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1、2.1.22.1.2平面向量的几何表示平面向量的几何表示问题1：向量如何表示？向量用带有箭头的线段来表示，向量用带有箭头的线段来表示，线段按一定线段按一定的比例的比例(标度标度)画出，它的长短表示向量的大画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向小，箭头的指向表示向量的方向. 用有向线段表示；用有向线段表示； A(起点)B(起点)用表示向量的有向线段的起点与终点用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示，例如字母表示，例如 ， 用字母、用字母、 c c等表示等表示. .（印刷（印刷用黑体，手写用用黑体，手写用 ）问题问题2：向量与有向线段的区别？向量与有向线段的区别？（1 1）向量只
2、有）向量只有大小大小和和方向方向两个要素，与起点无两个要素，与起点无 关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；的向量；（2 2）有向线段有）有向线段有起点、大小起点、大小和和方向方向三个要素，起三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段线段. .问题问题3：由于向量是有大小的，那么它的大小如何表示由于向量是有大小的，那么它的大小如何表示呢？呢？ 向量的大小也就是向量的长度向量的大小也就是向量的长度 用表示向量的有向线段的长度表示用表示向量的有向线段的长度表示.A(起点)B(终点)【零向
3、量零向量】长长度度为为0的向量叫的向量叫零向量零向量; 记记作作0. 规规定：零向量定：零向量0的方向是任意的的方向是任意的. 注意：零向量注意：零向量0与与实实数数0的含的含义义、书书写区写区别别.【单位向量单位向量】长长度度为为1个个单单位位长长度的向量，叫度的向量，叫单单 位向量位向量. 说说明明零向量、零向量、单单位向量的定位向量的定义义都只是都只是 限制了大小限制了大小.问题问题4 4：零向量、单位向量是如何定义的？零向量、单位向量是如何定义的？向量的向量的模可以为模可以为0吗？可以为吗？可以为1 1吗？可以为负数吗？吗？可以为负数吗？向量的模可以为向量的模可以为0, ,也可以为也可
4、以为1,1,不可以为负数不可以为负数. .为了研究的需要，我们引入以下概念为了研究的需要，我们引入以下概念. .问题问题5：相等向量：相等向量 因为向量完全由它的方向和模确定因为向量完全由它的方向和模确定. .对于对于两个非零向量两个非零向量a、b，就其，就其模模等与不等等与不等，方向方向同与不同同与不同而言，有哪几种可能情形？而言，有哪几种可能情形？ 模相等，方向不相等模相等，方向不相等模不相等，方向不相等模不相等，方向不相等模不相等，方向相等模不相等，方向相等模相等，方向相等模相等，方向相等（3 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且
5、与有向线段的起点无关条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. . 【相等向量相等向量】 （1 1）向量）向量与与相等，记作相等，记作； （2 2）零向量与零向量相等；）零向量与零向量相等； （4 4）在平面上，两个长度相等且指向一致的）在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量；因为向量完全由它有向线段表示同一个向量；因为向量完全由它的方向和模确定的方向和模确定. . abAB(5)(5)向量或有向线段平移向量或有向线段平移, ,不会改变其长度和不会改变其长度和 方向方向思考：思考：用有向线段表示非零向量用有向线段表示非零向量 如果如果 ，那么，那么A A、B B、C C、D
6、D四点的位置四点的位置关系有哪几种可能情形？关系有哪几种可能情形？A AB BC CD DA AB BC CD D问题问题6 6： 平行向量平行向量 方向相同或相反的非零向量叫方向相同或相反的非零向量叫平行向量平行向量 如图如图: :用用有向线段有向线段表示的两个表示的两个平行向量平行向量a a、b.b. 向量向量a a、b b平行，平行，记作记作 a ba b 规定：零向量与任一向量平行规定：零向量与任一向量平行. . 即对于任意向量即对于任意向量a a，都有，都有 0 0aa说明说明（1 1）综合）综合、才是平行向量的完整定义；才是平行向量的完整定义； （2 2）向量）向量、平行，如左图平
7、行，如左图 记作记作. .ab探究：平行向量与共线向量探究：平行向量与共线向量 思考：思考：如果两个非零向量所在的直线互相平如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？行，那么这两个向量的方向有什么关系？思考：思考：我们知道我们知道方向相同或相反方向相同或相反的非零向量的非零向量叫做叫做平行向量平行向量，向量，向量a与与b平行记作平行记作a/b，那么，那么平行向量所在的直线一定互相平行平行向量所在的直线一定互相平行吗？吗？方向相同或相反方向相同或相反思考：思考：零向量零向量0 0与向量与向量a平行吗？平行吗？零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行. . 思考：思考：将
8、向量平移，不会改变其长度和方向将向量平移，不会改变其长度和方向. .如图，如图，设设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量是一组平行向量，任作一条与向量a所在所在直线平行的直线直线平行的直线l，在，在l上任取一点上任取一点O O，分别作，分别作 那么点那么点A A、B B、C C的位置关系如何？的位置关系如何？O Olabc思考：思考：如果非零向量如果非零向量 是共线向量，那是共线向量，那么点么点A A、B B、C C、D D是否一定共线？是否一定共线？B BA AC C点点A、B、C在同一条直线上在同一条直线上 上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到上述分析表明，任一组平行向量都可以移动
9、到同一直线上，因此，平行向量也叫做同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量共线向量平行向量平行向量也叫做也叫做共线向量共线向量向量的相反向量向量的相反向量定义：定义：注意：注意： 如果向量如果向量 和和 的的模相等模相等且且方向相反方向相反，那么把向量，那么把向量 叫做向叫做向量量 的的相反向量相反向量(或把向量或把向量 叫做叫做向量向量 的负向量的负向量)，记作，记作 (或或 ) .补充知识补充知识注意：(1)向量无大小， 但其模有大小；向量向量的定义向量的表示字母表示几何表示向量的模与零向量、单位向量三种向量关系相等向量相反向量平行向量(共线向量）(2)零向量是一个非常特殊的向量，与任何向
10、量平行。知识迁移知识迁移 例例1 1 已知飞机从已知飞机从A A地按北偏东地按北偏东3030方方向飞行向飞行2000km2000km到达到达B B地，再从地，再从B B地按南偏地按南偏东东3030方向飞行方向飞行2000km2000km到达到达C C地，再从地，再从C C地按西南方向飞行地按西南方向飞行1000 km1000 km到达到达D D地地. .（1 1）画图表示向量）画图表示向量 （2 2）求飞机从）求飞机从A A地到达地到达D D地的位移所对应地的位移所对应的向量的模和方向的向量的模和方向. .B BA A东东北北C CD D 例例2 2 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为
11、正方形，为正方形，BCEBCE为等腰直角三角形为等腰直角三角形. .以图中各点为以图中各点为起点和终点，写出与向量起点和终点，写出与向量 平行的所平行的所有向量有向量. .A AB BC CD DE E归纳与整理归纳与整理 1. 1.向量是为了表示、刻画向量是为了表示、刻画既有大小，既有大小，又有方向的量又有方向的量而产生的，物理中有许多而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用种工具，有着广泛的实际应用. . 2. 2.由于有向线段具有长度和方向双由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表重特征，所以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系种对应关系. . 3. 3.零向量是一个特殊向量，其模为零向量是一个特殊向量，其模为0 0，方向是不确定的，方向是不确定的. .引入零向量将为以引入零向量将为以后的研究带来许多方便后的研究带来许多方便. .
