不等式是研究数量关系和变化规律的数方程与不等式是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰
3、地认识、描述和把握现实世界确、清晰地认识、描述和把握现实世界. 在方在方程与不等式的应用复习中，应关注建模和应用程与不等式的应用复习中，应关注建模和应用过程，以培养良好的建模思想，增强学生们的过程，以培养良好的建模思想，增强学生们的数学应用意识数学应用意识情景性应用题是江西省数学中考的热点情景性应用题是江西省数学中考的热点,问题的问题的情景来自于真实的生活情景来自于真实的生活,是非模式化的应用题是非模式化的应用题,反映着时代的气息反映着时代的气息. 例例1. 某酒店的客房有三人普通间、双人普通间客房，三人普某酒店的客房有三人普通间、双人普通间客房，三人普通间每间每天通间每间每天150元元,二人
4、普通间每间每天二人普通间每间每天140元元.一个一个50人的旅人的旅游团到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房。若游团到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房。若每间客房正好住满，且三人普通间住了每间客房正好住满，且三人普通间住了x间，双人普通间住了间，双人普通间住了y间间.（1）用含）用含x的代数式表示的代数式表示y；（2）若该旅游团一天的住宿费要低于）若该旅游团一天的住宿费要低于3000元，且旅客要求住进的元，且旅客要求住进的三人普通间不多于双人普通间，那么该旅游团住进的三人普通间三人普通间不多于双人普通间，那么该旅游团住进的三人普通间和双人普通间各多少间和双人普通间各多
5、少间? 点评点评:属于不等式型属于不等式型.现实生活中的不等关系是普遍存在的现实生活中的不等关系是普遍存在的,有有时可通过确定某个量的变化范围时可通过确定某个量的变化范围,来解决问题来解决问题.此题关键句是该旅此题关键句是该旅游团一天的住宿费要低于游团一天的住宿费要低于3000元和住进的三人普通间不多于双人元和住进的三人普通间不多于双人普通间普通间. 抓住关键的条件列出不等式抓住关键的条件列出不等式(组组)是解决此类问题的关键是解决此类问题的关键. 相关问题相关问题: 某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进调和电风扇，若购进8台空
6、调和台空调和20台电风扇，需要资金台电风扇，需要资金17400元，元，若购进若购进10台空调和台空调和30台电风扇，需要资金台电风扇，需要资金22500元元（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ （2）该经营业主计划购进这两种电器共）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两台，而可用于购买这两种电器的资金不超过种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利元，销售一台这样的电风扇可获利30元该业主元该业主希望当这两种电器销售完
7、时，所获得的利润不少于希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元试问元试问该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？多少？ 设计说明设计说明:例例1和相关问题都考查了不等式的应用和相关问题都考查了不等式的应用,都是都是通过确定某个量的变化范围通过确定某个量的变化范围,来解决问题来解决问题. “相关问题相关问题”在复习中在复习中起什么作用？起什么作用？相关问题在多数情况下与例题有较大的相似性，有相关问题在多数情况下与例题有较大的相似性，有时也仅仅在某些方面保持了相似性，这种宽泛的处理办法，提高时也仅仅在某些方
8、面保持了相似性，这种宽泛的处理办法，提高了例题的效用，有时让学生领会不同的形式有共同的本质，了例题的效用，有时让学生领会不同的形式有共同的本质， 又在训练上是对例题的一个很好的补充又在训练上是对例题的一个很好的补充. 例例2 2.(2002.(2002年江西年江西) )有一个只许单向通过的窄道口，通常情有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过况下，每分钟可以通过9 9人一天，王老师到达道口时，发现由人一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能于拥挤，每分钟只能3 3人通过道口，此时，自己前面还有人通过道口，此时，自己前面还有3636个人个人等待通过（假定先到的先过，王老师过
9、道口的时间忽略不计），等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需通过道口后，还需7 7分钟到达学校分钟到达学校（1 1）此时，若绕道而行，要）此时，若绕道而行，要1515分钟到达学校，从节省时间考分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2 2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有（维持秩序期间，每分钟仍有3 3人通过道口），结果王老师比拥人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了
10、挤的情况下提前了6 6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？ 点评点评:属于方程型属于方程型.教会学生教会学生:对应用题要多读几遍对应用题要多读几遍,理解题意理解题意,意思懂了意思懂了,解答思维往往就在其中解答思维往往就在其中.这是一个排队模型这是一个排队模型,在审题中在审题中弄懂关键词和关键句是至关重要的弄懂关键词和关键句是至关重要的.可先简明列出题中语句所表可先简明列出题中语句所表达的数学意义达的数学意义:经过维持秩序后通过道口所用时间经过维持秩序后通过道口所用时间=在拥挤情况下在拥挤情况下通过道口所用的时间通过道口所用的时间6分钟分钟,用代数式表达方
11、程的两边用代数式表达方程的两边. 设计说明设计说明:通过两道例题的训练总结出通过两道例题的训练总结出解题策略解题策略. 总结总结:此类应用题的解题策略解题策略是什么?先读题先读题23遍遍,抓住关键的字、词、句抓住关键的字、词、句,找出问找出问题的数量关系题的数量关系(相等关系或不等关系相等关系或不等关系)和求解目和求解目标；标；将实际问题转化为数学问题将实际问题转化为数学问题,建立相应的模型建立相应的模型,列出方程列出方程(组组)或不等式或不等式(组组)；解方程解方程(组组)或不等式或不等式(组组)，并用求解结果来回，并用求解结果来回答实际问题答实际问题设计说明设计说明:对总结出的解题策略进行
12、应用对总结出的解题策略进行应用: 例例3.( 2006 年江西省年江西省)小杰到学校食堂买饭，看到小杰到学校食堂买饭，看到A、B两两窗口前面排队的人一样多（设为窗口前面排队的人一样多（设为a人，人，a 8），就站到），就站到A窗口队窗口队伍的后面，过了伍的后面，过了2分钟，他发现分钟，他发现A窗口每分钟有窗口每分钟有4人买了饭离开人买了饭离开队伍，队伍，B窗口每分钟有窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面窗口队伍后面每分钟增加每分钟增加5人人（1）此时，若小杰继续在）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含是
