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1、求两条异面直线之间距离的两个公式求两条异面直线之间距离的两个公式王文彬（抚州一中江西344000）本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法.1.公式一如图 1，l1、l2是异面直线，l2平面，l1 A，l1在内的射影为l，设l2l B，且l1,l2与l所成的角分别为1,2，AB m，则l1与l2之间的距离为d mcsc22（1）l11csc21M证明：设l1与l2的公垂线为MN，如B2H1Al图 1 所示，过M作MH l于H，由于l1Nl2在平面内的射影为l，故MH 平面，图 1NM在内的射影为NH.由MN l2知NH l2.在RtBNH中BN BH cos
2、2 (AB AH)cos2 (m AM cos1)cos2同理AM (m BN cos2)cos1联立解得AM mcos1sin221cos2cos2（）12BN mcos2sin211cos2（）1cos22从而mcos1sin22MH AM sin1sin1221cos1cos2mcos2sin21NH BN tan2tan21cos21cos22MN MH NHm2222m21coscos221222cossin2142sin21cos22sin41tan221coscos22122sin21sin42cos21sin41sin22m21cossin221cos22m2sin21sin2
3、2cos21sin22sin21sin21sin22sin21sin22sin21sin221sin22sin21sin222m2m2sin21sin22.222222sin1sin2sin1sin2csc1csc21即有公式（1）成立.运用公式（1）求l1与l2之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（）和公式（）分别计算出AM和BN的值，进而确定公垂线MN具体位置.2.公式二如图 2，l1、l2是异面直线，Al1，AH l2于H，l1与AH，l1与l2所成的角分别为,，AH m，则l1与l2之间的距离为cos2（2）d m 12sin证明：过A作l /
4、l2，设由l与l2确定的平面为，MN为l1与l2公垂线，如图 2 所示.过M作MK l于K，连KN，易知l1MAlKl2N图 2HmNK l，AHNK为矩形.在RtMNH中，MN2 MH2 NH2 AH2 AM22AH AM cos AK2 m2 AK2 MK22m AM cos AK2 m2 MK22m AM cos m2 MK22mMKcossin由于MN l1,MN l，故MN 平面AMK，从而NMK 900.MK2 NK2MN2 m2MN2，代入上式并解出MN就是公式（2）.MK另外，AM sinm2MN2，将（2）代入得sinmcos（）sin2又HN AK AM cos，将上式代入
5、得mcoscos（）HN 2sin公式（1） （2）可以帮助我们定量地确定公垂线MN的位置.AM 3.公式的应用【例 1】四棱锥S ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SD 底面AC，SD 2，E,F分别是SA,BC的中点，求异面直线EF与BD的距离，并确定公垂线的位置.S【解】取AD的中点G，连EG、GF，设GF BD O，因SD 底面AC，易知EG 面AC，EF在底面内的射影为GF，1 EFG 45 ,2 BOF 45，31.m OF ，代入公式（1）可得EF与BD的距离6200EDGA图 3OBFC设EF与BD的公垂线为MN，其中M EF,N BD，将1,2与m的值代入公式（）和
6、（）可分别求得FM 222，ON ，而EF 2,OB ，626故有FM 11EF,ON OB，由此不难作出公垂线MN.63【例 2】如图 4，ABC A1B1C1是直三棱柱，其中ACB 1200，AC 3，CB 2 3，BB1 2 7，求异面直线AB1与CC1的距离，并确定公垂线的位置.【解】连CB1，则CB1CC12C1B2(2 7)2(2 3)2 2 10，AB2 AC2 BC22ABBCcos1200 21，AB12 AA12 A1B12 (2 7)221 49，AC与AB1所成的角是CAB1，设为，则A1B1cosAB AC CB2 32AB1AC721221C1又AB1与CC1所成的角为A1AB1，设为ABC图 4，则sinA1B121.AB17根据公式（2） ，AB1与CC1的距离为2 3 7 3 7cos.d AC 13 177sin221222设AB1与CC1的公垂线为MN，M AB1,N CC1，易知M,N分别在射线AB1,CC1上，且AM ACcoscos4 7ACcosCN ， 2sin27sin2而AB17,CC1 2 7， 故 有AMCN2，由此不难确定公垂线MN的位置.AB1CC17
