《第2章 菲克定律应用(3学时)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章 菲克定律应用(3学时)（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、材料相变与扩散材料相变与扩散江苏大学江苏大学材料科学与工程学院材料科学与工程学院戴起勋戴起勋2006UJSDai QX 第第2 2章章 FickFick定律的应用定律的应用 2.1 2.1 FickFick第一定律及应用第一定律及应用 UJSDai QX一一 在单相系统中的稳态扩散在单相系统中的稳态扩散 1 1 一维扩散一维扩散dm/dt常数常数.对对Fick第一定律积第一定律积分，积分限为：分，积分限为：y1 ,y2 ,C1 , C2 UJSDai QX2 2 二维扩散二维扩散 二维稳态时所有半径方向上的流量均相同二维稳态时所有半径方向上的流量均相同,如图所示如图所示.设设内径为内径为r1，
2、浓度，浓度c1，外径为，外径为r2，浓度，浓度c2 ，则：，则：UJSDai QX3 3 三维扩散三维扩散 如图为一球壳，内径为如图为一球壳，内径为r1，浓，浓度度C1，外径为，外径为r2，浓度，浓度C2。 UJSDai QX二、二、 在两相系统中的稳态扩散在两相系统中的稳态扩散 假设有两组元组成一体系，一层是假设有两组元组成一体系，一层是相，扩散系数为相，扩散系数为D D，另一层为，另一层为相，扩散系数为相，扩散系数为D D。有两种情况：有两种情况： （1 1）两层厚度与扩散物质的出现无关；）两层厚度与扩散物质的出现无关； （2 2）两相存在决定于扩散物质，且两相层的相对厚度取）两相存在决定
3、于扩散物质，且两相层的相对厚度取决于扩散过程决于扩散过程1两层厚度与扩散物质出现无关两层厚度与扩散物质出现无关 如图，事先给出两层厚度分别用如图，事先给出两层厚度分别用l和和l l表示（例碳钢表示（例碳钢/A不锈钢），扩散物质用不锈钢），扩散物质用H表示（例氢气），表示（例氢气），H在在稳态建立稳态建立后，在界面上的活度可用下式表示后，在界面上的活度可用下式表示:UJSDai QX图图 两相扩散层中的活度和浓度分布两相扩散层中的活度和浓度分布/UJSDai QX 扩散物质的流量主要决定于具有最大扩散物质的流量主要决定于具有最大值的那个相，值的那个相，这个相对扩散具有最大的阻力，这就象双层墙的热
4、传导这个相对扩散具有最大的阻力，这就象双层墙的热传导那样，其散热主要取决于最好的绝热层。那样，其散热主要取决于最好的绝热层。 所以，有：所以，有：UJSDai QX2 2两相存在与扩散过程有关两相存在与扩散过程有关 研究研究B组元通过组元通过A-B合金墙的扩散。在墙的一侧，合金墙的扩散。在墙的一侧，B的的活度很高，活度很高，例与纯例与纯B B的气相保持平衡的气相保持平衡, ,而在墙的另一侧而在墙的另一侧B的的活度很低。如图活度很低。如图图图 B B组元在组元在A-BA-B合金中扩散时的浓度分布合金中扩散时的浓度分布UJSDai QX 整个厚度整个厚度是恒定的，但是恒定的，但/厚厚随扩散而变化的
5、，可随扩散而变化的，可求得：求得：设墙厚为设墙厚为l l , ,在建立稳态后，在建立稳态后，UJSDai QX 因此，可知道扩散元素的流量主要决定于具有最大因此，可知道扩散元素的流量主要决定于具有最大DC C的相，就是对扩散具有最小阻力的相。的相，就是对扩散具有最小阻力的相。当当 DD时时,UJSDai QX三三 晶界薄膜的沉淀晶界薄膜的沉淀 A-B二元合金，在二元合金，在T1的均匀相冷至的均匀相冷至T0时有相析出。设晶界时有相析出。设晶界是平面直线形，且当晶界上开始有是平面直线形，且当晶界上开始有相析出时，沿晶界铺展相析出时，沿晶界铺展极快，形成一层薄膜。由相图可画出浓度分布。极快，形成一层