13、多少（用含a的代数式表示）？的代数式表示）？（2）此时，若小杰从）此时，若小杰从A窗口队伍转移到窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，窗口队伍后面重新排队，且到达且到达B窗口所花的时间比不转移继续排队到达窗口所花的时间比不转移继续排队到达A窗口所花的时窗口所花的时间少，求间少，求a的取值范围（不考虑转移时间等其它因素）的取值范围（不考虑转移时间等其它因素） 点评点评: 属于不等式型属于不等式型.与例与例2同属于排队模型同属于排队模型.考查的主要知考查的主要知识有用代数式表示一个量识有用代数式表示一个量,用不等式表达生活中不等关系和将实用不等式表达生活中不等关系和将实际问题转化为数学问题的建立模
14、型、求解、并将求解结果来回际问题转化为数学问题的建立模型、求解、并将求解结果来回答实际问题的能力答实际问题的能力.求解时求解时,先将试题通读先将试题通读2-3遍遍,将问题的意义、将问题的意义、问题中的数量及数量关系、求解目标等弄清问题中的数量及数量关系、求解目标等弄清,再解答再解答.关键词关键词“此时此时”是指刚过了是指刚过了2分钟的那一时刻分钟的那一时刻.关键句所表达的数学意义关键句所表达的数学意义:转移后所花的时间未转移所花的时间转移后所花的时间未转移所花的时间. 设计说明设计说明:例例2与例与例3放在一起的放在一起的功效功效是是什么什么?为什么这样设计为什么这样设计? 类似的排队模型类似
15、的排队模型,但解答的风格完全不同但解答的风格完全不同,一一个是用个是用方程建模方程建模,一个是用一个是用不等式建模不等式建模.两道题都两道题都难在题意的理解难在题意的理解,题意理解了题意理解了,相等关系与不等关相等关系与不等关系也就找到了系也就找到了,解答思维也就出来了解答思维也就出来了.这样这样设计的设计的目的目的:不仅训练了学生的方程与不等式建模不仅训练了学生的方程与不等式建模,而且而且让学生知道解应用题时审清题意是至关重要的让学生知道解应用题时审清题意是至关重要的. 此题也可进行如下变式此题也可进行如下变式: 变式变式:若此时小杰继续在若此时小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花窗口排队
16、，则他到达窗口所花的时间设为的时间设为 ,若此时小杰从若此时小杰从A窗口队伍转移到窗口队伍转移到B窗口队伍后窗口队伍后面重新排队，且到达面重新排队，且到达B窗口所花的时间设为窗口所花的时间设为 , 其它条件不变其它条件不变. (1)分别写出分别写出 , 与与a的函数关系式；的函数关系式； (2)为了节省时间为了节省时间, a在什么范围内时在什么范围内时,小杰此时应选择从小杰此时应选择从A窗口窗口队伍转移到队伍转移到B窗口队伍后面重新排队到达窗口队伍后面重新排队到达B窗口窗口?a在什么范围在什么范围内时内时, 小杰此时应选择不转移继续排队到达小杰此时应选择不转移继续排队到达A窗口窗口? 点评点评
17、:本题的情景没变本题的情景没变,排队的模型没变排队的模型没变,由于设问改变由于设问改变,此题此题由不等式型变成了函数型由不等式型变成了函数型,解题方法也变了解题方法也变了.生活中大量存在着生活中大量存在着哪个更省时哪个更省时,哪个更省钱哪个更省钱,哪个更合算的问题情景哪个更合算的问题情景,需要从数学需要从数学的角度作出判断的角度作出判断, 综合运用了一次函数的性质解决实际问题的综合运用了一次函数的性质解决实际问题的能力能力.这种有价值的数学模型这种有价值的数学模型,是学生应当掌握的是学生应当掌握的,是新课程内是新课程内容的基本目标之一容的基本目标之一. 相关问题相关问题:甲、乙两家超市以相同的
18、价格出售同样的商品，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出品超出300元之后，超出部分按原价元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买折优惠；在乙超市累计购买商品超出商品超出200元之后，超出部分按原价元之后，超出部分按原价9折优惠设顾客预计累计折优惠设顾客预计累计购物购物x元元 (1) 请用含请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由试比较顾客到哪家超市购物更
19、优惠？说明你的理由设计说明设计说明:从不同的角度来观察问题从不同的角度来观察问题,往往有新的收获往往有新的收获,变式变式常常能使复习发挥最大效益能使复习发挥最大效益,也是培养能力的有效途径也是培养能力的有效途径,使思维训练更使思维训练更有价值，更有成效有价值，更有成效.设计说明设计说明:这节的例题有关于一元一次不等式这节的例题有关于一元一次不等式(组组),一元一次方一元一次方程程,二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用,和运用一元一次不等式和运用一元一次不等式(组组)进行决策、进行决策、方案设计等方案设计等.应用题型的复习课设计应用题型的复习课设计(2) -函数的应用函数的应用 函数的应用题
20、函数的应用题是指运用函数的有关知识解决实际生产、生活中是指运用函数的有关知识解决实际生产、生活中的问题的问题.函数的概念反映了事物之间的广泛联系函数的概念反映了事物之间的广泛联系,揭示着现实世界揭示着现实世界数量关系和运动变化规律数量关系和运动变化规律,建立函数模型建立函数模型,可以解决日常生活中可可以解决日常生活中可能遇到的许多实际问题能遇到的许多实际问题. 现在我们来探讨函数应用题的解题策略现在我们来探讨函数应用题的解题策略. 例例1.某住宅小区共安装某住宅小区共安装200瓦的可随意控制开关的路灯若干个，瓦的可随意控制开关的路灯若干个，每天晚上开灯每天晚上开灯x小时小时 (1x5)，为了节
21、约能源，小区物业部规，为了节约能源，小区物业部规定定:每天的路灯用电量为每天的路灯用电量为60千瓦时千瓦时.（1）试写出每天开通的路灯数）试写出每天开通的路灯数y（个）与时间（个）与时间x（小时）的函数关（小时）的函数关系式；系式；（2）为了庆祝国庆节，小区物业部决定国庆期间路灯的开通时间）为了庆祝国庆节，小区物业部决定国庆期间路灯的开通时间至少是至少是4个小时，在不增加路灯用电量的前提下，国庆期间每天个小时，在不增加路灯用电量的前提下，国庆期间每天可开通的路灯的范围是多少？可开通的路灯的范围是多少？ 点评点评:反比例函数应用反比例函数应用.先根据具体情境求解析式先根据具体情境求解析式,再由再
22、由不等式的有关知识求解不等式的有关知识求解.此题的障碍是题意理解此题的障碍是题意理解. 例例2.某厂某天需生产甲某厂某天需生产甲,乙两种台灯共乙两种台灯共600台台,现有现有A,B两种必两种必需的原料各需的原料各58000克、克、44000克克,并已知一台甲种台灯分别需并已知一台甲种台灯分别需A种种原料原料120克克,B种原料种原料40克克,一台乙种台灯分别需一台乙种台灯分别需A种原料种原料80克克,B种种原料原料90克克. (1)设生产甲种台灯设生产甲种台灯x台台,求出求出x的取值范围；的取值范围； (2)一台甲种台灯需成本一台甲种台灯需成本12元元,一台乙种台灯需成本一台乙种台灯需成本8元
23、元,请写出这请写出这600台台灯成本总额台台灯成本总额y (元元)与甲种台灯与甲种台灯x(台台)的函数关系的函数关系,又知甲、又知甲、乙两种台灯在市场上批发价每台是乙两种台灯在市场上批发价每台是20元元.这天生产的这这天生产的这600台台台台灯与批发价相比最多能获利多少元灯与批发价相比最多能获利多少元(不考虑其它因素不考虑其它因素)？ 点评点评:此题是根据一次函数的性质求最值的问题此题是根据一次函数的性质求最值的问题.题中并没直接题中并没直接提出求最值提出求最值,而是隐含在这天生产的这而是隐含在这天生产的这600台台灯与批发价相比最台台灯与批发价相比最多能获利多少元这句话中多能获利多少元这句话
