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1、1.3 1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型() () () () 即样本空间即样本空间是个是个有限集有限集; ;各样本点出现的可能性相同各样本点出现的可能性相同, ,即每个基本事件即每个基本事件发生的概率相等发生的概率相等. .是有限个是有限个, , 试验的全部可能的结果试验的全部可能的结果每次试验中每次试验中, ,例如例如每一面出现的概率都是每一面出现的概率都是一、一、古典概型古典概型：()()样本空间样本空间是个是个有限集有限集: :的的概率相概率相同同. .()()每个基本事件每个基本事件1.1.有限性有限性 试验的所有基本事件试验的所有基本事件总数有限总数有限. .2.2.等
2、可能性等可能性每次试验中每次试验中, ,各个基本事件各个基本事件出现的出现的都相同都相同. .可能可能性性掷一枚均匀的骰子掷一枚均匀的骰子, ,基本事件总数基本事件总数A A中所含的基本事件数中所含的基本事件数古典概型古典概型：()()样本空间样本空间是个是个有限集有限集: :()()设设A A是任一事件，是任一事件， 并设并设A A中中 含有含有m m个样本点个样本点基本事件总数基本事件总数 (n(n个基本事件）个基本事件）m m个基本事个基本事件件例例解解设设例例 求出现偶数点的概率求出现偶数点的概率. .解解 样本空间样本空间A A表示表示 B B表示表示求求P(A),P(B)P(A),
3、P(B)表示表示“出现偶数点出现偶数点”掷一枚均匀的骰子掷一枚均匀的骰子, ,掷两颗均匀的骰子掷两颗均匀的骰子, ,“点数之和为点数之和为8”,8”,“第一次出奇数点第一次出奇数点”, ,样本空间为样本空间为一、两个基本原理一、两个基本原理1. 1. 加法原理加法原理例例 从甲地到乙地从甲地到乙地, ,解解 可以乘飞机可以乘飞机每天有飞机一班、每天有飞机一班、 火车六班、火车六班、汽车三班汽车三班, ,问一天中乘飞机问一天中乘飞机或不同班次的火车、汽车或不同班次的火车、汽车, ,有几种不同的有几种不同的选择方法选择方法?种种汽车汽车, ,或者乘火车或者乘火车或或 从甲地到乙地从甲地到乙地, ,
4、 共有共有 加法原理加法原理: :如果完成某件事如果完成某件事有有 种方式种方式, ,第一种方式中有第一种方式中有n n1 1第二种方式中有第二种方式中有n n2 2个方法个方法, ,中有中有n nk k个方法个方法, ,不论用哪一种方式中的哪一个方法不论用哪一种方式中的哪一个方法, ,都能达到完成该事件都能达到完成该事件的目的的目的, ,那么完成这件事共有那么完成这件事共有种不同的方法种不同的方法. .个方法个方法, ,第第 种方式种方式乘法原理乘法原理: : 2.2.乘法原理乘法原理例例 解解 必须经过乙地必须经过乙地, ,甲地到乙地的甲地到乙地的交通线路交通线路有铁路、有铁路、 公路和水
5、路公路和水路; ;从乙地到丙地的从乙地到丙地的交通线路交通线路只有公路只有公路和水路和水路. .一旅客从甲地经过乙地一旅客从甲地经过乙地有几种不同的途径有几种不同的途径? ?种种如果完成某件事如果完成某件事分分k k个步骤个步骤, ,第一步有第一步有n n1 1种方法种方法, ,第二步有第二步有n n2 2种方法种方法, , .,.,第第k k步有步有n nk k种方法种方法, ,各个步骤各个步骤依次依次连续完成连续完成, ,该事件才算完成该事件才算完成, , 则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法. .甲甲乙乙丙丙到丙地到丙地, ,从甲地到丙地从甲地到丙地, ,有有 二、排
6、列二、排列1. 1. 选排列和全排列选排列和全排列例例 解解 可写出多少个可写出多少个数码不重复数码不重复的三位数的三位数? ?个个 定义定义 任取任取k k个元素个元素按照按照一定一定顺序排成一列顺序排成一列, ,称为从称为从n n个不同元素中个不同元素中取取k k个的个的排列排列. .用用1,2,3,41,2,3,4四个数码四个数码, ,从从n n个不同元素中个不同元素中共有共有 如果如果称上述定义的排列为称上述定义的排列为选排列选排列; ;则称之为则称之为全排列全排列. .如果如果k=n,k=n,从从n n个不同元素中个不同元素中的选排列的个数为的选排列的个数为全排列的全排列的个数为个数
