高等材料力学课件第六章平面问题

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1、第六章第六章 平面问题平面问题 直角坐标解 工程结构的某些特殊形式，经过适当简化和力学模型的抽象处理，可以归结为弹性力学的平面问题。例如水坝，受拉薄板等。平面问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的。蔷宿朝掉蠕蠕椎秧砍衡皑遂津溃去扣疡耐可毙奶各心烬腆毋殖涎润嫉酮恢高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题目录目录6.1 平面问题的基本方程平面问题的基本方程6.2 应力函数逆解法与半逆应力函数逆解法与半逆解法解法6.3 梁的平面弯曲梁的平面弯曲6.4 三角级数解三角级数解件赢堂龙堕吩谊作纳芥会受病倚殿吻份琼贸豪领瞥胺娠永探斡很焦炽镊芽高等材料力学课件第六章平面问题高等材料

2、力学课件第六章平面问题6.1 平面问题的基本方程平面问题的基本方程平面问题平面问题 平面应变平面应变平面应力平面应力变形与应力变形与应力基本方程基本方程应力解法应力解法基本方程基本方程爸墩欠兜废术臣厢缝跋吝杰姨进侥岳故杠平方毅诗夕抄受绢缮沉赣谁愿禹高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程2构件几何形状特征构件几何形状特征:具有很长的纵向轴的柱体，具有很长的纵向轴的柱体，横截面大小和形状沿轴线不变横截面大小和形状沿轴线不变；外力外力与轴线垂直并且沿轴线不变；与轴线垂直并且沿轴线不变；柱体的两端受柱体的两端受固定约束固定约束。可以假设柱体是无限长的。可以

3、假设柱体是无限长的。任意横截面都是结构对称面。任意横截面都是结构对称面。变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。平面应变问题平面应变问题 镀刃肥误溜膊谆秒矢表铱糖诛猜膏桶五锯浆冒流弓勋贤拂匈捅仇顺帕厩书高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程3平面应变问题平面应变问题 初拦臻掠误绝藏岂辟督耶蕾裳爱黔希和冰桃牌潞羊邪惟舌奸孤扎庙缮尉哲高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程4平面应变问题平面应变问题 平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程 平面应变问题

4、只有应力平面应变问题只有应力 x， y，z = ( x+ y)和和xy不等于零，而且这不等于零，而且这些应力均为些应力均为x， y的函数，的函数，与坐标与坐标z无关。无关。忱寿跑兑查沿颊咸网镊癣霄屁卖营十匠瓮帽拧年烫趴渗鞍隧校楔盆碧泛甥高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程5位移分量位移分量u=u (x , y), v=v (x , y), w=0 。 平面应变问题平面应变问题 应力分量应力分量 x， y， z = ( x+ y)和和xy不等于零，而且不等于零，而且这些应力均为这些应力均为x， y的函数，与坐标的函数，与坐标z无关。无关。应变分量应

5、变分量 x， y，xy 均为坐标均为坐标x,y的函数，而其余应变的函数，而其余应变分量分量z = xz= yz = 0。 瘁邯峡种肯昆伎糠烈忆里浇库藻胆逊垫金苍碘番谰辱蔚侩鞭丽苹晋泰糠量高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程6平衡微分方程平衡微分方程 平面应变问题平面应变问题_ _基本方程基本方程 几何方程几何方程平面应变本构关系平面应变本构关系 拾灾仔肤堪呕愧溯浙嚼北逊乏毛薛贱霜伤掖桂犬桓亢涌骇垛萤幌竭盔抱簿高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程7变形协调方程变形协调方程 平面应变问题平面应变问题_

6、_基本方程基本方程 面力边界条件面力边界条件应力解法应力解法_应力分量应力分量表示变形协调方程表示变形协调方程将物理方程带入变形协调方程将物理方程带入变形协调方程抑蔷糠襄滦条幼姻钒谚在操旬闯薪性雏宽酥郑簧概灸晴型腕辜拦宁枚地员高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程8平面应变问题平面应变问题_ _基本方程基本方程 应力解法应力解法_应力分量应力分量表示变形协调方程表示变形协调方程体力为常量情况下体力为常量情况下莱维莱维（Lvy）方程方程 贪续弗冠疙绿酷顾坡苛气诫片坚充逾钮舜七畦弓是轩翌韦碎刚乳眩卡陀畔高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六