24、中.“最多能获利最多能获利”是指生产这是指生产这600台台灯台台灯的成本的最小值与它的批发价的差的成本的最小值与它的批发价的差.教会学生解函数应用题也同教会学生解函数应用题也同样重在审题样重在审题,弄懂题意弄懂题意,能运用函数思想解决问题能运用函数思想解决问题.例例3.3. 有两段长度相等的河渠挖掘任务，有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘右图是反映所挖河渠长度挖掘右图是反映所挖河渠长度y y（米（米）与挖掘时间）与挖掘时间x x（时）之间关系的部分（时）之间关系的部分图象请解答下列问题：图象请解答下列问题：（1 1）乙队开挖到）乙
25、队开挖到3030米时，用了米时，用了_小小时开挖时开挖6 6小时时，小时时， 甲队比乙队多挖了甲队比乙队多挖了_米；米；（2 2）请你求出：）请你求出：甲队在甲队在00x x66的时段内，的时段内，y y与与x x之间之间的函数关系式；的函数关系式； 乙队在乙队在22x x66的时段内，的时段内，y y与与x x之间之间的函数关系式；的函数关系式； 开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？度开始超过乙队？（3 3）如果甲队施工速度不变，乙队在开）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖挖6 6小时后，施工速度增加到小时后，施工速度增加到1212米米/ /时，时，
26、结果两队同时完成了任务问甲队从结果两队同时完成了任务问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？ 26xyo303050506060乙乙甲甲点评点评: :本题提供了一个与生产实践联本题提供了一个与生产实践联系的问题情景系的问题情景, ,要求学生能够从已知要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信条件和函数图象中获取有价值的信息息, ,能识图能识图, ,判断函数类型判断函数类型, ,建立函数建立函数关系关系. .考查学生获取信息考查学生获取信息, ,处理信息处理信息的能力的能力. .渗透了待定系数法、数形结渗透了待定系数法、数形结合思想、方程和函数思想合思想、
27、方程和函数思想. . 例例4.三孔桥横截面三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相两小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔同正常水位时，大孔水面宽度水面宽度AB=20米，顶米，顶点点M距水面距水面6米（即米（即MO=6米），小孔顶点米），小孔顶点N距水面距水面4.5米（即米（即NC=4.5米）当水位米）当水位上涨刚好淹没小孔时，上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度求此时大孔的水面宽度EF点评点评:利用抛物线模型解决桥拱问题利用抛物线模型解决桥拱问题.训训练了学生读题练了学生读题,识图能力识图能力,渗透了数形结渗透
28、了数形结合的思想合的思想,有效地关注了数学中的重要内有效地关注了数学中的重要内容的考查容的考查. 驶向胜利的彼岸 例例5.5.(2006(2006年河北年河北) )利达经销店为某工厂代销一种建筑材料利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260260元时，月销元时，月销售量为售量为4545吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价
29、每下降行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降1010元时，月销售量元时，月销售量就会增加就会增加7.57.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用支付厂家及其它费用100100元设每吨材料售价为元设每吨材料售价为x x（元），该经销（元），该经销店的月利润为店的月利润为y y（元）（元）（1 1）求出）求出y y与与x x的函数关系式（不要求写出的函数关系式（不要求写出x x的取值范围）；的取值范围）；（2 2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（3 3）小静说：）小
30、静说：“当月利润最大时，月销售额也最大当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对你认为对吗？请说明理由吗？请说明理由. . 点评点评: :此题考查数学建模和运用二次函数知识解决实际问题的此题考查数学建模和运用二次函数知识解决实际问题的能力能力. . 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式, ,建立建立二次函数模型解决最值问题二次函数模型解决最值问题, ,是新课标中重点内容之一是新课标中重点内容之一. .第第(3)(3)的的解决是要一定的能力要求的解决是要一定的能力要求的, ,可求出当可求出当x x为何值时为何值时, ,月销售额最大月销售额最大,
31、,再与第再与第(2)(2)问比较可得结果问比较可得结果. . 小结一小结一:函数应用题的解题策解题策略略是什么?审清题意审清题意,写出有关问题的写出有关问题的函数关系式函数关系式；将实际问题转化为数学问题将实际问题转化为数学问题,建立相应的函数模型建立相应的函数模型,；运用一次函数、二次函数、运用一次函数、二次函数、反比例函数的有关性质反比例函数的有关性质,求出求出问题的答案问题的答案 小结二小结二:如何培养建立模型，如何培养建立模型，解决实际问题的意识与能力解决实际问题的意识与能力?第一第一:敢于去做敢于去做,敢于去试敢于去试,勤勤于思考于思考,努力提高自己的分析努力提高自己的分析问题、解决
32、问题的能力问题、解决问题的能力. 第二第二:能够把实际问题抽象成能够把实际问题抽象成数学问题数学问题,得到一个数学结构得到一个数学结构,建立相应的数学模型建立相应的数学模型.第三第三:善于反思和总结善于反思和总结,做一做一题题,懂一类懂一类,积累解题经验积累解题经验,提提高解决数学应用问题的能力高解决数学应用问题的能力,提高解题的自信心提高解题的自信心.设计说明设计说明:这这5道例题设计的道例题设计的功效功效是什么是什么?能达到这节复习课的能达到这节复习课的目的吗目的吗? 涉及了反比例函数、一次函数、二次函数的应用涉及了反比例函数、一次函数、二次函数的应用,通过一次函通过一次函数性质求最值数性
33、质求最值, 利用抛物线模型解决桥拱问题利用抛物线模型解决桥拱问题,建立二次函数模型建立二次函数模型解决最值问题；从不同的角度来训练学生解决最值问题；从不同的角度来训练学生函数建模能力函数建模能力.学生通过学生通过这这5题的训练题的训练,能全面学习到有关函数应用的重要知识能全面学习到有关函数应用的重要知识,对函数的应对函数的应用形成较系统的知识网络用形成较系统的知识网络. 应用题型的复习课设计应用题型的复习课设计(3) -综合运用综合运用 应用题的应用题的类型类型有有:方程型、不等式型、方程与不等式相结方程型、不等式型、方程与不等式相结合型、函数型、概率与统计型、几何应用型等合型、函数型、概率与
34、统计型、几何应用型等.有些应用题的有些应用题的综合性较强综合性较强,包含着几种不同的模型包含着几种不同的模型,需要一定的需要一定的阅读理解能阅读理解能力，收集、处理信息的能力力，收集、处理信息的能力,以及观察、归纳、探索、发现、以及观察、归纳、探索、发现、推理和解决问题的能力推理和解决问题的能力. 例例1.电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众21万人次，播万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众放乙连续剧平均每集有收视观众14万人次，公司要求电视万人次，公司要求电视台
