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1、8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM1 1 矩阵的定义与运算矩阵的定义与运算目的要求目的要求（1）理解矩阵的定义；）理解矩阵的定义；（2）掌握矩阵的基本运算及性质）掌握矩阵的基本运算及性质.8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入1. 1. 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 系数系数系数系数常数项常数项常数项常数项对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究. .线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按
2、原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM2. 2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,DA,B,C,D四城四城市之间开辟了若干航线市之间开辟了若干航线 , ,如图如图所示表示了四城市间的航班图所示表示了四城市间的航班图, ,如果从如果从A A到到B B有航班有航班, ,则用带箭则用带箭头的线连接头的线连接 A A 与与B.B.四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示: :发站发站到站到站其中其中 表示有航班表示有航班. .把表中的把表中的 改成改成1,1,空白地方填上空白地方填上0,0,就就
3、得到一个数表得到一个数表: :8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM二、矩阵的定义二、矩阵的定义 由由 个数个数称为称为 矩阵矩阵. .简称简称 矩阵矩阵. .记作记作排成的排成的 m行行n列的数表列的数表8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM简记为简记为这这个数叫做矩阵个数叫做矩阵A的元素，简称为的元素，简称为元元元元 . .表示第表示第i行第行第j列的元素，称为（列的元素，称为（i，j）元）元. .一对圆括弧一对圆括弧一对圆括弧一对圆括弧8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是实数的
4、矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如例如是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.默认为实矩阵默认为实矩阵默认为实矩阵默认为实矩阵8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM三、几种特殊矩阵三、几种特殊矩阵例如例如是一个是一个3 3 阶方阵阶方阵. .(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量行向量行向量).).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶方阵方阵方阵方阵.
5、.也可记作也可记作称为称为只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量列向量列向量).).8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM （3）形形如如 的的方方阵阵, ,称为称为不全为不全为0 0对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵(或或对角阵对角阵对角阵对角阵）.（4 4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，）元素全为零的矩阵称为零矩阵，注意注意不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的. .记作记作零矩阵记作零矩阵记作或或8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM例如例如(5)(5)方阵方阵称为称为单位矩阵单位矩
6、阵单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵单位阵单位阵）. .全为全为18/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM四、同型矩阵与矩阵相等的概念四、同型矩阵与矩阵相等的概念 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为 2.2.两个矩阵两个矩阵 为同型矩阵为同型矩阵, ,并且并且则称则称矩阵矩阵 相等相等, ,记作记作例如例如为同型矩阵为同型矩阵. .同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵. .对应元素相等对应元素相等,即即8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM五、线性变换五、线性变换关系式关系式的线性变换的线性变换.
7、 .表示一个由变量表示一个由变量到变量到变量系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换线性变换称之为称之为恒等变换恒等变换恒等变换恒等变换. . 单位阵单位阵单位阵单位阵. .对对对对应应应应8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM线性变换线性变换对应对应 这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转角的角的旋转变换旋转变换.8/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM六、矩阵的线性运算六、矩阵的线性运算、定义、定
8、义（一）、矩阵的加法（一）、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵A与与B 的和记作的和记作A+B ，规定为，规定为说明说明说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. .例例18/6/2024 4:42 AM8/6/2024 4:42 AM2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律称为称为称为称为A A的负矩阵的负矩阵的负矩阵的负矩阵. .8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM（二）、数与矩阵相乘（二）、数与矩阵相乘1 1、定义、定义若若求求：（：（1 1）；（；（2 2）；（；（3 3）例例2
9、 28/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算线性运算线性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数）8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM七、矩阵与矩阵相乘七、矩阵与矩阵相乘、定义、定义称称C为为A与与B的乘积的乘积. .设设 , , 规定规定 , , 其中其中8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM例例3，求，求解：解：8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43
