第2讲概率统计离散型随机变量及其分布列

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1、第第2讲讲 概率统计、离散型随机变量及其分布列概率统计、离散型随机变量及其分布列 1.随机事件的概率随机事件的概率 （1）随机事件的概率范围：）随机事件的概率范围：0P P(A A)1;必然事件的必然事件的 概率为概率为1；不可能事件的概率为；不可能事件的概率为0. （2）古典概型的概率）古典概型的概率 P P（A A）= = .A A中所含的基本事件数中所含的基本事件数基本事件总数基本事件总数12.互斥事件有一个发生的概率互斥事件有一个发生的概率P P（A A+ +B B）=P P（A A） + +P P（B B）.3.相互独立事件同时发生的概率相互独立事件同时发生的概率 P P（ABAB）

2、=P P（A A）P P（B B）.4.独立重复试验独立重复试验 如果事件如果事件A A在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是p p，那么它在，那么它在 n n次独立重复试验中恰好发生次独立重复试验中恰好发生k k次的概率为次的概率为 P Pn n（k k）= p= pk k（1 1-p-p）n-n-k k，k k= =0 0，1 1，2 2，n. n.25.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列（1）设离散型随机变量）设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为x x1 1,x ,x2 2,x,xi i, , 取每一个值取每一个值x xi i的概率为的概率为P P（ =x =xi

3、 i）=p=pi i，则称下表：，则称下表： 为离散型随机变量为离散型随机变量 的分布列的分布列.（2 2）离散型随机变量离散型随机变量的分布列具有两个性质：的分布列具有两个性质： p pi i0, 0,p p1 1+p+p2 2+p+pi i+=+=1 1(i=(i=1,2,3,1,2,3,).).6.常见的离散型随机变量的分布常见的离散型随机变量的分布 （1）两点分布）两点分布 分布列为（其中分布列为（其中0p p1）3 (2) (2)二项分布二项分布在在n n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A A发生的次数发生的次数 是一个随是一个随机变量，其所有可能取的值为机变量，其所有可

4、能取的值为0 0，1 1，2 2，3 3，n n，并且并且P P（ = =k k）= p= pk kq qn-n-k k( (其中其中k k= =0 0，1 1，2 2，n n，q=1-pq=1-p) ). .显然显然P P（ = =k k）0(0(k k= =0,1,2,0,1,2,n,n) ), p, pk kq qn-n-k k= =1 1. .称这样的随机变量称这样的随机变量服从参数服从参数n n和和p p的二项分布，记为的二项分布，记为 B(n,p).B(n,p).47.离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量若离散型随机变量的分布列为的分布列为 则称则

5、称E =xE =x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+x+xn np pn n+为为 的数学期望，简的数学期望，简 称期望称期望. D =D =（x x1 1-E -E ）2 2pp1 1+ +（x x2 2-E -E ）2 2pp2 2+(x+(xn n- - E ) E )2 2ppn n+ +叫做随机变量叫做随机变量 的方差的方差. x1x2xnPp1p2pn8.统计统计（1）抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样）抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.（2）利用样本频率分布估计总体分布）利用样本频率分布估计总体分布 频率分布表和频率分布直方图频率分布表和频率分布直方

6、图. 总体密度曲线总体密度曲线.59.9.正态分布正态分布（1 1）一般地，如果对任意实数一般地，如果对任意实数abab，随机变量，随机变量X X满足满足 P P（aXaXb b）= = d dx,xx,x(- -,+,+) )，则则 称称X X的分布为正态分布的分布为正态分布.（2）正态曲线的特点）正态曲线的特点如图所示如图所示.曲线位于曲线位于x x轴上方，与轴上方，与x x轴不相交轴不相交.曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线x x= = 对称对称.6曲线在曲线在x x= 处达到峰值处达到峰值 .曲线与曲线与x x轴之间的面积为轴之间的面积为1 1. .当当 一定时，曲线随着

7、一定时，曲线随着 的变化而沿的变化而沿x x轴平移轴平移.当当 一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由 确定，确定， 越小，曲线越小，曲线越越“高瘦高瘦”，表示总体的分布越集中；，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越大，曲线越越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散，表示总体的分布越分散.（3 3）正态总体在三个特殊区间内取值的概率正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P P（ - X- X + + ）= =0.682 60.682 6. . P P( ( - -2 2 XX + +2 2 ) )= =0.954 40.954 4. . P P( ( - -3 3 XX + +3 )3 )= =0