7、为取取k k个个 定义定义 任取任取k k个元素个元素按照按照一定一定顺序排成一列顺序排成一列, ,称为从称为从n n个不同元素中个不同元素中取取k k个的个的排列排列. .从从n n个不同元素中个不同元素中个个2. 2. 允许重复的排列允许重复的排列例例 9 9解解 一共可以设多少一共可以设多少? ?种种取出允许重复使用的取出允许重复使用的定义定义 k k个元素个元素, ,按照一定顺序排成一列按照一定顺序排成一列, ,称为称为n n个不同元素个不同元素简称简称允许重复的排列允许重复的排列. .元排列元排列, ,个不同元素个不同元素允许重复允许重复 的元排列的元排列总共有总共有从从n n个不同
8、元素中个不同元素中允许重复允许重复的的以以9 9为首位的六位电话号码为首位的六位电话号码, ,共有共有三、组合三、组合例例 解解 共有共有任意取出两个相乘任意取出两个相乘, , 可得到可得到多少个不同的积多少个不同的积? ?个个定义定义 从从n n个不同元素中任取个不同元素中任取k k个个任取任取k k个个每次取出每次取出k k不管怎样不管怎样的的顺序顺序称为从称为从n n个不同元素中个不同元素中的组合数记为的组合数记为个个个个从从n n个不同元素中个不同元素中, ,并成并成一组一组, ,个个元素的元素的组合组合. .从从7,8,97,8,9三个数里三个数里, ,( (一一) )样本空间的点数
9、样本空间的点数 以以排列排列计算计算把把设设A A表示表示 解解 共有共有 个个所以所以五个字母任意排列五个字母任意排列, ,相邻相邻的概率的概率. .求字母求字母 和和“字母字母 和和 相邻相邻”与其余三个字母与其余三个字母进行全排列进行全排列. .把把 看成一个元素看成一个元素, ,再把再把 看成一个元素看成一个元素, ,与其余三个字母与其余三个字母进行全排列进行全排列. .共有共有 个个看作四个元素看作四个元素看作四个看作四个基本事件总数为基本事件总数为元素元素, ,例例 例例 解解 * * * *五个字母任意排列五个字母任意排列, ,的的右右边边的概率的概率. .求字母求字母 在在“字
10、母字母 在在 右边右边”五个字母任意排列五个字母任意排列总共有总共有种排法种排法. . 所有这些排列分两类所有这些排列分两类: :的的右右边边, , 字母字母 在在的的左左边边. .和字母和字母 在在a a在在b b的的右右边边a a在在b b的的左左边边* * * *两类之间两类之间 有一一对应的关系有一一对应的关系. .从而这两类从而这两类所含排列数一样多所含排列数一样多, ,均为均为个个的概率为的概率为把把例例 解法一解法一乙有乙有n-1n-1个个 注注: : 等可能的等可能的有利于事件有利于事件A A发生发生的的有有2 2种种可能可能, ,表示表示 “乙坐在甲左边第乙坐在甲左边第 个位
11、置上个位置上” 解法二解法二其中其中甲、乙两人甲、乙两人坐在一起坐在一起n n个朋友随机地围绕圆桌而坐个朋友随机地围绕圆桌而坐, , 求求A:A:( (座位相邻座位相邻) )的概率的概率. .设甲先坐好设甲先坐好, ,这里取样本空间这里取样本空间位置可坐位置可坐, ,.* *例例 每个人以同样的概率每个人以同样的概率分配到分配到N N间间求求 (1)(1) 指定的指定的n n间房中间房中各有一人的概率各有一人的概率. .(2)(2)每个房间最多一人的概率每个房间最多一人的概率. .解解 “指定的指定的n n间房间房中中各有一人各有一人.”.”“每个房间最多一人每个房间最多一人.”.”房中房中,