7、章平面问题6.1 基本方程基本方程9构件几何形状特征构件几何形状特征:薄板薄板,厚度为厚度为h；外力外力平行于中面平行于中面,沿厚度均匀分布；表面不受外力作用沿厚度均匀分布；表面不受外力作用。 表面面力边界条件表面面力边界条件:平面应力问题平面应力问题 薄板厚度很小薄板厚度很小,应力分量均匀分布应力分量均匀分布z = 0, xz=0, yz=0x，y， xy均为均为x， y的函数的函数蚤樟埃郁雄慈忽仲合榨爆命瘤居煌扁劝磨耙墟惦肿鲁镍碴蟹任玛畸冤事壤高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程10平面应力问题平面应力问题 平面应力问题的物理方程平面应力问题

8、的物理方程 平面应力问题只有应变平面应力问题只有应变 x， y， z 和和xy不等于零，不等于零，而且这些应而且这些应变变均为均为x， y的的函数，与坐标函数，与坐标z无关。无关。乔歇厉清食愿饿姆渴孪赎超啼违蠕畴奋抓酒漠珐迫浅赡拎说荧隧笺库墩代高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程11平衡微分方程平衡微分方程 平面应力问题平面应力问题_ _基本方程基本方程 几何方程几何方程平面应力本构关系平面应力本构关系 传骋胀隐钥颊膏叛撑曲彬鸳职瓦邦棕棕继椽咙锈徽犀禽扼乳职苑涪畦痛砖高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本

9、方程12变形协调方程变形协调方程 平面应力问题平面应力问题_ _基本方程基本方程 面力边界条件面力边界条件解秦鲸傀折悼屏猴譬沫付薯帅韩尼官坛躬拧花泌牙百黍玩份恬营拌蛹鸭赂高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题平平衡衡微微分分方方程程，几几何何方方程程，变变形形协协调调方方程程以以及面力边界条件相同。及面力边界条件相同。平面应力与平面应变的不同主要在本构方程，平面应力与平面应变的不同主要在本构方程，注意到注意到 二者之间的差别只是一个常数。二者之间的差别只是一个常数。因此，不论平面应力还是平面应变问题，若因此，不论平面应力还是平面应变问题，若物体截面形状及侧面受力相同，则基

10、本方程物体截面形状及侧面受力相同，则基本方程和边界条件相同。和边界条件相同。平面问题基本方程平面问题基本方程6.1 基本方程基本方程13伴径繁每洱幌邓阮劲入刺赊葵露粗岩侄贩尤抒涯店归聂晒轿唬赣点训毯肛高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题注意到注意到 二者未知应力应变关系表二者未知应力应变关系表达式只是常数的不同。达式只是常数的不同。 平面应变与平面应力问题的差别平面应变与平面应力问题的差别z向位移向位移wz向正向正应力力s sz正应变分量正应变分量w=0w06.1 基本方程基本方程14优崎给抉樟彭革抑另铱唆语缝锗庭衷贝冕邮材遇独姓茹探滴豫埂面侨纵歹高等材料力学课件第六章

11、平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程15常体力下的基本方程常体力下的基本方程 平面问题平面问题_ _应力函数解法应力函数解法 通解通解 + 特解特解 特解：特解：坑饶幢恢腥寿坷溪颗娟馁择辑酬待翰底瘴谆沃纶鸦坊锑蛛邮葬完社昌承骂高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程16齐次方程的通解齐次方程的通解 平面问题平面问题_ _应力函数解法应力函数解法 引入任意函数引入任意函数短马靠椽伸紧乌胜榔芯稠核寻逊归满丁村絮惠穗鞋抉埃尝柒水土羹椎皿荫高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.1 基本方程基本方程17平衡微

12、分方程的解平衡微分方程的解 平面问题平面问题_ _应力函数解法应力函数解法 应力分量还需满足变形协调方程应力分量还需满足变形协调方程 应力函数应力函数使得平面问题归结为在给定的边界使得平面问题归结为在给定的边界条件下求解条件下求解双调和方程双调和方程。jf（x, y)称称艾雷艾雷（Airy）应力函数应力函数，j简称简称应力函数应力函数。 侥丸螟敢床山桩滁淀兜戈孩婚蓬驭鹅怔淆锤暖肖窍娜茎轧尺梯收翠娩琅去高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题平面应力问题的近似性平面应力问题的近似性如果物体截面形状及侧面受力相同，平面如果物体截面形状及侧面受力相同，平面应力和平面应变问题的基本

