《新高考一轮复习导学案第52讲 空间几何体的表面积与体积（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考一轮复习导学案第52讲 空间几何体的表面积与体积（解析版）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第52讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理1. 空间几何体(1)多面体棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些所围成的几何体叫棱锥如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥底面与截面之间的部分，叫棱台棱台的各侧棱延长后交于一点(2)旋转体旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面旋转体：封闭
2、的旋转面围成的几何体圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥圆台：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥底面与截面之间的部分，叫做圆台)圆台的母线延长后交于一点球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球经过球面上两点的大圆劣弧的长叫做球面距离2.
3、柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh面积体积正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR33. 几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和1、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水
4、位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）ABCD【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积棱台上底面积，下底面积，故选：C2、【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，当时，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.3、【2022年新高
5、考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为故选：A4、【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差
6、约为（）（）A346B373C446D473【答案】B【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以所以因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以故选：B5、【2021年甲卷理科】已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）ABCD【答案】A【解析】，为等腰直角三角形，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.6、【2021年新高考2卷】正四棱台的上下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）ABCD【答案】D【解析】作出图
7、形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.7、【2020年新课标1卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）ABCD【答案】C【解析】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C.8、【2020年新课标1卷理科】已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】设圆半径为
8、，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，根据球的截面性质平面，球的表面积.故选：A1、已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. cm【答案】B【解析】S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2. 故选B.2、 正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积()A. 32 B. 48 C. 64 D. 【答案】 A【解析】 如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形POE. 因为OE2cm，OPE30，所以斜高PE4，所以S正棱锥侧44432
9、.故选A. 3、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12 C8 D10【答案】B【解析】设圆柱的轴截面的边长为x，则由x28，得x2，S圆柱表2S底S侧2()22212.4、（深圳市高级中学集团期末试题）已知圆锥的表面积为3，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由，得，又，所以，解得；所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为故选：C考向一 空
10、间几何体的的表面积例1、1一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm则三棱台的斜高为 ；三棱台的侧面积为 ；表面积为 2已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_3正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为_【答案】：1 cm； cm2； cm2 26 3100【解析】：1设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1EO1O，因O1D13，OD6，则DEODO1D1在Rt
11、D1DE中，D1D (cm)故三棱台斜高为 cm设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336) (cm2)，S表S侧S上S下3262 (cm2)故三棱台的侧面积为 cm2，表面积为 cm22该圆柱的侧面积为2124，一个底面圆的面积是，所以该圆柱的表面积为4263依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点，因此其半径等于5，其表面积等于425100变式1、（1）（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、则有 （2）（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学
12、期阶段考试）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_.【答案】（1）（2）【解析】（1）设球的直径为2R，则（2）由题意知,圆锥的体积为.设球的半径为 则,解得.所以表面积为.故答案为:.变式2、（1）（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆柱的侧面展开图是一个正方形，圆柱的侧面积为，圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，圆柱的表面积与侧面积的比为：，故选：（2）（2023广东统考一模
13、）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）ABCD【答案】C【解析】设圆锥和圆柱的底面半径为，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，则圆锥和圆柱的高为，所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,故选:C.方法总结：几何体的表面积的求法(1) 求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2) 求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积考向二 空间几何体的体积例2、如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到空间图形D-ABC，如图2所示(1) 求证：BC平面ACD；(2) 求空间图形D-A