8、.997 40.997 4. .7一、一、 频率分布直方图或频率分布表频率分布直方图或频率分布表 例例1 某班某班5050名学生在一次百米测试中，成绩全部介名学生在一次百米测试中，成绩全部介于于1313秒与秒与1919秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于第一组，成绩大于等于1313秒且小于秒且小于1414秒；第二组，成秒；第二组，成绩大于等于绩大于等于1414秒且小于秒且小于1515秒；秒；第六组，成绩大于第六组，成绩大于等于等于1818秒且小于等于秒且小于等于1919秒秒.下图是按上述分组方法下图是按上述分组方法8得到的频率分布直方

9、图得到的频率分布直方图.设成绩小于设成绩小于1717秒的学生人数秒的学生人数占全班总人数的百分比为占全班总人数的百分比为x x,成绩大于等于成绩大于等于1515秒且小于秒且小于1717秒的学生人数为秒的学生人数为y y，则从频率分布直方图中可分析，则从频率分布直方图中可分析出出x x和和y y分别为分别为 （ ） A.0.9,35A.0.9,35B.0.9,45B.0.9,45C.0.1,35C.0.1,35D.0.1,45D.0.1,45解析解析 P P（ 的概率是（的概率是（） A. A. B.B. C. C. D.D.解析解析 e e= a a2 2b b,符合符合a a2 2b b的情

10、的情况有：当况有：当b b=1=1时，有时，有a a=3,4,5,6=3,4,5,6四种情况；四种情况；当当b b=2=2时，有时，有a a=5,6=5,6两种情况，总共有两种情况，总共有6 6种情况种情况.所以概率为所以概率为 .C302.2.（20092009重庆理，重庆理，6 6）锅中煮有芝麻馅汤圆）锅中煮有芝麻馅汤圆6 6个，花个，花 生馅汤圆生馅汤圆5 5个，豆沙馅汤圆个，豆沙馅汤圆4 4个，这三种汤圆的外部个，这三种汤圆的外部 特征完全相同特征完全相同.从中任意舀取从中任意舀取4 4个汤圆，则每种汤圆个汤圆，则每种汤圆 都至少取到都至少取到1 1个的概率为个的概率为（） A. A.

11、 B. B. C. C. D.D. 解析解析 从从1515个汤圆中选出个汤圆中选出4 4个汤圆共有个汤圆共有 种情况，种情况， 每种汤圆至少有每种汤圆至少有1 1个的情况有个的情况有 =720 =720种情况，所以各种汤圆至少有种情况，所以各种汤圆至少有1 1个的概率为个的概率为 P P= = .C313.3.（20092009上海理，上海理，1616）若事件）若事件E E与与F F相互独立，且相互独立，且P P （E E）= =P P（F F）= = ，则，则P P（E EF F）的值等于（）的值等于（ ） A.0 A.0B. B. C. C. D. D. 解析解析 因为事件因为事件E E与

12、事件与事件F F相互独立，相互独立， 故故P P（E EF F）= =P P( (E E) )P P( (F F)= .)= .B324.4.从编号为从编号为1 1，2 2，1010的的1010个大小相同的球中任个大小相同的球中任 取取4 4个，则所取个，则所取4 4个球的最大号码是个球的最大号码是6 6的概率为的概率为( )( ) A.A.B.B.C.C.D.D. 解析解析 从从1010个球中任选个球中任选4 4个共有个共有 种取法，所取种取法，所取4 4个个 球中最大号码是球中最大号码是6 6的取法共有的取法共有 种，所求概率为种，所求概率为 P P= = .B335.5.一个篮球运动员投

13、篮一次得一个篮球运动员投篮一次得3 3分的概率为分的概率为a a，得，得2 2分分 的概率为的概率为b b，不得分的概率为，不得分的概率为c c（a,b,ca,b,c(0,1)(0,1)），）， 已知他投篮一次得分的期望是已知他投篮一次得分的期望是2 2，则，则 的最小的最小 值为值为（） A. A.B.B.C.C.D.D. 解析解析 由已知得由已知得3 3a a+2 2b b+0+0c c=2=2, 即即3 3a a+2+2b b=2=2. 其中其中0 0a a ,0 0b b1 1. + = =3+ 3+ .D34二、填空题二、填空题6.6.从某地区从某地区15 00015 000位老人中