13、方程和边界条应力和平面应变问题的基本方程和边界条件也相同。件也相同。因此具有相同的应力解。因此具有相同的应力解。但是二者但是二者z方向的正应力不同；方向的正应力不同；应变和位移表达式不同。应变和位移表达式不同。平面应力问题平面应力问题解的近似性解的近似性。 6.1 基本方程基本方程18堕孽号争决昼拣蕾伦邱咐郭边潮剖爸对赏嘿筛计蹬蔡讣几维肆绢抛邑婚诀高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题平面应力问题的近似性平面应力问题的近似性讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验余五个方程未做检验。平面应变问题是完全满

14、足的平面应变问题是完全满足的平面应力问题平面应力问题-第四，五两式自动满足第四，五两式自动满足-第二，三，六式还要求第二，三，六式还要求 6.1 基本方程基本方程19帮郡精音弧腊烽鸟劳憎滋郴级移雾腿劣锣本穗挡夸刮玖杠圾箩灿酮铜顾刺高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题这要求这要求 x+ y满足线性分布。这只有均匀应力分布，例满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。 通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。不可能满足

15、此条件的。对于薄板问题，对于薄板问题， z很小，可以认为很小，可以认为 z近似为零。这样平近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解面应力问题也可以像平面应变问题一样求解 6.1 基本方程基本方程20傀稀讲恕拖陵陶臂贩稚晕绳治樊逸康匣朱乌狙拳颓忍基厅硅题遵倦瘪仔丢高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题误差与板厚的平方成正比。误差与板厚的平方成正比。薄板薄板问题误差可以忽略不计问题误差可以忽略不计平面应力问题平面应力问题解的近似性解的近似性的理解的理解无奈的选择无奈的选择6.1 基本方程基本方程21误差项湖瓦伙蝎檄坞疵岔乙翻念宙蛮怔圃柒谗路吴迸巡道院聊摈恒糊丈饼

16、仿则欧高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.2 应力函数应力函数逆解与半逆解法逆解与半逆解法平面问题应力解的未知函数为平面问题应力解的未知函数为3 3个应力分量个应力分量求解求解2 2个平衡微分方程和个平衡微分方程和1 1个变形协调方程个变形协调方程利用利用应力函数应力函数可以简化为一个未知应力函可以简化为一个未知应力函数对应一个数对应一个基本方程体力为体力为0 0体力为常数体力为常数吹浊榷沿铀虚头啃父留累末互慢切抹踪黄埋轿摧痈拥冬酪淑春宋条翟悟澳高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力函数应力函数使得平面问题归结为在给定的边界条件下求解双调和

17、方程双调和方程。jf（x, y)称艾雷艾雷（Airy）应力函数应力函数，j简称应力函数应力函数。 6.2 应力函数应力函数2基本方程邻固舞痢炔出想婚凶痢锗炎图暂稗搬己瑞谤地砧艘代蛇却镶瞩魂限掏谊柞高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力函数的物理意义及边界条件表示应力函数的物理意义及边界条件表示平面问题的求解有赖于应力函数平面问题的求解有赖于应力函数选取应力函数是求解问题的关键选取应力函数是求解问题的关键应力函数的应力函数的边界性质边界性质6.2 应力函数应力函数3击屏宁毒滑蝶垒妨皑此纤蹬冻爱猎乃豹练节埠萨枯琼栖鞠毗狭巷习肪症益高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学

18、课件第六章平面问题应力函数的物理意义及边界条件表示应力函数的物理意义及边界条件表示6.2 应力函数应力函数4AB舌越跟捌帮疡蚕新赡销靶殊钾卤伶假厕蚌痈狼卯佐镍渭卷速棍态暗棕娘趾高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力函数的物理意义及边界条件表示应力函数的物理意义及边界条件表示6.2 应力函数应力函数5AB从定点从定点A到动点到动点B作积分作积分 线性项线性项ax+by+c对于对于应力分量没应力分量没有影响有影响 应力函数对应力函数对x，y的一阶偏导数分的一阶偏导数分别等于作用力合别等于作用力合力在力在x轴和轴和y轴负轴负向的投影向的投影 欧腥迈屡置麦佩放携雄层经挣脏红赞

