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1、3.4 向量和矩阵的范数n为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，向量和矩阵的范数。向量和矩阵的范数n在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1，x2之间距离用| x1-x2 |表示。向量和矩阵的范数n而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 表示。而平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。向量范数常见的向量范数向量范数性质向量范数性质等价性质：向量的收敛性3.4.2 矩阵范数相容范数算子范数算子范数
2、算子范数常见的矩阵范数常见的矩阵范数对称矩阵范数例题3.4.3 矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性例题谱半径和矩阵序列的收敛性矩阵序列的收敛性3.5 病态方程组与矩阵的条件数3.5.1 病态方程组与扰动方程组的误差分析病态方程组与扰动方程组的误差分析病态方程组与扰动方程组的误差分析病态方程组与扰动方程组的误差分析病态方程组与扰动方程组的误差分析病态方程组n扰动方程 由于计算机字长限制，在解AX=b时，舍入误差是不可避免的。因此我们只能得出方程的近似解 。 是方程组（A+A）x=b+ b (1) 在没有舍入误差的解。称方程（1）为方程Ax=b的扰动方程。其中A， b为由舍入误差所产生的扰动矩阵和扰动向
3、量。当A， b的微小扰动，解得（1）的解与Ax=b的解x的相对误差不大称为良态方程，否则为病态方程。扰动方程组的误差界3.5.2 矩阵的条件数矩阵的条件数的性质相对误差的事后估计n定理3.6.3 例题3.6 解线性方程组的迭代法3.6.1 解线性方程组迭代法概述解线性方程组迭代法概述解线性方程组迭代法概述解线性方程组迭代法概述3.6.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法Jacobi迭代法Jacobi迭代法例题例题Jacobi迭代法的矩阵形式Jacobi迭代法的算法Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法例题Gauss-Seidel迭代法的算法3.6.3 线性方程组迭代法收敛条件迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件迭代法的误差估计迭代法的误差估计迭代法的误差估计收敛的判别条件收敛的判别条件收敛的判别条件收敛的判别条件收敛的判别条件例题例题例题例题