35、每周共播放台每周共播放10集集.（1）设一周内甲连续剧播）设一周内甲连续剧播a集，用含集，用含a的代数式表示一周内的代数式表示一周内乙连续剧的收视观众的人次；乙连续剧的收视观众的人次； （2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过）已知电视台每周只能为该公司提供不超过470分钟的播分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧分钟，播放乙连续剧每集需每集需35分钟，分钟，a在什么范围时在什么范围时,每周甲连续剧的收视人次每周甲连续剧的收视人次多多? a在什么范围时在什么范围时,每周乙连续剧的收视人次多每周乙连续剧的收视人次多? 点评点评:问题情境来自于
36、生活问题情境来自于生活,体现了生活中处处有数学体现了生活中处处有数学.考查学生阅读理解能力和获取信息考查学生阅读理解能力和获取信息,处理信息的能力处理信息的能力.涉及涉及了建模思想了建模思想,分类讨论思想分类讨论思想.能否正确理解题意是解题的关能否正确理解题意是解题的关键键.第第(2)问先求出问先求出a8,再根据题意得结果再根据题意得结果:当当4a8时时, 每每周甲连续剧的收视人次多周甲连续剧的收视人次多.当当0a4时时, 每周乙连续剧的每周乙连续剧的收视人次多收视人次多.(1)(1)两种圆规的进价有哪几种进货方案两种圆规的进价有哪几种进货方案? ?(2)(2)在全部可销售完的情况下在全部可销
37、售完的情况下, ,针对针对a a的不同取值的不同取值, ,选择怎样选择怎样的进货方案所获利润最大的进货方案所获利润最大? ?点评点评: :此题综合性强此题综合性强,需要较强的解题能力需要较强的解题能力.设甲种圆规设甲种圆规x只只. 第二问引入了参数第二问引入了参数,先用含先用含x和参数和参数a的代数式表示所获的代数式表示所获总利润总利润,针对参数针对参数a的范围分的范围分4a6，a =6,a6三种情三种情况进行分类讨论况进行分类讨论.渗透了建模思想，分类讨论思想，参渗透了建模思想，分类讨论思想，参数思想数思想. 例例2.某文具店计划购进甲、乙两种不锈钢圆规某文具店计划购进甲、乙两种不锈钢圆规8
38、0只只,进货进货总价不小于总价不小于382元元,但不超过但不超过384元元.两种圆规的进价和售价两种圆规的进价和售价如下表如下表:(单位单位:元元)甲种甲种乙种进价进价45售价售价a(a4)7 例例3.3. 某住宅小区购买并种植某住宅小区购买并种植400400株树苗株树苗, ,某树苗公司提供某树苗公司提供如下信息如下信息: : 信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等要求购买杨树、丁香树的数量相等. . 信息二：每棵杨树的批发价格为信息二：每棵杨树的批发价格为3 3元元, , 每棵丁香树的批发价每棵丁
39、香树的批发价格为格为2 2元元, , 每棵柳树的批发价格为每棵柳树的批发价格为p p元元. . 设购买杨树、柳树分别为设购买杨树、柳树分别为x x株、株、y y株株. . (1) (1)写出写出y y与与x x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；之间的函数关系式并写出自变量的取值范围； (2) (2)当每株柳树批发价当每株柳树批发价p p（元）与购买数量（元）与购买数量y y（株）之间存在（株）之间存在关系关系p p=3-0.005=3-0.005y y时，求购买树苗的总费用时，求购买树苗的总费用w w（元）与购买杨（元）与购买杨树数量树数量x x（株）之间的函数关系式；（株）之间的函数关
40、系式； (3) (3)当购买杨树数量为多少株时当购买杨树数量为多少株时, , 购买树苗的总费用购买树苗的总费用w w达到最达到最高费用高费用? ? 最高费用是多少最高费用是多少? ? 点评点评: :涉及根据问题求一次函数、二次函数的解析式涉及根据问题求一次函数、二次函数的解析式, ,求二求二次函数的最值等知识次函数的最值等知识. .考查数学建模能力、分析问题与解决考查数学建模能力、分析问题与解决问题的能力问题的能力. . 相关问题相关问题: :如图钢管混凝土系如图钢管混凝土系杆拱桥，其拱形图形为抛物线的杆拱桥，其拱形图形为抛物线的一部分，在正常情况下，位于桥一部分，在正常情况下，位于桥面上方部
41、分的桥拱拱高约为面上方部分的桥拱拱高约为2121米米, ,跨度约为跨度约为120120米米. . （1 1）请你建立适当的直角坐标系）请你建立适当的直角坐标系, ,求出可以近似描述拱桥形状的抛求出可以近似描述拱桥形状的抛物线的解析式；物线的解析式； （2 2）问距离桥拱与桥面交点）问距离桥拱与桥面交点2020米米处的支架长为多少米处的支架长为多少米? ? 点评点评: : 考查抛物线模型与现实生考查抛物线模型与现实生活的联系活的联系, ,灵活选取直角坐标的灵活选取直角坐标的能力能力, ,本题建立坐标系的方法有本题建立坐标系的方法有多种多种, ,利用轴对称性是较恰当的利用轴对称性是较恰当的一种方法
42、一种方法. . 渗透了数形结合思想渗透了数形结合思想, ,函数思想函数思想. .解决应用性问题的解决应用性问题的关键关键是正确理解题是正确理解题意意, ,排除一切非数学因素的干扰排除一切非数学因素的干扰, ,努力努力读懂题目中的图形、表格及数量之间读懂题目中的图形、表格及数量之间的关系的关系, ,捕捉每一个有效的信息捕捉每一个有效的信息, ,将生将生活中的语言转换成数学语言活中的语言转换成数学语言, ,将实际将实际问题转化成数学问题问题转化成数学问题, ,并构造出相应并构造出相应的数学模型的数学模型. . 设计说明设计说明这这4道例题综合性强道例题综合性强,比前二节课的例题在综合和难度上有比前
43、二节课的例题在综合和难度上有所提高所提高.纵观以上三节应用题的复习课的设计纵观以上三节应用题的复习课的设计:方程与不等式的应用复习课着重培养学生用方程与不等式方程与不等式的应用复习课着重培养学生用方程与不等式的的“观点观点”去分析问题，用数学思想构造数学模型；函数去分析问题，用数学思想构造数学模型；函数的应用复习课着重于训练学生建立函数模型的应用复习课着重于训练学生建立函数模型,用函数思想解用函数思想解决生产、生活中的有关问题决生产、生活中的有关问题.两种复习课两种复习课所选例题要针对性所选例题要针对性强强,能起到复习对应章节知识点的作用能起到复习对应章节知识点的作用.应用题的综合复习课重在提
44、升学生的能力应用题的综合复习课重在提升学生的能力,能透过问题情能透过问题情境看数学本质境看数学本质, 能综合运用方程能综合运用方程,不等式不等式,函数函数,统计等知识统计等知识, 将实际问题进行数学化将实际问题进行数学化,加深对方程加深对方程,不等式不等式,函数函数,统计等统计等思想方法的认识思想方法的认识,提高数学建模能力、分析问题与解决问题提高数学建模能力、分析问题与解决问题的能力的能力.所选例题要综合性强所选例题要综合性强,能起到提高数学应用能力的能起到提高数学应用能力的作用作用.把三个阶段的题放在一起，可看出把三个阶段的题放在一起，可看出层次性，联系性，发展层次性，联系性，发展性等，有
45、整体观性等，有整体观. 三个阶段的三个阶段的能力的培养能力的培养也应有也应有层次性，联层次性，联系性，发展性与整体性系性，发展性与整体性. 开放题与探索题的开放题与探索题的 复习课的设计复习课的设计(2(2课时课时) )一、开放性题型与探索性题型的特点一、开放性题型与探索性题型的特点. .( (一一) )开放性题型特点开放性题型特点: :按照条件与结论的开放性按照条件与结论的开放性, ,可分为三类可分为三类型型. .1.1.条件开放性题型条件开放性题型: :往往已知部分已知条件和一个完整的结往往已知部分已知条件和一个完整的结论论, ,要求解题者根据这部分条件与完整的结论要求解题者根据这部分条件