6、薄膜。由相图可画出浓度分布。图图 晶界薄膜沉淀时的浓度分布晶界薄膜沉淀时的浓度分布UJSDai QX 相相的的长长大大主主要要取取决决于于B B原原子子在在相相中中的的扩扩散散。B B原原子子向向相相薄薄膜膜扩扩散散，在在其其附附近近相相中中有有一一浓浓度度梯梯度度。经经扩扩散，在散，在dtdt时间内增加了时间内增加了dldl厚，则流量可得：厚，则流量可得： 近似地近似地取：取： x x为过饱和度。为过饱和度。S S可由两块阴影面积来估计。可由两块阴影面积来估计。 UJSDai QX四四 新相在原两旧相间形核长大新相在原两旧相间形核长大 这种情况如钢的加热转变奥氏体化。作为一般讨论，设这种情况
7、如钢的加热转变奥氏体化。作为一般讨论，设A-BA-B二元系，有中间相二元系，有中间相. . 在一定温度时，可以在界面上形成在一定温度时，可以在界面上形成一层一层相，并以一定速率长大，其长大速率决定于通过相，并以一定速率长大，其长大速率决定于通过相层相层的扩散速率。如图所示的扩散速率。如图所示. .建立局部平衡时浓度分布曲线。建立局部平衡时浓度分布曲线。相形成时的浓度分布相形成时的浓度分布B原子扩散方向原子扩散方向相界移动相界移动主要方向主要方向UJSDai QX Fe-C相图中在温度相图中在温度T时的平衡浓度值时的平衡浓度值 UJSDai QX采用采用稳态扩散稳态扩散的近似方法，估算的近似方法
8、，估算相中的浓度梯度：相中的浓度梯度： 使使B原子由原子由/界面迁移到界面迁移到/界面的速率为：界面的速率为： 设设dt时间时间,在在/相界面上，增厚相界面上，增厚 ,在在/ /相界面上增相界面上增厚厚 ,因为因为 :UJSDai QX根据质量平衡，在根据质量平衡，在/界面上有：界面上有：同理在同理在/ /相界面上也有：相界面上也有：两侧的长大对两侧的长大对相均有贡献，所以：相均有贡献，所以： UJSDai QXUJSDai QX2.2 2.2 FickFick第二定律及应用第二定律及应用各种表达式：各种表达式：( (设设D D为常数为常数) )三维直角坐标：三维直角坐标：三维柱坐标：三维柱坐
9、标：三维球坐标：三维球坐标：一维球坐标：一维球坐标：一维柱坐标：一维柱坐标：UJSDai QX 几个重要解：几个重要解：高斯（高斯（Gauss）解：解：误差解：误差解： 正弦（正弦（Sine）解：解：一维球坐标高斯方程解一维球坐标高斯方程解: (t=0时时,浓质集中在浓质集中在r=0处处)平方平均值平方平均值: :用数学方法都可证明上述解都符合用数学方法都可证明上述解都符合Fick第二定律第二定律UJSDai QX1 1 高斯解及应用高斯解及应用 分布规律是：宽度分布规律是：宽度B随随t而增宽，而而增宽，而A随随t增加而衰减，增加而衰减， B、A的匹配变化保持总面积不变，如图。的匹配变化保持总
10、面积不变，如图。 当当t=0 时，时，B=0 ，A 。说明起始时，所有原子都集中。说明起始时，所有原子都集中在一起。在一起。 适合于表面涂覆的扩散适合于表面涂覆的扩散。 当当t0时，所有原子对扩散都有贡献。时，所有原子对扩散都有贡献。 与事实不符。与事实不符。一般表达式：一般表达式：宽度宽度振幅振幅UJSDai QX试件单面涂覆试件单面涂覆: 利用迭加原理和反射原理有：利用迭加原理和反射原理有：UJSDai QX高斯解中高斯解中S S的物理意义为扩散组元的总量的物理意义为扩散组元的总量 ：注意的是注意的是: :实际情况只是高斯图象的一半实际情况只是高斯图象的一半. .所以在解决所以在解决 实际