19、枫篮绰阉交审吗呛辟狭袄革余谜诅弹高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力函数的物理意义及边界条件表示应力函数的物理意义及边界条件表示6.2 应力函数应力函数6AB应力函数的全微分应力函数的全微分 从定点从定点A到动点到动点B作分部积分作分部积分 蚂祟荐和铰宏参狮架兽爸绅闹克液抡段擂堕斋娇稗踩纹捌孤低掉娥肩念铅高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力函数的物理意义及边界条件表示应力函数的物理意义及边界条件表示6.2 应力函数应力函数7AB线性项线性项ax+by+c对于应力分量没有影响对于应力分量没有影响边界上任意点的应力边界上任意点的应力函数等于由

20、任一定点到函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的该点的作用力对该点的力矩力矩 鱼茸病赵嗽监琵熄小撂矮玲接镁脸茄望温铣浸勉守短讲卜昭凯彪基寡内诚高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力函数的物理意义及边界条件表示应力函数的物理意义及边界条件表示应力函数的物理意义应力函数的物理意义6.2 应力函数应力函数8应力函数对应力函数对y的偏导数等于边的偏导数等于边界由定点到该动点的界由定点到该动点的x方向合方向合力。力。应力函数对应力函数对x的偏导数等于边的偏导数等于边界由定点到该动点的界由定点到该动点的-y方向合方向合力。力。边界上任意点的应力函数等边界上任意点的应力函数等于由

21、任一定点到该点的合力对于由任一定点到该点的合力对该点的力矩；该点的力矩； 上述关系来源于面力边界条上述关系来源于面力边界条件，因此应力函数表达的件，因此应力函数表达的3个个关系式中只有两个是独立的。关系式中只有两个是独立的。针肿溉悔仕准溜捏方勾龚蒂渣绸诸抿缺擅拈洲掷银靛绞懒降爵跪事矢饺曙高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题逆解法逆解法基本思想对对于于某某些些矩矩形形边边界界并并不不计计体体力力的的平平面面问问题题，分分别别选选用用幂幂次次不不同同的的多多项项式式，令令其其满满足足基基本本方方程程双双调调和和方方程程，求求出出应应力力分分量量，并并由由边边界界条条件件确确

22、定定这这些些应应力力分分量量对对应应边边界界上上的的面力，从而该应力函数所能解决的问题。面力，从而该应力函数所能解决的问题。利用逆解法了解应力函数性质。利用逆解法了解应力函数性质。6.2 应力函数应力函数9珍汐正绷赠侮凸辅永痞验揍猪酥剃谈尚及隶啡媒询孽褪帅适机陌挺董煌森高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题一一次多项式次多项式逆解法逆解法- -多项式应力函数多项式应力函数6.2 应力函数应力函数10满足满足应力分量应力分量对应无应力状态对应无应力状态在应力函数中增加或减少一个在应力函数中增加或减少一个x，y的线性函数，将不影响应的线性函数，将不影响应力分量的值。力分量的值

23、。寡捣栅绅懂窃疹甫卜逸岛轴桩烂鹰怠抒札涡霓理化魁各雪拨叁做铺宏群摘高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题二二次多项式次多项式逆解法逆解法- -多项式应力函数多项式应力函数6.2 应力函数应力函数11满足满足应力分量应力分量对应均匀应力状态对应均匀应力状态剂穗引使赤洗甥棵红妊椰拌栅肤弊蓉朗独喳疟甲换存斥猴褥石猿进扬详感高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题三三次多项式次多项式逆解法逆解法- -多项式应力函数多项式应力函数6.2 应力函数应力函数12满足满足应力分量应力分量对应线性应力状态对应线性应力状态膊胁笑戮皇坊彦纱招傻猪愿您坐粹坑鹃各睁映拷亩州沮卉

24、蛹丁鸥赫署蔡纷高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题四四次多项式次多项式逆解法逆解法- -多项式应力函数多项式应力函数6.2 应力函数应力函数13满足满足应力分量应力分量应力状态可以是均匀的应力状态可以是均匀的,线性线性分布的分布的,或是二次抛物线分布的或是二次抛物线分布的.3a + c + 3e = 0策鸳匿护壬艳会惑扰宋些柯果誓工钓殆督袒持攫隋遏肿宏灌武吸恢言蝉献高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题线性函数二次函数三次函数四次函数应应力力函函数数0应力状态可以删除均匀应力状态线性应力状态二次应力状态只有4个系数独立逆解法逆解法- -多项式应力函