46、与完整的结论, ,将缺少的条将缺少的条件找出来件找出来, ,当然这些缺少的条件通常不是唯一的当然这些缺少的条件通常不是唯一的. .2.2.结论开放性题型结论开放性题型: :已知条件已经完全给定已知条件已经完全给定, ,但结论没有给出但结论没有给出, ,要求解题者由这些已知条件要求解题者由这些已知条件, ,通过推理的方式通过推理的方式, ,得出若干种得出若干种正确的结果正确的结果, ,这些结果往往有多个这些结果往往有多个, ,甚至无穷多个甚至无穷多个. .3.3.条件与结论双开放题型条件与结论双开放题型: :给出了部分已知条件给出了部分已知条件, ,同时也允许同时也允许解题者按照要求添加若干条件
47、解题者按照要求添加若干条件, ,并根据题目已经给出的条并根据题目已经给出的条件和添加的条件件和添加的条件, ,推导出带个性色彩的结论推导出带个性色彩的结论. .( (三三) ) 开放性题型与探索性题型的关开放性题型与探索性题型的关系系: :开放性题型是从答案的形式的来开放性题型是从答案的形式的来界定的界定的, ,而探索性题型是从思维的层而探索性题型是从思维的层面上来说的面上来说的. .两者的关系如图两者的关系如图1 1所示所示有部分兼容性有部分兼容性. . 设计说明设计说明先介绍开放性题型和探索性题型两种专题的特先介绍开放性题型和探索性题型两种专题的特点以及关系点以及关系. .图图1 1( (
48、二二) )探索性题型特点探索性题型特点: :问题的解决不是按照某个固定的、明确的程序问题的解决不是按照某个固定的、明确的程序, ,使用某种技能就能完成的；思考问题的方向不是很明确使用某种技能就能完成的；思考问题的方向不是很明确, ,解决问题的解决问题的路线不是很清晰的路线不是很清晰的, ,通常要经历一定的尝试与试误过程；探索性活动通常要经历一定的尝试与试误过程；探索性活动是有个性化的数学活动是有个性化的数学活动, ,不同的人往往有不同的表现和不同的成果不同的人往往有不同的表现和不同的成果. .可分为四类可分为四类: :条件探索、结论探索、存在性探索、规律性探索条件探索、结论探索、存在性探索、规
49、律性探索. .例例1.1. Rt RtABCABC中中, ,CDCD为为ABAB边上的中边上的中线线, , 将将ABCABC沿沿CDCD对折对折, ,使使A落落在点在点E E处处, ,连结连结BE. .你能添加一你能添加一个条件使四边形个条件使四边形EBCDEBCD为菱形吗为菱形吗? ?请说明理由请说明理由. .解解: :添加添加 . . 理由理由: :点评点评: :这是一道条件开放题这是一道条件开放题, ,添加添加的条件的条件A A=30,=30,AB=AB=2 2BCBCECECABAB,ABCABC=2=2A A,CDCD= =BCBC, ,CDBCDB=ABCABC等等. .从添加的条
50、件出发从添加的条件出发, ,经过推理论证经过推理论证, ,得到四边形得到四边形EBCDEBCD为菱形为菱形. .变式变式: :已知条件不变已知条件不变, ,设问变为设问变为: :当当A A满足什么条件时满足什么条件时, , 四边形四边形EBCDEBCD为菱形为菱形? ? 请说明理由请说明理由. .此题变为条件探索题此题变为条件探索题. .先回答先回答A A=30=30时时, , 四边形四边形 EBCD EBCD为菱形为菱形. .再从再从A A=30=30出发出发, , 经过推理论证经过推理论证, ,得到四边形得到四边形EBCDEBCD为菱形为菱形. .设计说明设计说明: :通过变式的通过变式的
51、设计说清了条件开放题和条设计说清了条件开放题和条件探索题的不同之处件探索题的不同之处: :条件条件开放题中缺少的条件开放题中缺少的条件通常不通常不是唯一的是唯一的；条件探索题中缺；条件探索题中缺少的条件少的条件往往带有唯一性往往带有唯一性.例例2.2. 如图如图3,3,点点B B为线段为线段ADAD上一点，上一点，ABAB=2=2BDBD，分别以线段，分别以线段ABAB、BDBD向向外作等边三角形外作等边三角形ABFABF和等边三角和等边三角形形BDEBDE，O O是是ABFABF的外接圆，的外接圆，连结连结FEFE交交O O于点于点N N，交，交ADAD的延的延长线于点长线于点M M. .（
52、1 1）直线）直线 BEBE与与O O有何位置关系有何位置关系? ?并说明你的理由；并说明你的理由；（2 2）除（）除（1 1）的结论外，另外写出）的结论外，另外写出三个至少经过两步推理得出的三个至少经过两步推理得出的不同类型的结论不同类型的结论( (不要求证明不要求证明).).点评点评: :第第(1)(1)问是问是结论探索题结论探索题, ,第第(2)(2)问是问是结论开放题结论开放题. .不同类型不同类型是指是指写了两线段相等写了两线段相等, ,就不要再写其就不要再写其它的两线段相等它的两线段相等, ,在线段的数量在线段的数量关系、位置关系、两角的关系关系、位置关系、两角的关系等中等中, ,
53、写了其中一个量写了其中一个量, ,就不要就不要再写同一类型的其它量了再写同一类型的其它量了. .还要还要注意至少经过两步推理这句话注意至少经过两步推理这句话. . 从从线段之间的关系线段之间的关系得：得：AFAFBEBE, , BEBEFMFM, , BDBD= =DMDM, , BMBM=2=2DEDE, = =FNFNFM,FM, , ,从从角度之间的关系角度之间的关系得：得：M M=DEMDEM, , M M=30=30图图3 设计说明设计说明在例在例2 2的两个小问上设计了的两个小问上设计了结论探索题结论探索题和和结论开放题结论开放题, ,通过比较区分通过比较区分两者的不同两者的不同:
54、 :结论探索题的结论探索题的结果通常具有唯一性；结果通常具有唯一性；结论开放题的结论开放题的结果结果往往有多个往往有多个, ,甚至无穷多个甚至无穷多个. .设计比较型问题，在求同求异比较中整合学生知识设计比较型问题，在求同求异比较中整合学生知识.1.1.通过比较，能把相关概念串联起来形成知识链；通过比较，能把相关概念串联起来形成知识链；2.2.通过比较，能打破学生接受知识的先后顺序通过比较，能打破学生接受知识的先后顺序, ,以求达到知识的融会贯以求达到知识的融会贯通；通；3.3.通过比较，能把握不同知识方法的相同本质通过比较，能把握不同知识方法的相同本质. .例例3.3. 如图如图4,4,用火
55、柴棒按上图规律搭用火柴棒按上图规律搭1 1只，只，2 2只，只，3 3只只“蝴蝶蝴蝶”，(1)(1)则搭则搭4 4只只“蝴蝶蝴蝶”需要火柴棒的根数是需要火柴棒的根数是 ；(2)(2)则搭则搭n n只只“蝴蝶蝴蝶”需要火柴棒的根数是需要火柴棒的根数是 . .点评点评:此题是此题是规律性探索题规律性探索题. .2 2只比只比1 1只多只多7 7根根,3,3只比只比2 2只多只多7 7根根, ,找到找到规律规律, ,第第(2)(2)问答案为问答案为7 7n n1.1.图图4 例例4.如图如图5,梯形纸片梯形纸片ABCD中，中，ADBC，ADCD，将，将纸片沿过点纸片沿过点D的直线折叠，使的直线折叠，
56、使点点C落在落在AD上的点上的点C处，折处，折痕痕DE交交BC于点于点E，连结，连结CE（1）试判断四边形）试判断四边形CDCE的形的形状状,并证明你的结论；并证明你的结论；（2）当线段）当线段BC,CD,AD满足什满足什么关系式时么关系式时,四边形四边形ABED是是平行四边形平行四边形?并证明你的结论并证明你的结论 点评点评: :折叠前后哪些量没变折叠前后哪些量没变, , 哪些量变了哪些量变了, ,抓住因折叠而抓住因折叠而成的等线段和等角成的等线段和等角, ,这些相等关系是解决问题的关键这些相等关系是解决问题的关键. . 第第(1)(1)问问结论探索题结论探索题, , 先回答是菱形先回答是菱
57、形, ,再证明这个结论再证明这个结论. .第第(2)(2)问问条件探索题条件探索题, ,先确定关系式先确定关系式BCBC= =CDCDADAD时时, , 四边形四边形ABEDABED是平行四边形是平行四边形. .再从再从BCBC= =CDCDADAD出发经过推理论证得到四边形出发经过推理论证得到四边形ABEDABED是平行四边形是平行四边形. . 例例5.5.如图如图6 6，等腰梯形，等腰梯形ABCDABCD中中, ,ABABDCDC，ABAB8cm8cm，CDCD2cm2cm，ADAD6cm6cm点点P P从点从点A A出发，以出发，以2cm/s2cm/s的速度沿的速度沿ABAB向终点向终点