11、问题时实际问题时,S,S值为已知量的值为已知量的2 2倍倍. .UJSDai QX高斯解的平方平均值高斯解的平方平均值:=结果表明结果表明: : 高斯解遵循了抛物线规律高斯解遵循了抛物线规律. .对偶函数对偶函数: :令令: :UJSDai QX2 2 误差函数解误差函数解 应用迭加原理使用高斯解积分可得应用迭加原理使用高斯解积分可得 一般表达式：一般表达式： 图图 将扩散组元分割成厚将扩散组元分割成厚dhdh的截面的截面 UJSDai QX每个截面扩散物质的量是每个截面扩散物质的量是S=C0dh,设扩散组元分布在设扩散组元分布在0+之间，从高斯解方程式得：之间，从高斯解方程式得：令令 , ,
12、再经过积分变换再经过积分变换, ,可得到可得到UJSDai QX定义误差函数：定义误差函数： (erfc称为补（余）误差函数。称为补（余）误差函数。 )所以所以一般表达式为：一般表达式为：适用于半无限长的扩散适用于半无限长的扩散。 UJSDai QX【例例2.72.7】有有一一厚厚d d的的板板，若若使使表表面面保保持持C C0 0的的浓浓度度，则则板板内内浓浓度将如何？度将如何？ 解：因两边都有扩散，所以要使用两个误差函数。设坐标解：因两边都有扩散，所以要使用两个误差函数。设坐标原点在板中心原点在板中心, ,则：则： 根据边界条件求根据边界条件求A、B、C的值：的值：当当t=t , y=-
13、-d/2 时时：当当t=t,y=d/2 时：时：当当t=0, - -d/2yd/2 时时：UJSDai QXA A、B B、C C这三个参数并不是与这三个参数并不是与t t总是无关的，所以，有总是无关的，所以，有些情况下只能是些情况下只能是近似解近似解。 估计一下误差：估计一下误差：两边的原子刚好扩散到板的中间时两边的原子刚好扩散到板的中间时,可解得：可解得：A= 2C0, B= - -C0, C= C0 。所以近似解。所以近似解为：为：设设t t 时，则由上式可得，时，则由上式可得，C= 2CC= 2C0 0这显然是不符合事实的，应该是这显然是不符合事实的，应该是：C CC C0 0 误差函
14、数解误差函数解适合于处理半无限长的问题适合于处理半无限长的问题。 UJSDai QX4 4 瓦格纳（瓦格纳（WagnerWagner）解法）解法在一般情况下，两相接触状态如图在一般情况下，两相接触状态如图 图图 在初始均质相在初始均质相1 1的表面生成新相的表面生成新相2 2时浓度分布时浓度分布 UJSDai QX 假定扩散系数假定扩散系数与成分无关，在平衡时界面两边的浓与成分无关，在平衡时界面两边的浓度关系为线性关系度关系为线性关系C1=KC2。在一定条件时。在一定条件时K是定值。当是定值。当界面达到平衡时，根据界面达到平衡时，根据质量平衡原理质量平衡原理，进入或离开界面，进入或离开界面的扩
15、散物质的净流率等于依靠界面移动附加到相中的溶的扩散物质的净流率等于依靠界面移动附加到相中的溶质。即：质。即：UJSDai QX1) 1) 初始均质的第一相表面上生成第二相初始均质的第一相表面上生成第二相 最常见的是在最常见的是在723910温度范围内，温度范围内，-Fe脱碳而在表脱碳而在表面生成面生成-Fe, 或或-Fe渗碳而在表面生成渗碳而在表面生成-Fe. 应用第二定律，设某合金含应用第二定律，设某合金含C量为量为Ci ,外界的碳势为外界的碳势为Cs. 初初始条件：始条件： C(x,0)=Ci, C(0,t)=Cs . 所以所以xl :xl :将边界条件代入误差函数解方程可得：将边界条件代