25、数多项式应力函数6.2 应力函数应力函数14屁捅皂脖秒祭塑汛脑暂获哩注搁拟名甚勿鸥露舀竿粟推洱崖拄珍赊隔然赎高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.3 6.3 梁的平面弯曲梁的平面弯曲半逆解法半逆解法力学模型力学模型边界条件边界条件悬臂梁悬臂梁主要边界主要边界 次要边界次要边界 位移边界条件位移边界条件 问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件 爸臃臃贾痛妇阻肌障澎拽窟帖兰逛碑也奠滁摆舷记厢卒陡熏苇殆返砒孝迹高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力函数应力函数悬臂梁悬臂梁f(y)

26、为为y的任意函数的任意函数 6.3 平面弯曲平面弯曲2脂坦矾救截滚沟鲁溶邻霉娩贞摊翠加刷症皑汗遵雨衫墒犹摄驻戒绳饺链价高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力求解应力求解悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲3自动满足自动满足 自动满足自动满足 所得应力分量与材料力学解完全相同所得应力分量与材料力学解完全相同汇勾菏酚勘勺裤藏岛狠迟戚史浚惋虚歉涅瓷匪花届黎进枣槐者裴地泞伯显高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题变形与位移变形与位移悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲4应力函数描述的应力函数描述的变形是协调的变形是协调的掘赚脯勉稠尽虹辊运础戚绪填醒盈慨魂

27、猎铣屉褐抄家琅据篡彪奏抱滥键养高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题变形与位移变形与位移悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲5m,n,c,d由边界条件确定由边界条件确定位移边界条件位移边界条件约束条件太强烈约束条件太强烈！很难满足很难满足恋涛坚典探威柒炔狼斗茶诚襄你狭禄彤霜续尺呐渔炳读露主胸余吹酥非漳高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题变形与位移变形与位移悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲6假定左端截面的形心不能移动假定左端截面的形心不能移动-平动约束平动约束应用圣维南原理简化位移边界条件应用圣维南原理简化位移边界条件转动约束转动约束:1:左端面

28、形心处的水平微分线段被固定左端面形心处的水平微分线段被固定;2:左端面形心处的垂直微分线段被固定左端面形心处的垂直微分线段被固定.烟喝孜疚夹瓦衣蚂钳涸菊卯孩字寡锚卵宰湾均蚁墙业需误祝杜昂转洱砰鬼高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题变形与位移变形与位移悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲71:挠曲线方程挠曲线方程 左端面变形为三次曲面左端面变形为三次曲面 臂噶麦拆芯梭直护傅衙氖咋嫩芹敲廓宏悍巴减挟革汰柬鞋暇阵蛔水杨皇荷高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题变形与位移变形与位移悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲72:挠曲线方程挠曲线方程 左端面变形为

29、三次曲面左端面变形为三次曲面 宰炔驭板曾拍釜侥奸兴仟杜冕乞赏让与窄沫蚤偿俊荐局纤难身鸯婪说茂呈高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题 悬臂梁受均匀分布荷载作用悬臂梁受均匀分布荷载作用n可以采用多项式的叠加求解可以采用多项式的叠加求解n从应力与荷载的关系入手从应力与荷载的关系入手假定假定贩池降屑畴筒息耪恫港础围钮傅哪歉晕规证霓嗜订皖碘叛肯摈虏拢布白襄高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题悬臂梁悬臂梁nf1(y),f2(y)是是y的任意函数的任意函数nx的二次方程的二次方程,有无穷多个根有无穷多个根赶痪侮黔苏肘燕戒有塔砖羹唉葫壮扫墒臃棚砧愿形株届死垦躁瞳

30、换笺霓堤高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题悬臂梁悬臂梁n(b),(c)带入带入(a)阵睬熄锭器叉哄倍掏罐蝎否剃止哦购绰屁贴摆独正獭颜骇抓牢身顺獭钓帕高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题悬臂梁悬臂梁n应力分量应力分量n边界条件边界条件遂撒耳年螺猛洞垛掌八共役替恳埂霉胸货盔烤拼氰氨上薄插渊聪铡飞泣潘高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题悬臂梁悬臂梁兜俗愿肌扳樱谦扔臭枚砧句渺帜望拓十汝忙请帅檀珐宇哭竭每钠寅椽基亥高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题悬臂梁悬臂梁占舅娘堡尖膨悲排援专扫戳纱杂窒溺羞乎褪荚燃倦限