58、B B运动；点运动；点Q Q从从点点C C出发，以出发，以1cm/s1cm/s的速度沿的速度沿CDCD、DADA向终点向终点A A运动运动( (P P、Q Q两点中，有两点中，有一个点运动到终点时，所有运动一个点运动到终点时，所有运动即终止即终止) )设设P P、Q Q同时出发并运动同时出发并运动了了t t秒秒(1)(1)当当PQPQ将梯形将梯形ABCDABCD分成两个直角梯分成两个直角梯形时，求形时，求t t的值；的值；(2)(2)试问是否存在这样的试问是否存在这样的t t，使四边，使四边形形PBCQPBCQ的面积是梯形的面积是梯形ABCDABCD面积的面积的一半一半? ?若存在，求出这样的
59、若存在，求出这样的t t的值，的值，若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由. . 此例的设计将结论探索题和条件探索题放在一起比较此例的设计将结论探索题和条件探索题放在一起比较. .在复习课教学中通过在复习课教学中通过比较型问题比较型问题的设计，不仅能沟通知识的纵横联系，使知的设计，不仅能沟通知识的纵横联系，使知识系统化，有利于知识的记忆、理解、掌握、应用、深化，而且使学生思维活动识系统化，有利于知识的记忆、理解、掌握、应用、深化，而且使学生思维活动的抽象程度和对事物本质规律的理解水平逐步提高，求同求异思维能力得到培养，的抽象程度和对事物本质规律的理解水平逐步提高，求同求异思维能力得到培养，对
60、优化思维品质大有裨益对优化思维品质大有裨益. .点评点评: :这是一道存在性探这是一道存在性探索题索题, ,此类题解题的一般此类题解题的一般思路是什么思路是什么? ?第第(2)(2)问问, ,先先判断是否存在判断是否存在, ,再假设存再假设存在四边形在四边形PBCQPBCQ的面积是的面积是梯形梯形ABCDABCD面积的一半面积的一半, ,对对点点Q Q的位置进行分类讨论的位置进行分类讨论, ,可得存在可得存在t t= .= .图图6 6 相关问题相关问题:如图如图7,7,过正方形过正方形ABCDABCD中某点中某点O O任作直线任作直线m m交直线交直线ADAD和直线和直线BCBC于点于点H
61、H, ,F F, ,过点过点O O作直线作直线HFHF的垂线的垂线n n交直线交直线ABAB和直线和直线CDCD于于点点E E, ,G G. .(1)(1)观察、猜想线段观察、猜想线段EGEG和和FHFH之间的数量关系之间的数量关系, ,并证明你的结论；并证明你的结论；(2)(2)当点当点O O沿直线沿直线HFHF向点向点F F方向移动时方向移动时, ,由题意确定的相应直线由题意确定的相应直线n n也也在变化在变化, ,当直线当直线n n 与线段与线段ABAB没有交点时没有交点时, ,其它条件不变其它条件不变, ,你能得你能得到与到与(1)(1)类似的结论吗类似的结论吗? ?在图在图7-27-
62、2中画出图形中画出图形, ,并证明你的结论并证明你的结论. .(3)(3)如图如图7-3,7-3,点点H H, ,F F分别在线段分别在线段DADA的延长线和线段的延长线和线段CBCB的延长线上时的延长线上时. . 现只有能画直角的工具现只有能画直角的工具, , 试问在直线试问在直线CDCD上是否存在点上是否存在点M M, ,使得点使得点M M到线段到线段HFHF的距离等于线段的距离等于线段HFHF的长的长? ?若存在若存在, ,存在几个这样的存在几个这样的M M, ,并画出这些点并画出这些点M M，说明你的理由；若不存在，说明你的理由；若不存在, ,说明你的理由说明你的理由. .ABADCH
63、FABCDHFmmEGnOABCDHF图图7点评点评: :前前2 2问都是问都是结论探索题结论探索题, ,渗透了类比思想、运动变化思想渗透了类比思想、运动变化思想. .第第3 3问是问是存在性探索题存在性探索题, ,有有2 2个小问个小问, ,要先回答是否存在要先回答是否存在, ,避免避免失分失分. .反思第反思第(1)(1)问得到结论的过程问得到结论的过程, ,把握导致刻结论成立的把握导致刻结论成立的核心条件核心条件, ,从而形成从而形成有效迁移有效迁移, ,解决第解决第(2)(2)和和(3)(3)问问. .分别延长分别延长线段线段HFHF与与ABAB交于点交于点Q Q, ,过点过点Q Q作
64、作QMQMHFHF交直线交直线CDCD于点于点M M, ,符合条符合条件的点件的点M M只有一个只有一个. . 设计说明设计说明例例5 5和相关问题的设计在于说明什么是存在性探索和相关问题的设计在于说明什么是存在性探索. .一般要一般要先回答是否存在先回答是否存在. . 例例5 5的第的第(2)(2)问存在性探索的一般求解方法问存在性探索的一般求解方法是是: :先假设存在先假设存在,然后根据题意列出数量关系式然后根据题意列出数量关系式, ,若有解若有解, ,则则存在；若无解存在；若无解, ,则不存在则不存在. .相关问题是先画出相关问题是先画出QMQM= =HFHF, ,再说明理再说明理由由.
65、 . 数学操作实验题数学操作实验题是指需要经历数学上的操作活动或实验是指需要经历数学上的操作活动或实验活动才能完成的试题活动才能完成的试题.这里的这里的数学操作数学操作主要是指主要是指剪一剪、拼剪一剪、拼一拼、折一折、画一画、摆一摆、移一移一拼、折一折、画一画、摆一摆、移一移之类的动手活动之类的动手活动.数学实验数学实验是指在某种构想的指导下是指在某种构想的指导下,通过动手操作通过动手操作,完成一定完成一定的数学计算与分析或思维模拟性的推理活动的数学计算与分析或思维模拟性的推理活动,得出某种猜想得出某种猜想或验证或验证(否定否定)某个猜想正确性的一种数学活动某个猜想正确性的一种数学活动. 下面
66、再介绍关于数学操作实验题型中的一种下面再介绍关于数学操作实验题型中的一种 -纸片折叠的复习课的设计纸片折叠的复习课的设计: 折叠中的数学折叠中的数学, ,折出你的思维折出你的思维.(2.(2课时课时) ) 纸片的折叠的问题情境常用来考查轴对称性质纸片的折叠的问题情境常用来考查轴对称性质,而且着重而且着重探索基本图形探索基本图形-等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的性质的性质. 折叠后的图形与原图形关于折痕是轴对称折叠后的图形与原图形关于折痕是轴对称,所有对所有对应点的连线被折痕垂直平分应点的连线被折痕垂直平分,对应线段和对应角相等；纸片对应线段和对应角相等
67、；纸片的折叠问题的本质是全等变换的折叠问题的本质是全等变换,折叠后的图形与原图形是全折叠后的图形与原图形是全等的等的,解决这类问题时要抓住因折叠而形成的等线段和等角解决这类问题时要抓住因折叠而形成的等线段和等角,这些相等关系是解决问题的关键这些相等关系是解决问题的关键.一一. .三角形纸片的折叠问题的探讨三角形纸片的折叠问题的探讨. . 例例1.1.如图如图8,8,在锐角三角形纸片在锐角三角形纸片ABCABC中中, , 将纸片折叠将纸片折叠, , 使点使点A A落在对边落在对边BCBC上的点上的点D D处，折痕交处，折痕交ABAB于点于点E E, ,交交ACAC于于点点F F , , 折痕折痕
68、EFEFBCBC, , 连结连结ADAD, ,DEDE, ,DFDF. .(1)(1)求证求证: :线段线段EFEF是是ABCABC的中位线；的中位线；(2)(2)线段线段ADAD, ,BCBC有何关系有何关系? ?并证明你的结并证明你的结论；论； (3)(3)若若AB=ACAB=AC, ,试判断四边形试判断四边形AEDFAEDF的形状的形状, ,并加以证明并加以证明. .点评点评: : 纸片的折叠问题的本质是全等变纸片的折叠问题的本质是全等变换换, ,折叠后的图形与原图形是全等的折叠后的图形与原图形是全等的, ,AEAE= =EDED,AEFAEF=DEFDEF是解题的突破口是解题的突破口.