16、入误差函数解方程可得：UJSDai QX 式中式中B1 、 B2为积分常数为积分常数 .x= 时时,误差函数的引数必为误差函数的引数必为常数。因而：常数。因而： 式中式中为一已确定的无量纲参数。在界面处为一已确定的无量纲参数。在界面处x=l.x=l.综合以上各关系式得到综合以上各关系式得到: : 式中， =D2 / D1UJSDai QX消去上式中的消去上式中的B1 、 B2 。得到。得到 通过尝试法找出参数通过尝试法找出参数. 在数学上，在数学上，是误差函数的引是误差函数的引数数;在物理上在物理上, 是是抛物线长大规律的常数。抛物线长大规律的常数。函数函数 f()和和 f()可以查有关图可以
17、查有关图,也可以计算也可以计算.式中式中, ,UJSDai QX【例例2.8】 有一含有一含0.40%C的合金钢薄壳在与的合金钢薄壳在与0.01%C相平衡相平衡的的CO和和CO2气氛中进行气氛中进行800温度下的奥氏体化处理。在这温度下的奥氏体化处理。在这些条件下表面生成一些些条件下表面生成一些相相.问：经问：经30分钟后，生成的分钟后，生成的相层相层有多厚？有多厚？ 已知在已知在800时，时，D=210- -6cm2/s，D =310- -8cm2/s 0.40.240.020.01UJSDai QX解：在这里，解：在这里，Ci=0.40, Cs=0.01；从；从Fe-C相图得到相图得到C1
18、=0.24 , C2 =0.02. D1 =D, D2 =D, 所以所以= D2/D1 =66.6. 如如计算出计算出后后, ,可得到可得到 的厚度的厚度. .这里采用尝试法这里采用尝试法: :将有关数值代入公式将有关数值代入公式,有有 UJSDai QX又若令又若令=0.1, 则则 f() =0.0195; =0.816 , f() =0.70这样这样值大体上已定出范围，再尝试得值大体上已定出范围，再尝试得 =0.105计算结果：经计算结果：经30分钟后，生成的分钟后，生成的相层为相层为0.126mm . 利用尝试法计算：若令利用尝试法计算：若令=0.15, f() = 0.0457; =1
19、/ 2 =1.224 , f() =0.81UJSDai QX 现在我们用前面介绍的两相中新相长大公式（经稳态扩散近现在我们用前面介绍的两相中新相长大公式（经稳态扩散近似处理）来计算。因为似处理）来计算。因为相只有在相只有在相中长大相中长大, ,且忽略了且忽略了相相中的扩散中的扩散, ,则根据式（则根据式（2.312.31）有：）有： 稳态扩散近似处理方法和稳态扩散近似处理方法和Wagner较精确解法的计算结果还较精确解法的计算结果还是比较接近的。若直接用脱碳公式是比较接近的。若直接用脱碳公式: 则则 误差较大误差较大 UJSDai QX2) 2) 由原始两相混合物生成单相由原始两相混合物生成
20、单相原始状态为二相混合物时（如钢的渗碳和脱碳）可能有四种情况原始状态为二相混合物时（如钢的渗碳和脱碳）可能有四种情况. UJSDai QX分析分析0xl，边界条件：，边界条件：C2(0,t)=CS .界面界面 l处处,局部平衡为：局部平衡为： 在界面处的质量平衡为：在界面处的质量平衡为：先求得先求得,若若D、t已知，就能计算已知，就能计算l 值值.和前面同样的方法根据初始条件和边界条件得：和前面同样的方法根据初始条件和边界条件得：UJSDai QX4 4 正弦函数解正弦函数解 一般式为：一般式为：设周波长为设周波长为 ，振幅，振幅 ，则则扩散引起的衰减函数为：扩散引起的衰减函数为： UJSDa
21、i QX图图 正弦分布的浓度曲线随时间的变化正弦分布的浓度曲线随时间的变化UJSDai QX【例例2.102.10】 有有两两相相同同材材料料的的试试样样，组组织织呈呈正正弦弦分分布布. .把把其其中中一一个个试试样样进进行行塑塑性性变变形形，使使厚厚度度变变为为原原来来的的1/101/10，其其浓浓度度变变化化的的波波长长也也被被压压缩缩为为原原来来的的1/101/10。这这两两试试样样在在某某温温度度下下经经过过一一定定时时间间t t后后，发发现现经经塑塑性性变变形形试试样样的的浓浓度度振振幅幅已已衰衰减减为为原原来来的的1/101/10。那么另一个试样的振幅下降多少？。那么另一个试样的振