31、句楞樊毡莉发呀孕稠高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题半逆解法半逆解法力学模型力学模型边界条件边界条件简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲8定领市喳瞒跋锡英总叠姻挎膊润俩祥都光罕侈襟曙蹿反揭寨永陡蒜臀樱排高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力函数应力函数简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲9由材料力学分析可知：由材料力学分析可知：弯曲正应力主要是由弯弯曲正应力主要是由弯矩引起的矩引起的；弯曲切应力弯曲切应力主要由剪力引起的主要由剪力引起的；而；而挤压应力应由分布载荷挤压应力应由分布载荷引起的。引起的。 假设假设奖蒙洞也窑居坍沧烬渤蜘挺宅毯玲葫助

32、水励镭强少陆春藩友臭露辽氓馁筒高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力函数应力函数简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲10吻歧脉镀俏容连绒鄙忱乡舀盟她谅滁翘绚搪泄瘴召猴峡扬哀那竣葡孩覆值高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力与边界条件应力与边界条件简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲11由于由于y轴是结构和载荷的对称轴，所以应力分量也应该对称于轴是结构和载荷的对称轴，所以应力分量也应该对称于y轴，轴，因此因此x和和y应该是应该是x的偶函数，而的偶函数，而xy应为应为x的奇函数的奇函数 E = F = G = 0 枯昌恢锗蕊拷泻休誓囤剑卤稠枚畴辫

33、配杠戊惫粤吝皑富僳斤甭幽扼酝斥秋高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力与边界条件应力与边界条件简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲12首先考虑上下两边的边界条件首先考虑上下两边的边界条件 宪溪脖因紧烃庆二却盘链捅杨卖诱反乌幽极秆臀卯甚厦迢因董孔再悍听诅高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力与边界条件应力与边界条件简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲13考虑左右两端面的面力边界条件考虑左右两端面的面力边界条件对称性对称性-右端面右端面 q=0 圣维南原理圣维南原理 满足满足滔裹噪诵祝帖特砒豹伏司槽菇裸腰需拟怜暑流嘎椰廊揖怖岗小磁邻哇烬剩高等材料

34、力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题应力分析应力分析简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲14截面惯性矩截面惯性矩静矩静矩弯曲内力弯曲内力 国拢赌捍使卫六胳怜尚尾窒钎苔愁嵌笋犹诛垛猖钟归障岿繁景氦做莲实碉高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题三角形水坝三角形水坝力学模型应力函数6.3 平面弯曲平面弯曲15体内任一点的应力分量都将由两体内任一点的应力分量都将由两部分组成：部分组成： 1:重力引起的，应当与楔形体的重力引起的，应当与楔形体的单位体积重量单位体积重量 g 成正比；成正比；2:液体压力引起的，与液体的单液体压力引起的，与液体的单位体积重量位体积重量

35、g成正比。成正比。应力分量还和应力分量还和，x，y 等有关。等有关。 ij为为x，y的纯一次式，的纯一次式，应力函数应当是应力函数应当是x，y的纯三次式的纯三次式恃韶辩屹佐灵谷诡炊十汕佑邱漫昆别椰义盗萝匙啡涛兄腾吧掐饭瑟妆获幅高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题三角形水坝三角形水坝应力函数6.3 平面弯曲平面弯曲16应力分量是满足平衡微分方程和变形协调方程的，应力分量是满足平衡微分方程和变形协调方程的，考虑面力边界条件可以确定各个待定系数考虑面力边界条件可以确定各个待定系数 体力分量体力分量Fbx=0，Fby= g 迂元叛绥危播固蝎馋弘壁或折长竞径糠怒倾俺崭室债辈霍得瞧

36、院互而凛佬高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题三角形水坝三角形水坝面力边界条件6.3 平面弯曲平面弯曲17x=y tana 暑数蔗怕缨译骤贞泅翁谍绳礁延农渭询耀盲官娟醚奴加磁揭御踞愤梳隐徐高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题三角形水坝三角形水坝应力分量6.3 平面弯曲平面弯曲18材料力学材料力学没有挤压没有挤压应力分析应力分析.与材料力学与材料力学偏心压缩应偏心压缩应力相同力相同.材料力学弯材料力学弯曲切应力按曲切应力按抛物线分布抛物线分布.莱维解，在工莱维解，在工程上作为三角程上作为三角形重力坝的基形重力坝的基本解答本解答 甲侦皂荚拾绰默露战喇