69、 .ADADBCBC, , 四边形四边形AEDFAEDF是菱形是菱形. .变式一变式一: : 你能用一张锐你能用一张锐角三角形纸片折出它的角三角形纸片折出它的四条重要线段四条重要线段: :中位线中位线, ,高高, ,中线中线, ,角平分线吗角平分线吗? ?试一试试一试, ,动手折一折动手折一折. . 变式二变式二: : 如图如图9,9,在钝角三角在钝角三角形纸片形纸片ABCABC中中, , 将纸片折叠将纸片折叠, , 使点使点A A落在边落在边BCBC的延长线上的点的延长线上的点D D处，处，折痕交折痕交ABAB于点于点E E, ,交交ACAC于点于点F F , ,折痕折痕EFEFBCBC,
70、, 连结连结CECE, ,DEDE, ,DFDF, ,且且 BCBC=2=2CDCD.(1)(1)图中有几个等腰三角形图中有几个等腰三角形? ?请写出请写出( (不能添加字母和辅助线不能添加字母和辅助线, ,不要求不要求证明证明) )； (2) (2) 若若 ACAC= =BCBC, ,判断四边形判断四边形EFDCEFDC的形的形状状, ,并证明你的结论并证明你的结论. .图图9通过通过“题组题组”的形式设计对三角形纸片的折叠问题的探讨的形式设计对三角形纸片的折叠问题的探讨. .变式一的变式一的设计目标设计目标: :通过例通过例1 1学习学习, ,学会三角形的中位线的折法学会三角形的中位线的折
71、法. .那中线那中线, ,高高, ,角角平分线折法呢平分线折法呢? ? 不仅沟通了知识间的联系又训练了学生的发散思维不仅沟通了知识间的联系又训练了学生的发散思维, , 使学生使学生能够能够“举一反三举一反三” “” “触类旁通触类旁通”.-”.-是是平行的变平行的变, ,难度没有加深难度没有加深. .变式二的变式二的设计目标设计目标: :探讨钝角三角形纸片沿中位线折叠的问题探讨钝角三角形纸片沿中位线折叠的问题. . - -是是往深处的变往深处的变, ,难度加大难度加大. .通过通过“题组题组”形式在整体上探讨三角形纸片沿中位线折叠会得到什么结形式在整体上探讨三角形纸片沿中位线折叠会得到什么结果
72、果? ?有无共性有无共性?(?(BDEBDE和和BDEBDE都是等腰三角形；都是等腰三角形； ADADBCBC).).能否通过折叠建立能否通过折叠建立三角形与菱形的关系三角形与菱形的关系. .二二. .矩形纸片的折叠问题的探讨矩形纸片的折叠问题的探讨. .例例2.2.已知如图已知如图10,10,在矩形纸片在矩形纸片ABCDABCD中，中，ABAB=2=2，ADAD=1=1，将纸片折叠，使顶点，将纸片折叠，使顶点A A与边与边CDCD上的点上的点E E重合重合. .(1)(1)如果折痕如果折痕FGFG分别与分别与ADAD、ABAB交与点交与点F F、G G( (如图如图10-1)10-1)， ，
73、求，求DEDE的长；的长；(2)(2)如果折痕如果折痕FGFG分别与分别与CDCD、ABAB交与点交与点F F、G G( (如图如图10-2)10-2)， , , 求折痕求折痕FGFG的长的长点评点评: : 折叠后的图形与原图形关于折痕折叠后的图形与原图形关于折痕是轴对称是轴对称, ,所有对应点的连线被折痕垂所有对应点的连线被折痕垂直平分直平分, ,对应线段和对应角相等对应线段和对应角相等. .在在(2)(2)中中, ,AEAEFGFG, ,设设FGFG交交AEAE于点于点O,O,则则OAOA=OE. =OE. 先可得先可得OFOF= =OGOG, ,再用相似求再用相似求OFOF. . 变式一
74、变式一: :在矩形在矩形ABCABC中中, ,AB=AB=6,6,BC=BC=8,8,(1)(1)将矩形纸片将矩形纸片ABCDABCD沿沿BDBD折叠折叠, ,使点使点A A落落在点在点E E 处处( (如图如图11-1),11-1),设设DEDE与与BCBC相交相交于点于点F F, ,则则BFBF的长是的长是 ；(2)(2)将矩形纸片如图将矩形纸片如图11-211-2折叠折叠, ,使点使点B B与与点点D D重合重合, ,折痕为折痕为GHGH, ,则则GHGH的长是的长是 . . 变式二变式二: :如图如图12,12,在矩形纸片在矩形纸片ABCDABCD中，中，ABAB6 6，BCBC8.8
75、.将矩形将矩形ABCDABCD沿沿CECE折叠后，折叠后，使点使点D D恰好落在对角线恰好落在对角线A AC C上的点上的点F F处。处。（1 1）求）求EFEF的长；的长；（2 2）求梯形）求梯形ABCEABCE的面积的面积. .图图1212 变式三变式三: :如图如图13,13,在一张长在一张长12cm12cm、宽、宽5cm5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形的矩形纸片内，要折出一个菱形. .甲同学甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGHEFGH（见方案一），乙同学沿矩形的对（见方案一），乙同学沿矩形的对角线角线ACAC折出折出CAECAE=DACDAC
76、，ACFACF=ACB=ACB的方法得到菱形的方法得到菱形AECFAECF（见方案二），请（见方案二），请你通过计算，比较甲同学和乙同学的折你通过计算，比较甲同学和乙同学的折法中，哪种菱形面积较大？法中，哪种菱形面积较大？图图1313变式四变式四: :如图如图14,14,把矩形把矩形ABCD折叠使点折叠使点C落在落在AB上的点上的点G处处( (不与不与A,B重合重合),),点点D落落在在H处处, ,此时此时, ,GH交交AD于点于点E, ,折痕为折痕为MN. .(1)(1)如果如果AB=1,=1,BC= ,= ,当点当点G在什么位在什么位置时置时, ,可使可使NBG GAE? ?(2)(2)如
77、果如果AB= =BC=1,=1,使使NBG GAE的点的点G还存在吗还存在吗? ?若存在若存在, ,请求出点请求出点G的位置的位置, ,若若不存在不存在, ,请说明理由请说明理由. .图图1414 变式五变式五: :如图如图15,15,在矩形纸片在矩形纸片ABCD中中, ,将纸片沿过点将纸片沿过点B的直线折叠的直线折叠, ,使点使点A A落在矩落在矩形内部的点形内部的点P处处, ,折痕折痕BE交交AD于点于点E, ,AB=6=6,BC=8.=8.(1)(1)当点当点P位于对角线位于对角线AC上时上时, ,求此时求此时AP的的长；长；(2)(2)在矩形内部是否存在点在矩形内部是否存在点P, ,使
78、得使得PCD为等为等腰三角形腰三角形, ,若存在若存在, ,这样的点这样的点P有几个有几个, ,并并画出所有的点画出所有的点P，保留画图痕迹，保留画图痕迹, ,并加以并加以简单的说明；若不存在简单的说明；若不存在, ,说明理由说明理由. .图图1515点评点评: :挖掘隐藏条件挖掘隐藏条件APAPBEBE, ,运用相似运用相似, ,勾股定理求勾股定理求APAP的长；点的长；点P P只会落在以点只会落在以点B B为圆心为圆心, ,以以ABAB长为半径的圆弧上长为半径的圆弧上, , 满足条件的满足条件的点点P P有有 4 4个个. . 以点以点C C为圆心为圆心, ,以以CDCD长为半径的长为半径
79、的C C与这个圆弧交与这个圆弧交于点于点, , 以点以点D D为圆心为圆心, ,以以DCDC长为半径的长为半径的D D与这个圆弧交于点和与这个圆弧交于点和, ,CDCD的垂直平分与这个圆弧交于点的垂直平分与这个圆弧交于点. .此题渗透了数形结合思想此题渗透了数形结合思想, ,分类讨论思想分类讨论思想, ,运动变化思想运动变化思想. . 设计说明设计说明通过设计通过设计“题组题组”探讨矩形纸片的折叠问题探讨矩形纸片的折叠问题. .图图1414折叠的基本原理折叠的基本原理不变不变: : 折叠后的图形与原图形关于折痕是轴对称折叠后的图形与原图形关于折痕是轴对称, ,所有对应所有对应点的连线被折痕垂直
80、平分点的连线被折痕垂直平分, ,对应线段和对应角相等；纸片的折叠问题的本对应线段和对应角相等；纸片的折叠问题的本质是全等变换质是全等变换但折叠的方式可以有多种但折叠的方式可以有多种, ,问题的情境也随之改变问题的情境也随之改变. .例例2 2设计目的设计目的: :第第(1)(1)问中将矩形纸片的一个角折叠问中将矩形纸片的一个角折叠, ,使矩形纸片的这个角的顶使矩形纸片的这个角的顶点落在矩形纸片的一边上；第点落在矩形纸片的一边上；第(2)(2)问中将矩形纸片沿着如图问中将矩形纸片沿着如图10-210-2折叠折叠. .变式一的设计目标变式一的设计目标：将问题特殊化：将问题特殊化, , 第第(1)(
81、1)问中将矩形纸片的一个角沿对角问中将矩形纸片的一个角沿对角线折叠；第线折叠；第(2)(2)问中将矩形纸片折叠问中将矩形纸片折叠, ,使矩形纸片相对的两个顶点重合使矩形纸片相对的两个顶点重合. . - -是往易处变是往易处变. .变式二的设计目标：变式二的设计目标：将矩形纸片的一个角如图将矩形纸片的一个角如图1212折叠折叠, ,使矩形纸片的这个角使矩形纸片的这个角的顶点落在矩形纸片的一条对角线上的顶点落在矩形纸片的一条对角线上. -. -是往易处变是往易处变. .变式三的设计目标：变式三的设计目标：将矩形纸片用两种不同的方法分别折将矩形纸片用两种不同的方法分别折4 4次折成菱形次折成菱形.