22、幅下降多少？解：设原试样浓度波长为解：设原试样浓度波长为a a，经压缩变形试样的振幅是：经压缩变形试样的振幅是：取对数取对数: :UJSDai QX 计算结果说明没有经过变形的试样，其浓度计算结果说明没有经过变形的试样，其浓度振幅只下降了振幅只下降了2.3%2.3%。 另一个试样的浓度振幅下降为：另一个试样的浓度振幅下降为：UJSDai QX【例例2.112.11】 已已知知有有一一锰锰钢钢，在在退退火火前前锰锰的的偏偏析析程程度度为为0.6%0.6%。若若枝枝晶晶偏偏析析平平均均距距离离l=0.02cml=0.02cm。希希望望将将锰锰的的偏偏析析程程度度降降低到低到0.4%0.4%，问在，
23、问在11001100扩散退火需多长时间？扩散退火需多长时间？解：由有关图或数据查得在解：由有关图或数据查得在11001100锰在钢中的扩散系数为锰在钢中的扩散系数为 因为因为所以所以UJSDai QX【例例2.122.12】一一种种低低含含碳碳量量的的18-818-8型型奥奥氏氏体体不不锈锈钢钢试试样样在在10001000进进行行热热处处理理，不不幸幸在在开开始始的的一一分分钟钟内内保保护护气气氛氛失失效效，以以致致于于在在钢钢的的表表面面发发生生了了渗渗碳碳。假假设设气气氛氛为为恒恒定定的的碳碳势势，渗渗碳碳对对不不锈锈钢钢表表面面的的碳碳含含量量可可达达到到1.2%1.2%（质质量量分分数
24、数）。但但在在不不锈锈钢钢中中允允许许的的碳碳含含量量应应小小于于0.04%0.04%。已已知知碳碳的的扩扩散散系系数数为为D D（10001000）=310=310-7-7cmcm2 2/s/s。 1 1）假假设设原原含含碳碳量量为为0 0，由由于于碳碳的的有有害害作作用用是是由由表表向向里里的的，试试求求渗渗碳碳一一分分钟钟后后，使使试试样样表表面面层层的的性性能能受受到到损损害害的的深深度度是多少是多少? ? 2 2）在在一一分分钟钟后后，保保护护气气氛氛立立即即恢恢复复了了作作用用，保保护护气气氛氛与与不不锈锈钢钢之之间间没没有有碳碳的的交交换换。在在10001000长长期期保保温温后
25、后，开开始始一一分分钟钟内内所所吸吸收收的的碳碳会会扩扩散散到到钢钢的的内内部部。问问：在在保保温温期期间间，使钢表面层内含碳量达使钢表面层内含碳量达0.04%0.04%的最大深度是多少的最大深度是多少? ? 3 3）若若使使碳碳在在表表层层中中的的有有害害作作用用完完全全消消除除，问问至至少少要要保保温温多长时间多长时间? ?UJSDai QX解解： 1 1）因为假设是在恒定碳势下渗碳一分钟，所以就可以用）因为假设是在恒定碳势下渗碳一分钟，所以就可以用误差函数解来求得深度。误差函数解来求得深度。 计算结果：计算结果：渗碳一分钟后，使试样表面层的性能受到损害渗碳一分钟后，使试样表面层的性能受到
26、损害的深度是的深度是0.127mm0.127mm。 UJSDai QX2 2）长长期期保保温温时时，表表面面吸吸收收的的碳碳会会向向内内部部扩扩散散。但但在在一一定定范范围围内内，在在x x1 1深深度度处处的的浓浓度度值值是是变变化化的的。若若令令 ，则则可可求求得得达达到到最最高高浓浓度度时时所所需需的的时时间间。然然后后，再再可可求求得得最最高高浓浓度度值值与与深深度度 之之间间的的关关系系，从从而而求求得得最最大大深深度度 。扩散时的表层浓度变化如图所示。扩散时的表层浓度变化如图所示。图图 经过不同经过不同t 处理后的浓度分布处理后的浓度分布图图 经过不同经过不同t 后在后在x x1
