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1、习题课函数单调性与奇偶性的综合应用函数的单调性与奇偶性【问题思考】1.填空.(1)函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判定函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.(2)在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(nZ)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(nZ)型函数及常数函数都是偶函数.(3)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,则它们在公共定义域上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇奇=偶,奇偶=奇,偶偶=偶.(4)若f(x)为奇函数,且在区间a,b(ab)上是增(减)函数,则f(x)在区间-b,-a上是增(减)函数;若f(x)为偶函数,且
2、在区间a,b(ab)上是增(减)函数,则f(x)在区间-b,-a上是减(增)函数,即奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;而偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).2.做一做:(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)()A.在1,7上是增函数B.在-7,2上是增函数C.在-5,-3上是增函数D.在-3,3上是增函数(2)若奇函数f(x)满足f(3)f(1),则下列各式中一定成立的是()A.f(-1)f(1)C.f(-2)f(3)
3、D.f(-3)f(5)(3)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x20,+)(x1x2),都有 0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为 .解析:(1)因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1.所以f(x)=-x2+2,结合函数f(x)可知选C.(2)因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)f(1),所以-f(-3)f(-1).(3)由已知条件可知f(x)在0,+)内单调递减,f(3)f(2)f(1).再由偶函数性质得f(3)f(-2)f(1).答案:(1)C(2)A(3)f(3)f(-2)0时,f
4、(x)=-2x2+3x+1,求:(1)f(0);(2)当x0时,f(x)的解析式;(3)f(x)在R上的解析式.分析:(1)利用奇函数的定义求f(0);探究一探究二思想方法解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.(2)当x0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x0.(3)函数f(x)在R上的解析式为反思感悟利用函数奇偶性求解析式的注意事项1.在哪个区间求解析式,就把“x”设在哪个区间;2.利用已知区间的解析式进行代入;3.利用f(x)
5、的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);4.定义域为R的奇函数满足f(0)=0.探究一探究二思想方法变式训练变式训练1本例中若把“奇函数”换成“偶函数”,求x0时f(x)的解析式.解:设x0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.f(x)是偶函数,f(-x)=f(x).f(x)=-2x2-3x+1,xf(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3)解析:f(x)在R上是偶函数,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).而23,且f(x)在0,+)内为增函数,f(2)f(3)f().
6、f(-2)f(-3)f(3)f().又f(x)是R上的偶函数,故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f().探究一探究二思想方法化归思想在解抽象不等式中的应用【典例】已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:f(x)为奇函数;f(x)在定义域上单调递减;f(1-a)+f(1-a2)0,求实数a的取值范围.思路点拨:要由不等式f(1-a)+f(1-a2)0求实数a的取值范围,应利用函数f(x)的奇偶性与单调性去掉“f”,建立关于a的不等式组求解.解:f(x)是奇函数,f(1-a2)=-f(a2-1).f(1-a)+f(1-a2)0f(1-a)-f(
7、1-a2)f(1-a)f(a2-1).f(x)在定义域(-1,1)内是单调递减的,a的取值范围为(0,1). 探究一探究二思想方法方法点睛1.本题的解答充分体现了化归思想的作用,将抽象不等式借助函数的性质转化成为具体不等式,问题从而解决.2.当然本题中还要注意以下化归与计算等细节易错问题:(1)由函数f(x)为奇函数,将不等式f(1-a)+f(1-a2)0等价变形时出错;(2)利用函数f(x)单调递减去掉“f”,建立关于a的不等式组时,因忽略函数f(x)的定义域出错;(3)解错不等式(组)或表示a的取值范围出错.探究一探究二思想方法变式训练变式训练设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(
8、-,0)内是减函数,实数a满足不等式f(3a2+a-3)f(3a2-2a),求实数a的取值范围.解:f(x)在区间(-,0)内是减函数,f(x)的图象在y轴左侧递减.又f(x)是奇函数,f(x)的图象关于原点中心对称,则在y轴右侧同样递减.又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,f(x)的图象在R上递减.f(3a2+a-3)3a2-2a,解得a1,即实数a的取值范围为(1,+).123451.设f(x)是定义在-6,6上的偶函数,且f(4)f(1),则下列各式一定成立的是()A.f(0)f(3)C.f(2)f(0)D.f(-1)f(1),f(4)f(-1).答案:D123452.已知x0时
9、,f(x)=x-2 017,且知f(x)在定义域R上是奇函数,则当x0时,f(x)的解析式是()A.f(x)=x+2 017B.f(x)=-x+2 017C.f(x)=-x-2 017D.f(x)=x-2 017解析:设x0,所以f(-x)=-x-2 017.又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 017.故选A.答案:A123453.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)= .解析:f(-2)=(-2)5+a(-2)3+b(-2)-8=10,25+a23+2b=-18.f(2)=25+a23+2b-8=-26.答案:-2612345123455.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)0,求a的取值范围.解:f(3a-10)+f(4-2a)0,f(3a-10)-f(4-2a).f(x)为奇函数,-f(4-2a)=f(2a-4).f(3a-10)2a-4.a6,即a的取值范围为(6,+).
