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1、章末复习第3章导数及其应用学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理知识点一在xx0处的导数1.定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，称函数yf(x)在xx0处可导. 为f(x)在xx0处的导数.2.几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线 .3.物理意义：瞬时速度、瞬时
2、加速度.常数A斜率函数导数yCy_yx(为常数)y_ysin xy_ycos xy_知识点二基本初等函数的求导公式0x1cos xsin xyax(a0且a1)y_yexy_ylogax(a0且a1)y_yln xy_axln aex和差的导数f(x)g(x)_积的导数f(x)g(x)_商的导数 (g(x)0)知识点三导数的运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)1.函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值与导数(1)极大值：在xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时
3、， ，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；(2)极小值：在xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.知识点四函数的单调性、极值与导数f(x)0f(x)0f(x)0f(x)01.求函数yf(x)在(a，b)内的 .2.将函数yf(x)的各极值与 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别提醒：(1)关注导数的概念、几何意义利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知，若切点未知，则设出切点，用切点坐标表示切线斜率.(2)正确理解单调性与导数、极值与导数的关系当函数在区间(a，b)上为增函数时，f(x)0；f(
4、x0)0是函数yf(x)在x0处取极值的必要条件.知识点五求函数 yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤极值端点处函数值f(a)，f(b)1.导数值为0的点一定是函数的极值点.( )2.在可导函数的极值点处，切线与x轴平行.( )3.函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增.( )4.函数f(x)xln x的最小值为e1.( )思考辨析判断正误题型探究类型一导数的几何意义及应用例例1设函数f(x) x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行.(1)求a的值；解解f(x)x22ax9(xa)2a29，
5、f(x)mina29，由题意知，a2910，a1或1(舍去).故a1.解答解答(2)求f(x)在x3处的切线方程.解解由(1)得a1.f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.反反思思与与感感悟悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由 f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型.解答跟跟踪踪训训练练1
6、求垂直于直线2x6y10并且与曲线yx33x25相切的直线方程.解得x01，y03，即P(1，3).又k3，切线方程为y33(x1)，即3xy60.类型二导数中分类讨论思想命题角度命题角度1函数的单调性与导数函数的单调性与导数例例2已知函数f(x)ax2bxln x(a，bR).设a0，求f(x)的单调区间.解答反思与感悟反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.(4)求参数的范围时常用到分离参数法.解答解答f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，由f(1)0，得ae
7、.解答(2)求f(x)的极值；解答(3)当a1时，直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，求实数k的取值范围.反反思思与与感感悟悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负.(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.解答跟踪训练跟踪训练3设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值；令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，故g(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，).因此，x1是
8、g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)1.解答解答解解由(1)，知g(x)的最小值为1.即a的取值范围为(0，e).类型三导数中的构造函数问题答案解析bcbc令g(x)0，解得xe；令g(x)e，g(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减，而543e，命题角度命题角度2求解不等式求解不等式例例5定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)满足f(x)2ex的解集为 .答案解析(0，)f(x)0，即函数g(x)单调递增.f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x)g(0).函数g(x)单调递增，x0，不等式的解集为(0，).反反思思与与感
9、感悟悟应用构造法解决不等式时，先根据所求结论与已知条件，构造函数，通过导函数判断函数的单调性，再利用单调性得到x的取值范围.跟跟踪踪训训练练5设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)为其导函数.当x0时，f(x)xf(x)0，且f(1)0，则不等式xf(x)0的解集为 .答案解析(1，)解析解析令g(x)xf(x).当x0时，g(x)xf(x)f(x)xf(x)0，g(x)在(0，)上单调递增.又f(x)是偶函数，即f(x)f(x)，则g(x)(x)f(x)xf(x)g(x)，g(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增.f(1)0，则g(1)1f(1)0，由xf(x)0，即g(x)g(1)，
10、得x1，xf(x)0的解集为(1，).证明即函数f(x)在(1，)上是增函数，又x1，所以f(x)f(1)11ln 10，即x1ln x0，所以x1ln x.命题角度命题角度3利用导数证明不等式利用导数证明不等式例例6已知x1，证明：x1ln x.反思与感悟反思与感悟利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式构造成f(x)0(或0时，22x0时，exe01，f(x)2(1ex)0.函数f(x)22x2ex在(0，)上是减函数，f(x)0时，22x2ex0，22x2ex.达标检测1.若函数f(x)x3bx2cx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的单调递减区间为 .答案1234解
11、析1234答案解析2.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)0，则g(x)x2f(x)在(，0)内的单调情况一定是 .单调递减；单调递增；先增后减；先减后增.解析解析因为函数f(x)在定义域R上为增函数，所以f(x)0.又因为g(x)2xf(x)x2f(x)，所以当x(，0)时，g(x)0恒成立，所以g(x)x2f(x)在(，0)内单调递增.1234答案解析4.设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值；1234解答令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，(2)求函数f(x)的单调区间与极值.1234解答1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0).明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点.2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.规律与方法