12、 ,设有设有n n个人个人, ,N N个个n n个个.* *求求 (3)(3) 某指定的房间不空某指定的房间不空的概率的概率. .(4)(4)某指定的某指定的房间房间解解 “某指定的房间不空某指定的房间不空” “某指定的房间是空的某指定的房间是空的.”.”“某指定的某指定的房间恰有房间恰有k k个人个人”例例 每个人以同样的概率每个人以同样的概率分配到分配到N N间间房中房中, ,设有设有n n个人个人, ,恰有恰有k k个人的概率个人的概率. .N N个个n n个个( (二二) )样本空间的点数以组合计算样本空间的点数以组合计算例例 解解 其中有其中有8 8件次品件次品, ,其余为正品其余为
13、正品, ,从中任取从中任取5 5件件, ,求求(1) (1) 至多一件次品至多一件次品至少二件次品至少二件次品次品的数量次品的数量设设 表示取出的表示取出的5 5件中件中或或一只箱子里装有一只箱子里装有100100件某产品，件某产品，的概率的概率. .设设A A表示表示 解解 例例 n n个黑球个黑球, ,从中任取从中任取 个个, , 求取到的球中求取到的球中恰有恰有 个白球个白球, , 个黑球个黑球 “ “取到的球中取到的球中个黑球个黑球”基本事件总数为基本事件总数为的概率的概率. .恰有恰有 个白球个白球, ,箱中有箱中有m m个白球个白球, ,例例 解解 样本点总数为样本点总数为随机地放
14、入随机地放入4 4个杯子中个杯子中, ,问杯子中球问杯子中球的概率各为多少的概率各为多少? ?的最大的最大个个数数分别为分别为“杯子中球的最大个数为杯子中球的最大个数为 ”设设 表示表示将将3 3个球个球例例 或者或者从中任取从中任取4 4个个, , 设设A A表示表示“至少有两个次品至少有两个次品”, ,B B表示表示“最多有最多有2 2个次品个次品”, ,求求设设 表示表示 “取出的取出的4 4个中有个中有 个次品个次品” 则则 互不相容互不相容. .1010个灯泡中有个灯泡中有3 3个次品，个次品，解解 二、几何概型二、几何概型计算机在区间计算机在区间0,10,1上上 任意打一个数任意打
15、一个数 , , 求求小于小于 的概率的概率. .随机地在单位圆内任掷一点随机地在单位圆内任掷一点M,M,求点求点M M到原点的距离到原点的距离的概率的概率. .1.1.2. 2.小于小于这两个随机试验这两个随机试验都是欧氏空间的都是欧氏空间的一个区域一个区域, ,样本点落在区域内的每一点的机会样本点落在区域内的每一点的机会均等均等. . 都都设区域设区域如果样本点落在如果样本点落在A A中中, ,就说事件就说事件A A发生了发生了. .“机会均等机会均等”点落在点落在A A中的可能性的大小中的可能性的大小与与A A的面积的面积成正比成正比, ,而与而与A A的位置形状无关的位置形状无关. .由
16、由的样本空间的样本空间, ,的确切含义是的确切含义是: :定义定义 设设为为欧氏空间的一个区域，欧氏空间的一个区域， 用用表示表示的度量的度量（一维为（一维为的的长度，长度， 二维为二维为的的面积面积, ,三维为三维为的的体积体积),),A A是是中一个可以度量中一个可以度量的的子集子集, , 定义定义为事件为事件A A发生的概率发生的概率, ,称为区域称为区域上的上的几何概率几何概率. . 例例 设电台每到整点报时设电台每到整点报时, ,某人午觉醒来某人午觉醒来, ,他打开他打开收音机收音机, ,求他等待时间不超过求他等待时间不超过1010分钟分钟 就听到报时就听到报时的概率的概率. .解解
17、 以分钟为单位以分钟为单位, , 设上一次报时时刻为设上一次报时时刻为0,0,下一次下一次报时时刻为报时时刻为60.60. ) )例例 某货运码头仅能容一船卸货某货运码头仅能容一船卸货, ,甲、乙两船卸货甲、乙两船卸货时间分别为时间分别为1 1小时和小时和2 2小时小时, , 设甲、乙两船在设甲、乙两船在2424小时内随时可能到达小时内随时可能到达, ,求它们中任何一船求它们中任何一船都不需都不需等待码头空出的概率等待码头空出的概率. .解解设设 分别为分别为甲、乙两船甲、乙两船为一个样本点为一个样本点, ,样本空间为样本空间为A A为所求事件为所求事件, ,或或到达的时刻到达的时刻, ,例例 从区间从区间0,10,1中中任取三个随机数任取三个随机数, ,求三个数的和求三个数的和不大于不大于1 1的概率的概率. .设设 解解分别表示这三个数分别表示这三个数, ,样本空间为样本空间为设设A A表示表示“三个数的和不大于三个数的和不大于1 1”且且
