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1、第一部分教材梳理第第3节二次函数节二次函数第三章函数第三章函数知识要点梳理知识要点梳理概念定理概念定理 1. 二次函数的概念二次函数的概念一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，特别注意a不为零不为零，那么y叫做x的二次函数.y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式.2. 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质二次函数的图象是一条关于对称对称的曲线，这条曲线叫做抛物线抛物线.抛物线的主要特征(也叫抛物线的三要素)：有开口方开口方向向；有对称轴对称轴；有顶点顶点.3. 二次函数图象的画法：五点法二次函数图象的画法：五点法(1)先根据函数解析式，求出
2、顶点顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴对称轴.(2)求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴坐标轴的交点当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D. 将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象;当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D. 由C,M,D三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A,B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象.方法规律方法规律 1. 二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数的解
3、析式，通常利用待定系数待定系数法法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式一般式(y=ax2+bx+c).(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶顶点式点式y=a(x-h)2+k.(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点两点式式y=a(x-x1)(x-x2).(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式顶点式.2. 二次函数图象的平移二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“h h值正右移，负左移；值正右移，负左移；k k值正上移，负下移值正上
4、移，负下移”，概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”. 3. 二次函数的图象与各项系数之间的关系二次函数的图象与各项系数之间的关系抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用：(1)a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样. a0时，抛物线开口向上向上；a0(即a,b同号)时，对称轴在y轴左侧左侧； 0,抛物线与y轴交于正半轴正半轴；c0,抛物线与y轴交于负半轴负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是 ()A. m=-1B. m=3C. m-1D. m-1D D5. 已知二次函数y=ax2+bx+
5、c(a0)的图象如图3-3-4所示，对称轴是直线x=-1，下列结论：abc0；2a+b=0；a-b+c0；4a-2b+c0,其中正确的是()A. B. 只有C. D. D D6. 如图3-3-5，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点，则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能是()A A考点考点2求二次函数的解析式及图象的平移求二次函数的解析式及图象的平移考点精讲考点精讲【例例2 2】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点
6、落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式.思路点拨：思路点拨：(1)根据已知条件，利用交点式得出y=a(x-1)(x-3)，再求出a的值，然后利用配方法即可求出顶点坐标；(2)根据左加右减原则可得出平移后的抛物线的解析式.解：解：(1)抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3).把C(0，-3)代入，得3a=-3.解得a=-1.故抛物线的解析式为y=-(x-1)(x-3)，即y=-x2+4x-3.y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，顶点坐标为(2，1).(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平
7、移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y=-x上.解题指导：解题指导：解此类题的关键是根据已知条件选用合适的形式设二次函数的解析式以及根据平移性质得出平移后的解析式.解此类题要注意以下要点：(1)二次函数有三种形式，即一般式、顶点式和交点式，要根据已知条件灵活选择合适的形式；(2)一般求出二次函数的解析式后，利用配方法可求二次函数的顶点坐标；(3)二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”.考题再现考题再现1. (2013茂名)下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是()A. y=3x2+2B. y=3(x-1)2C. y=3(x-1)2+2D. y=2x22. (201
8、2广州)将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为()A. y=x2-1B. y=x2+1C. y=(x-1)2D. y=(x+1)2D DA A3. (2010广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图3-3-6所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3).(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.解：解：(1)(1)将点将点(-1(-1，0)0)，(0(0，3)3)代入代入y y=-=-x x2 2+ +bxbx+ +c c中，得中，得解得解得y y=-=-x x
9、2 2+2+2x x+3.+3.(2)(2)令令y y=0=0，解方程，解方程- -x x2 2+2+2x x+3=0+3=0，得得x x1 1=-1=-1，x x2 2=3.=3.抛物线开口向下，抛物线开口向下，当当-1-1x x3 3时，时，y y0.0.考题预测考题预测4. 将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为()A. y=(x-1)2+4 B. y=(x-4)2+4C. y=(x+2)2+6D. y=(x-4)2+65. 将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为()A. y=(x+2)2+3B.