27、1处的浓度值处的浓度值 0.04UJSDai QX根据实际情况根据实际情况, 可可近似用高斯解来求解这问题近似用高斯解来求解这问题. 因此因此, S值可由前述的公式积分求得：值可由前述的公式积分求得： 近似处理，可直接用平均扩散距离近似处理，可直接用平均扩散距离x2=2Dt代入高斯解求得代入高斯解求得 UJSDai QX代入有关数据后，可得：代入有关数据后，可得： 计算结果：计算结果：在保温期间，使钢表面层内含碳量达在保温期间，使钢表面层内含碳量达0.04%0.04%的最大深度是的最大深度是0.7mm0.7mm。比刚开始时的。比刚开始时的0.127mm增增大了几倍大了几倍. . 注意计算注意计
28、算S时的时间时的时间t0为为1min .UJSDai QX3 3）若使表层中碳的有害作用完全消除，则要求）若使表层中碳的有害作用完全消除，则要求x=0x=0 处处的的碳碳浓浓度度要要小小于于0.04%0.04%。随随着着扩扩散散的的进进行行，表表层层的的碳碳浓浓度度逐逐渐渐下下降降，只只要要表表层层碳碳浓浓度度小小于于0.04%0.04%，则则其其它它地地方方就就没没有有问问题题了了。仍仍然然用用高高斯斯解解，并并且且设设x=0 x=0 ，所以：，所以： 代入数据后，计算可得代入数据后，计算可得t= 21875s = 6.08h 。 计算结果：计算结果：使碳在表层中的有害作用完全消除，使碳在表
29、层中的有害作用完全消除，至少要保温至少要保温6小时。小时。 UJSDai QX5 5、 FickFick定律在相变中的应用定律在相变中的应用脱溶沉淀相的抛物线长大规律脱溶沉淀相的抛物线长大规律图图 晶界薄膜沉淀时的浓度分布晶界薄膜沉淀时的浓度分布UJSDai QX对对相可用下式解：相可用下式解： 边界条件为：边界条件为： , (K=?) . ?) . 代入上式代入上式 得得 对于对于y , x =A+B = x . 与上式相减与上式相减, 所以所以现在有现在有A / B / K三个未知数三个未知数, 还得寻找关系式还得寻找关系式. 因为因为相长大相长大,A式式UJSDai QX 根据质量平衡原
30、理根据质量平衡原理, 这些这些B原子是由原子是由相通过与相通过与相长大相长大反方向的扩散提供的。所以反方向的扩散提供的。所以, 相中扩散流量为相中扩散流量为: :因为因为相中扩散应用误差函数解相中扩散应用误差函数解, ,并求导并求导: :前面稳态处理前面稳态处理:UJSDai QX根据根据质量平衡原理质量平衡原理, 两者的原子量应相等，因此：两者的原子量应相等，因此：UJSDai QX令令 , 则则 对低饱和固溶体，对低饱和固溶体，Z Z值很小，值很小， 与与A式联立式联立:UJSDai QX所以所以 与前面与前面(下式下式)稳态近似计算相比，相差之稳态近似计算相比，相差之 比值比值 .UJSDai QX 结束语结束语 材料科学理论和材料制备及加工等过程的研究材料科学理论和材料制备及加工等过程的研究都离不开原子或离子的扩散和相变。都离不开原子或离子的扩散和相变。 扩散和相变是密切相关的，材料的大部分相扩散和相变是密切相关的，材料的大部分相变过程都是和原子或离子的扩散相关。变过程都是和原子或离子的扩散相关。 不同的初始、边界条件，可得到不同不同的初始、边界条件，可得到不同FickFick定理定理解的表达式：误差、正弦、高斯解等解的表达式：误差、正弦、高斯解等。 应用扩散理论可解决材料研究或工程应用中的应用扩散理论可解决材料研究或工程应用中的许多问题。许多问题。UJSDai QX