10、 AM注意注意注意注意只有当只有当第一个矩阵的第一个矩阵的第一个矩阵的第一个矩阵的列数列数列数列数等于第二个矩阵等于第二个矩阵等于第二个矩阵等于第二个矩阵的的的的行数行数行数行数时，两个矩阵才能相乘时，两个矩阵才能相乘. .例如例如不不存在存在. .8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM例例4 4说明说明说明说明1 1 1 1：一般来说，：一般来说， 即矩阵乘法无交换律即矩阵乘法无交换律. .或或满足满足，未必有，未必有说明说明说明说明2 2 2 2：若矩阵：若矩阵.8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM例例5说明说明说明说明3 3 3 3：
11、8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM例例6 6 对角元乘相应行；对角元乘相应行；对角元乘相应行；对角元乘相应行；对角元乘相应列对角元乘相应列对角元乘相应列对角元乘相应列. . . .8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM例例7 7 已知线性方程组已知线性方程组于是于是 那么上述线性方程组可记成那么上述线性方程组可记成8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律（其中其中 为数）为数）; 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 8/6/2024 4:
12、43 AM8/6/2024 4:43 AM矩阵乘法的应用矩阵乘法的应用-生产成本生产成本 某工厂生产三种产品某工厂生产三种产品某工厂生产三种产品某工厂生产三种产品. . 每种产品的原料费、工资支付每种产品的原料费、工资支付每种产品的原料费、工资支付每种产品的原料费、工资支付每季度生产每种产品的数量见表每季度生产每种产品的数量见表每季度生产每种产品的数量见表每季度生产每种产品的数量见表2. 2.、管理费等见表、管理费等见表、管理费等见表、管理费等见表1. 1.8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM（1）每一季度中每一类成本的数量；）每一季度中每一类成本的数量；（2）每一
13、季度三类成本的总数量；）每一季度三类成本的总数量；（3）四个季度每类成本的总数量）四个季度每类成本的总数量.该公司希望在股东会议上用一个表格展示出该公司希望在股东会议上用一个表格展示出8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM解解解解我们用矩阵的方法考虑这个问题我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两个表格中这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵的每一个均可表示为一个矩阵.8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM的第一列表示夏季生产三种产品的总成本的第一列表示夏季生产三种产品的总成本的第一列表示夏季生产三种产品的总成本的第一列表示夏季生产三种产品的总成
14、本的第二列表示秋季生产三种产品的总成本的第二列表示秋季生产三种产品的总成本的第二列表示秋季生产三种产品的总成本的第二列表示秋季生产三种产品的总成本的第三列表示冬季生产三种产品的总成本的第三列表示冬季生产三种产品的总成本的第三列表示冬季生产三种产品的总成本的第三列表示冬季生产三种产品的总成本的第四列表示春季生产三种产品的总成本的第四列表示春季生产三种产品的总成本的第四列表示春季生产三种产品的总成本的第四列表示春季生产三种产品的总成本计算计算计算计算得：得：得：得：8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本的第一行元素表示四个季度
15、中每一季度原料的总成本的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一类
16、成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一季度的总成本可由每一列相加得到每一季度的总成本可由每一列相加得到每一季度的总成本可由每一列相加得到每一季度的总成本可由每一列相加得到表表表表3 3汇总了总成本汇总了总成本汇总了总成本汇总了总成本8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM八、八、转置矩阵转置矩阵将矩阵将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为的各行变成同序数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵的转置矩阵, , 记为记为 性质性质8/6/2024 4:43 AM8/6/202
17、4 4:43 AM证明：证明：证明：证明：8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM例例9 解法解法1 1解法解法2 28/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM对称阵对称阵矩阵矩阵 A 称为对称矩阵，如果称为对称矩阵，如果 AT = A . .是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵的充要条件是容易知道容易知道,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. .说明说明8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM九、方阵的行列式九、方阵的行列式由由n阶矩阵阶矩阵A的元素（按原来的位置）构成的元素（按原来的
18、位置）构成或或的行列式，称为方阵的行列式，称为方阵 A 的行列式的行列式, ,记作记作 例例10 310 3阶方阵阶方阵，求，求.性质性质8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM十、方阵的伴随矩阵十、方阵的伴随矩阵 设设 A 是是 n 阶矩阵，由行列式阶矩阵，由行列式 | |A| | 的各元素的的各元素的称为矩阵称为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵. .代数余子式代数余子式 Aij 所构成的矩阵所构成的矩阵性质性质证明证明则则故故8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM例例11求求伴随矩阵伴随矩阵. .伴随矩阵伴随矩阵. .例例12 求
19、求8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM思考题思考题1 1、矩阵与行列式的有何区别、矩阵与行列式的有何区别? ? 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同. .成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么? ?2、答答故故 成立的充要条件为成立的充要条件为8/6/2024 4:43 AM8/6/2024 4:43 AM1 1 矩阵的定义与运算矩阵的定义与运算目的要求目的要求（1）理解矩阵的定义；）理解矩阵的定义；（2）掌握矩阵的基本运算及性质）掌握矩阵的基本运算及性质.