10、 y=(x-2)2+3 C. y=(x+2)2-3 D. y=(x-2)2-3B BB B6. 将二次函数y=x2-2x化为y=(x-h)2+k的形式，结果为()A. y=(x-1)2B. y=(x-1)2-1C. y=(x+1)2+1D. y=(x-1)2+17. 将y=(2x-1)(x+2)+1化成y=a(x+m)2+n的形式为()A. B. C. D. B BC C考点考点3二次函数综合题二次函数综合题考点精讲考点精讲【例例3 3】(2013茂名)如图3-3-7所示，抛物线yax2- x+2与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为(3，0).(1)求a的值和抛物线的顶点坐标
11、；(2)分别连接AC,BC. 在x轴下方的抛物线上求一点M，使AMC与ABC的面积相等；(3)设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CN|.探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由.思路点拨：思路点拨：(1)先把点B坐标代入y=ax2- x+2，可求得a的值，再利用配方法将一般式化为顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；(2)由AMC与ABC的面积相等，得出这两个三角形AC边上的高相等，又由点B与点M都在AC的下方，得出BMAC，则点M既在过点B与AC平行的直线上，又在抛物线上，由此求出点M的坐标；(3)连接BC并延长，交抛物线的
12、对称轴于点N，连接AN，根据轴对称的性质得出AN=BN，并且根据三角形三边关系定理得出此时d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大.运用待定系数法求出直线BC的解析式，再将对称轴的x值代入，求出y的值，得到点N的坐标，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可.解：(1)抛物线 经过点B(3，0)，解得顶点坐标为(2)抛物线 的对称轴为直线 与x轴交于点A和点B，点B的坐标为(3，0)，点A的坐标为(-6，0).又当x=0时，y=2，C点坐标为(0，2).设直线AC的解析式为y=kx+b，直线AC的解析式为SAMC=SABC，点B与点M到AC的距离相等.又点B与点M都在AC的下方，BMAC.设
13、直线BM的解析式为将点B(3，0)代入，得解得n=-1.直线BM的解析式为由解得点M的坐标是(-9，-4).(3)在抛物线对称轴上存在一点N，使d=|AN-CN|的值最大.点N的坐标为 ,d的最大值为BC= .解题指导：解题指导：解此类题的关键是要能根据已知条件，将问题的要求正确推导转化为可以列式求解的更直观的推论，如题中，要使得AMC与ABC的面积相等，必须推导出两个三角形AC边上的高相等和BMAC的结论.解此类题要注意以下要点：(1)待定系数法求一次函数、二次函数的解析式；(2)二次函数的性质；(3)三角形的面积求法，轴对称的性质等.考题再现考题再现1. (2014广州)已知平面直角坐标系
14、中两定点A(-1，0),B(4，0)，抛物线y=ax2+bx-2(a0)过点A，B，顶点为C，点P(m，n)(n0)为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)当APB为钝角时，求m的取值范围；(3)若m ，当APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移 个单位，点C,P平移后对应的点分别记为C,P，是否存在t，使得首尾依次连接A，B，P，C所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.解：解：(1)(1)抛物线抛物线y y= =axax2 2+ +bxbx-2(-2(a a0)0)过点过点A A，B B， 解得解得抛物线的解析式为抛物线的
15、解析式为(2)(2)如答图如答图3-3-13-3-1，以，以ABAB为直径作圆为直径作圆M M，则抛物线在圆内的部分，则抛物线在圆内的部分，能使能使APBAPB为钝角，为钝角，M M的半径的半径= .= .P P是抛物线与是抛物线与y y轴的交点，轴的交点，OPOP=2.=2.P P在在M M上，上，P P的对称点为的对称点为(3(3，-2).-2).当当-1-1m m0 0或或3 3m m4 4时，时，APBAPB为钝角为钝角. .(3)(3)存在；当多边形周长最短时，存在；当多边形周长最短时， , ,抛物线平移方向为抛物线平移方向为向左平移向左平移. .考题预测考题预测2. 如图3-3-8
16、，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；(3)是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由. 解：解：(1)(1)将将A A，B B两点的坐标代入函数解析式，得两点的坐标代入函数解析式，得解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y y= =x x2 2-2-2x x-3.-3.(2)(2)将抛物线的解析式化为顶点式，得将抛物线的解析式化为顶点式，得y y=(=(
17、x x-1)-1)2 2-4.-4.点点M M的坐标为的坐标为(1(1，-4)-4)，点，点M M的坐标为的坐标为(1(1，4).4).设设AMAM的解析式为的解析式为y y= =kxkx+ +b b，将点，将点A A，M M的坐标代入，得的坐标代入，得 解得解得AMAM的解析式为的解析式为y y=2=2x x+2.+2.联立联立AMAM与抛物线，得与抛物线，得解得解得C C点坐标为点坐标为(5(5，12).12).S SABCABC= 412=24.= 412=24.( (3)3)存在过存在过A A，B B两点的抛物线，其顶点两点的抛物线，其顶点P P关于关于x x轴的对称点为轴的对称点为Q
18、 Q，使，使得四边形得四边形APBQAPBQ为正方形为正方形. .由由APBQAPBQ是正方形，是正方形，A A(-1(-1，0)0)，B B(3(3，0)0)，得，得P P(1(1，-2)-2)，Q Q(1(1，2)2)，或，或P P(1(1，2)2)，Q Q(1(1，-2).-2).当顶点为当顶点为P P(1(1，-2)-2)时，设抛物线的解析式为时，设抛物线的解析式为y y= =a a( (x x-1)-1)2 2-2-2，将将A A点坐标代入函数解析式，得点坐标代入函数解析式，得a a(-1-1)(-1-1)2 2-2=0.-2=0.解得解得a a= .= .抛物线的解析式为抛物线的解析式为当当P P为为(1(1，2)2)时，设抛物线的解析式为时，设抛物线的解析式为y y= =a a( (x x-1)-1)2 2+2+2，将将A A点坐标代入函数解析式，得点坐标代入函数解析式，得a a(-1-1)(-1-1)2 2+2=0.+2=0.解得解得a a=- .=- .抛物线的解析式为抛物线的解析式为y y=- (=- (x x-1)-1)2 2+2.+2.综上所述：抛物线综上所述：抛物线y y= (= (x x-1)-1)2 2-2-2或或y y=- (=- (x x-1)-1)2 2+2+2，使得四边形，使得四边形APBQAPBQ为正方形为正方形. .