82、. - -是平行的变是平行的变. .变式四的设计目标：变式四的设计目标：矩形纸片沿着如图矩形纸片沿着如图1515折叠折叠. .这与例这与例2 2的第的第(2)(2)问是不同的问是不同的折叠方式折叠方式. -. -是平行的变是平行的变. .变式五的设计目标：变式五的设计目标：将矩形纸片的一个角如图将矩形纸片的一个角如图1414沿着过另一个角的顶点的直沿着过另一个角的顶点的直线折叠线折叠, ,使矩形纸片的这个角的顶点落在矩形的内部时使矩形纸片的这个角的顶点落在矩形的内部时. . - -是往难处变是往难处变. .通过通过“题组题组”形式在整体上探讨从不同的角度折叠矩形纸片的问题形式在整体上探讨从不同
83、的角度折叠矩形纸片的问题. .例例3:3:如图如图16,16,将矩形纸片将矩形纸片ABCD对折对折, , 得折痕得折痕MN, ,展开展开, ,再将纸片沿过点再将纸片沿过点A的直线折叠的直线折叠, ,使点使点B落在第一条折落在第一条折痕线痕线MN上的点上的点F处处, ,第二条折痕线第二条折痕线AE交交BC于点于点E, ,延长延长EF交交ADAD于点于点G. .(1)(1)判断判断AEG的形状的形状, ,并证明你的结并证明你的结论；论；(2)(2)对于任一矩形纸片对于任一矩形纸片, ,按上述方法是按上述方法是否都能得到这种三角形否都能得到这种三角形? ?请说明你请说明你的理由的理由. .图图16变
84、式变式: : 如图如图17,17,在正方形纸片在正方形纸片ABCD中中, ,点点E. .F分别是分别是AB, ,CD的中点的中点, ,沿过沿过点点D的直线将的直线将A角翻折角翻折, ,使得点使得点A落在落在EF上的点上的点H处处, ,折痕折痕DG交交AB于点于点G, ,分别求分别求ADG的度数的度数. .点评点评: :此题突破口是此题突破口是DF= =DC= =AD= =DHDH. .可得可得ADG=15.=15.图图17 设计说明设计说明例例3和变式是和变式是同类问题同类问题,都运用了都运用了“在直角三角形中，如果一在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是条直角边
85、是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30”这个这个定理求角的度数定理求角的度数, 变式是对例变式是对例3的补充的补充.设计目的设计目的: 如何用一张矩形纸片折等边三角形如何用一张矩形纸片折等边三角形?如何用一张如何用一张正方形纸片折正方形纸片折15的角的角?折折30的角的角? 三、菱形纸片的折叠问题的探讨三、菱形纸片的折叠问题的探讨. .例例4.4.如图如图18,18,在边长为在边长为2 2的菱形的菱形ABCD中中, , B=45=45，AE为为BC边上的高边上的高, ,将将ABE沿沿AE所在的直线翻折得所在的直线翻折得ABE, ,求求ABE与四边形与四边形AECD重叠部分的面重叠部分的面积
86、积. .点评点评: : 此题的突破口此题的突破口ABCD, , 可分别可分别求出求出ABE和和CBF的面积的面积. .图图1818 设计说明设计说明 本节课的设计是通过本节课的设计是通过“题组题组”的形式的形式对纸对纸片折叠问题进行探讨片折叠问题进行探讨. 如何用好如何用好变式变式? 变式的讲究变式的讲究: 变式的目的是什么变式的目的是什么?为何而变为何而变?是往易是往易处变处变,是往深处变是往深处变,还是平行的变还是平行的变? 变式的目的变式的目的:开拓学生的思维，挖掘学生的潜力，开拓学生的思维，挖掘学生的潜力，有利于培养提高学生的应变思维能力有利于培养提高学生的应变思维能力,既沟通了知既沟
87、通了知识间的联系识间的联系,又训练了学生的发散思维，使学生能又训练了学生的发散思维，使学生能够够“举一反三举一反三” “触类旁通触类旁通”. 变式的效果变式的效果:讲一题讲一题,带一串带一串, 懂一题懂一题,懂一类懂一类.以上我们对一些重点和难点课的复习课进行了探讨以上我们对一些重点和难点课的复习课进行了探讨. .那么上好一堂好的复习课那么上好一堂好的复习课, ,应在课的设计上注意什么应在课的设计上注意什么? ? 1. 1.选好例题选好例题, ,选题要思考选题要思考, , 不能以多取胜不能以多取胜, ,搞题海战术搞题海战术. .（1 1）有什么用？）有什么用？认清功能；认清功能；（2 2）用来
88、干什么？）用来干什么？认清目的；认清目的；（3 3）是否适合学生的水平？）是否适合学生的水平？从实际出发从实际出发 2. 2.用好例题用好例题, , 用好变式用好变式. .设计变式型问题设计变式型问题( (一题多解一题多解, ,多题一解多题一解, ,采用题组的形式一题多变采用题组的形式一题多变)-)-提高学生应变思维能力；提高学生应变思维能力；陈题新讲陈题新讲-将其变化延伸将其变化延伸, ,拓展学生思维拓展学生思维, ,于旧题中挖出新意；于旧题中挖出新意；深题浅讲深题浅讲-找准突破口找准突破口, ,巧妙降低难度巧妙降低难度, ,将大题化小将大题化小, ,深题化浅深题化浅. . 要精讲精练，懂一
89、题要精讲精练，懂一题, ,懂一类懂一类, ,悟其妙悟其妙. . 3.3.课堂中贯穿着对学生的关爱课堂中贯穿着对学生的关爱. .教给他们良好的做题素质教给他们良好的做题素质: :对新题、应用题、综合题等不要怕对新题、应用题、综合题等不要怕, ,用一颗平常心对待用一颗平常心对待. .平常做这些题时平常做这些题时, ,要敢于去碰、敢于去试要敢于去碰、敢于去试. .教给他们做题后反思习惯教给他们做题后反思习惯: :不管自己独立解决问题是否成功不管自己独立解决问题是否成功, ,每每做完一道有思考性的题目后做完一道有思考性的题目后, ,都要反思总结都要反思总结, ,这样就会做一题这样就会做一题, ,得得一题；当获得了反思总结的经验后一题；当获得了反思总结的经验后, ,做完一道题后再进行反思做完一道题后再进行反思, ,有可能会做一题有可能会做一题, ,得一题得一题, ,得一法得一法, ,懂一类懂一类. .