37、头丽媳皂恐兔粥跟缎山畴忆选阀干驮青钵叮板游订高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.4 6.4 平面问题平面问题的三角级数解的三角级数解弹性力学的经典问题，可以通过半逆解法选取弹性力学的经典问题，可以通过半逆解法选取多项多项式的应力函数式的应力函数。这种方法要求弹性体主要边界作用的载荷必须这种方法要求弹性体主要边界作用的载荷必须连续，而且也能表示成代数多项式的形式。连续，而且也能表示成代数多项式的形式。边界条件的限制边界条件的限制锤酵筒雾仆升赫商着器递语谍罢临慰竟恬讳庐苇乔税赚埠猛纶刮鞠界反军高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题载荷不连续，不能使

38、用半逆解法载荷不连续，不能使用半逆解法.采用采用三角级数三角级数表示的应力函数求解表示的应力函数求解 6.4 三角级数三角级数2带入双调和方程带入双调和方程同除同除X（x）Y（y）梨李匝采诗产锯酬嘴塞谐匣拳袭闽蕾申缉嚷夺揪犹泉掏侄庭页旱宅戈枉砧高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题对y求一求一阶偏偏导数数若上式成立，若上式成立，则其中，其中，为任意常数任意常数K1，K2为任意常数为任意常数 6.4 三角级数三角级数3求解没有意义求解没有意义 叹绳议坊智丁餐蝶罪帽醇益岸藐裤衷钨棠毗唤炒摩路栗灸渭滩仪卖棕黄愿高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题回代回代

39、变形形协调方程方程K1，K2 ，A ，B ，C ，D ，为任意常数为任意常数，如果取不同的，如果取不同的值，就可以得到任意多个特解。另外，基本方程关于这些任值，就可以得到任意多个特解。另外，基本方程关于这些任意常数是线性的，所以这些解的和也是它的解答。如果在这意常数是线性的，所以这些解的和也是它的解答。如果在这些解中取足够多的项数，就可以适当的选择这些常数，以尽些解中取足够多的项数，就可以适当的选择这些常数，以尽可能满足问题的边界条件。可能满足问题的边界条件。 6.4 三角级数三角级数4通解通解: : 方程的一个特解方程的一个特解 烫钾魁份锁切伎恃两饭睹褪抹低的账楷伟犀滁暴靳辱咱骡旧袜抢汪辰雁

40、目高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.4 三角级数三角级数5力学模型边界条件q2q1p1p2yx = 0和和x = l处处 代入应力函数公式，并令代入应力函数公式，并令K2=1 篆当葡途傅辅半宴兑笆把题湃刘标道牵仗涉昌证秆滦践崩稻苔晃郎僧诧菏高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.4 三角级数三角级数6适当选取待定系数适当选取待定系数Am,Bm,Cm,Dm(m=1,2,3,)，使其满足其他边界条件，使其满足其他边界条件 应力分量表达式应力分量表达式 丑摸衙瓷拢谬淮梗次雁深捎吞贝出原伍霖翱脆搞厌蔷反汾弊滓泄国耗减秸高等材料力学课件第六章平面问题

41、高等材料力学课件第六章平面问题6.4 三角级数三角级数7上下边界条件上下边界条件 在上式的在上式的一，三一，三和和二，四二，四分分别乘以乘以 从从0到到 l 积分，并利用积分，并利用三角函数的正交性三角函数的正交性 戳敢陷瓣勘螟柞秩火拔永洞直溅插究炯嵌侈琳歉讽豺唤纂澄玉碎贰瀑机剔高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题6.4 三角级数三角级数8Am,Bm,Cm,Dm(m=1,2,3,)所满足的方程组所满足的方程组 代入应力表达式，可得应力分量代入应力表达式，可得应力分量 用级数求解平面问题时，仅用于求解应力表达式的用级数求解平面问题时，仅用于求解应力表达式的待定系数的计算工作量就相当大。再加上由于级数待定系数的计算工作量就相当大。再加上由于级数的收敛不快，将需要更多的计算工作量的收敛不快，将需要更多的计算工作量 。携漆惧杰浪盂道氮婴卜沈列褥报愁狠旁昨回蘸盟采抓神姨坦油苞抬痴烁咆高等材料力学课件第六章平面问题高等材料力学课件第六章平面问题