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1、(f(x)g(x)dx2(f(x)2dx)*(g(x)2dx) 写成和式极限的形式，应用柯西不等式写成和式极限的形式，应用柯西不等式 从向量从向量a往单位向量往单位向量b做垂直投影，投影长度小于斜边做垂直投影，投影长度小于斜边（就是向量（就是向量a）的长度。）的长度。 三三、格林公式、格林公式定理定理1 1边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.证明证明(1)(1)yxo abDcdABCE同理可证同理可证yxodDcCEAB两式相加得两式相加得证明证明(2)(2)DGDFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知说明
2、：说明：xyoL1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分四、简单应用四、简单应用AB 2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyo3. 3. 计算平面面积计算平面面积解解例3. 计算计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知在D 内作圆周取逆时针方向, 对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得五五、小结、小结1.1.连通区域的概念连通区域的概念; ;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3. 3. 格林公式的应用格林公式的应用. .格林公式格林公式; ; 若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述
3、格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题思考题思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：如果对于区域如果对于区域 G 内任意指定的两点内任意指定的两点 A、B 以及以及 G 内内从点从点 A 到点到点 B 的任意两条曲线的任意两条曲线 L1，L2 六、曲线积分与路径无关的定义六、曲线积分与路径无关的定义GyxoBA则称曲线积分则称曲线积分 + +LQdyPdx 在在 G 内内与路径无关与路径无关, , 否则与路径有关否则与路径有关. . 七、曲线积分与路径无关的条件七、曲线积分与路径无关的条件定理定理2 2思路思路:闭合闭合非闭非闭闭合闭
4、合非闭非闭补充曲线再用公式补充曲线再用公式 直接代换法直接代换法八、二元函数的全微分求积八、二元函数的全微分求积定理定理3 3证略证略设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域, , 函数函数),(yxP ),(yxQ在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数 , , 则则 dyyxQdxyxP),(),(+ +在在G内为某一函数内为某一函数 ),(yxu的全微分的的全微分的充要条件充要条件是等式是等式 xQyP = = 在在G内恒成立内恒成立. . , , , , . . 或者或者若一阶微分方程写成若一阶微分方程写成且且是某二元函数的全微分，则是某二元函数的全微分，则得微分方程通解得
5、微分方程通解例例2：验证：验证：在右半在右半平面（平面（x0）里是某个里是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。函数的全微分，并求出一个这样的函数。解：令：解：令：就有：就有：则在则在右半右半平面里，平面里，是是某个函数的全微分。某个函数的全微分。A（1，0）C（x,y)B(x,0)取取积分路线如图所示，利用积分路线如图所示，利用公式得所求函数为公式得所求函数为：0YX解解注意：利用公式：注意：利用公式：九、小结九、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题作业：作业：P268P268页页 1.(1) (10); 2 1.(1) (10); 2 3.(5);
6、 4.(1) 3.(5); 4.(1) 5.(2); 6.(3) 5.(2); 6.(3)第四节第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 G 表示的几种表示的几种几何形体以及其上的积分几何形体以及其上的积分：L（有限曲（有限曲 面片）面片）(空间有界空间有界 闭区域闭区域)(空间有限空间有限 曲线段曲线段)三重积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分D 闭区间闭区间 a,b(平面有界平面有界 闭区域闭区域)（平面有限平面有限 曲线段）曲线段）二重积分一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的
7、曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想, 采用求质 “ “分割分割, , 近似和近似和, , 求极限求极限” 的方法，可得：量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的定义1.1.定义定义 记为：记为：曲面面积元素曲面面积元素积分曲面积分曲面若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分记为记为于是于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为: 特特别地地,
8、当当 时,曲面曲面积分分 就是曲面就是曲面 块 的面的面积. 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性对积分域的可加性. .则有 线性性质线性性质. .在光滑曲面 上连续, 对对面积的曲面积分面积的曲面积分与对与对弧长的曲线积分弧长的曲线积分性质类似性质类似. . 积分的存在性积分的存在性. . 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分关键是看面积元素？关键是看面积元素？机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面块
9、曲面块切平面块切平面块 的的面积元素面积元素：三代：三代：二二换：换：一投：一投：三、计算法三、计算法则则则则三代：三代：二二换：换：一投：一投：则则三代：三代：二二换：换：一投：一投：对于由参量形式表示的光滑曲面对于由参量形式表示的光滑曲面 其中其中 例例1 计算曲面算曲面积分分其中其中是球面是球面 解解 ( ( 解法一解法一) ) 记记 ( (解法二解法二 ) ) 的参数方程的参数方程为按按 公式公式计算如下算如下: ( (解法三解法三 ) ) 利用利用轮换对称性称性 即即 类似地似地, 有有由此得到由此得到例2. 计算计算其中 是球面利用对称性可知利用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然球心为半径为解解:小小 结结计算对面积的曲面积分计算对面积的曲面积分 化为二重积分化为二重积分1.把积分曲面把积分曲面 代入被积函数；代入被积函数；2.根据积分曲面根据积分曲面 的不同的表示形式，的不同的表示形式，求出曲面面积元素求出曲面面积元素.3. 将将 向相应的坐标面投影，得到二重向相应的坐标面投影，得到二重积分的积分区域积分的积分区域.作作 业业p.276 习题习题9-42; 4; 6.(1); 10