14、随机抽取位老人中随机抽取500500人，其生活人，其生活 能否自理的情况如下表所示能否自理的情况如下表所示. 性别性别 人人 数数生活能否自理生活能否自理男男女女能能178178278278不能不能23232121则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 人人.35解析解析 由表知由表知500500人中生活不能自理的男性比女性多人中生活不能自理的男性比女性多2 2人，所以该地区人，所以该地区15 00015 000位老人生活不能自理的男性比位老人生活不能自理的男性比女性多女性多2 =60(2 =60(人人) ).答案答案 60607.7.某汽车站每天

15、均有某汽车站每天均有3 3辆开往省城济南的分为上、中、辆开往省城济南的分为上、中、 下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前 往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道 发车顺序发车顺序.为了尽可能乘上上等车，他采取如下策为了尽可能乘上上等车，他采取如下策 略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二 辆，否则上第三辆辆，否则上第三辆.那么他乘上上等车的概率为那么他乘上上等车的概率为 .36解析解析 共有共有6 6种发生顺序：种发生顺序：上、中、上、中、下下上、

16、下、上、下、中中中、中、上上、下、下中、下、中、下、上上下、下、中中、上、上下、下、上上、中（其中画横线的表示袁先生所乘的车），所以他乘中（其中画横线的表示袁先生所乘的车），所以他乘坐上等车的概率为坐上等车的概率为 . 答案答案 8.8.有一容量为有一容量为n n的样本，其频率分布直方图如图所示：的样本，其频率分布直方图如图所示：37若落在若落在1010，2020）中的频数共）中的频数共9 9个，则样本容量个，则样本容量n n= .解析解析 由题意，得样本数据落在由题意，得样本数据落在1010，2020）中的频率）中的频率为为（0.016+0.0200.016+0.020）5=0.185=0.

17、18.又落在又落在1010，2020）中的频数共）中的频数共9 9个，所以个，所以 ，解之得解之得n n=5050.50三、解答题三、解答题9.(20099.(2009陕西文，陕西文，18)18)据统计据统计, ,某食品企业在一个月内被某食品企业在一个月内被 消费者投诉次数为消费者投诉次数为0 0、1 1、2 2的概率分别的概率分别 为为0.40.4、0.50.5、 0.1. 0.1. (1) (1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1 1次的概率次的概率. . 38 （2 2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数

18、互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2 2次次的概率的概率. . 解解 (1) (1)设事件设事件A A表示表示“一个月内被投诉的次数为一个月内被投诉的次数为0”0”，事件，事件B B表示表示“一个月内被投诉的次数为一个月内被投诉的次数为1”1”， P P（A A+ +B B）= =P P（A A）+ +P P（B B）=0.4+0.5=0.9.=0.4+0.5=0.9. （2 2）设事件）设事件A Ai i表示表示“第第i i个月被投诉的次数为个月被投诉的次数为0”0”，事件事件B Bi i表示表示“第第i i个月被投诉的次数为个月被投诉的次数

19、为1”1”，事件，事件C Ci i表示表示“第第i i个月被投诉的次数为个月被投诉的次数为2”2”，事件，事件D D表示表示“两个月内共被投诉两个月内共被投诉2 2次次”.”. 39 P P（A Ai i）=0.4,=0.4,P P( (B Bi i）=0.5,=0.5,P P( (C Ci i)=0.1()=0.1(i i=1,2).=1,2). 两个月中，一个月被投诉两个月中，一个月被投诉2 2次，另一个月被投诉次，另一个月被投诉0 0次的概率为次的概率为P P（A A1 1C C2 2+ +A A2 2C C1 1），）， 一、二月份均被投诉一、二月份均被投诉1 1次的概率为次的概率为P

20、 P（B B1 1B B2 2），）， P P（D D）= =P P（A A1 1C C2 2+ +A A2 2C C1 1）+ +P P（B B1 1B B2 2） = =P P（A A1 1C C2 2）+ +P P（A A2 2C C1 1）+ +P P（B B1 1B B2 2）. . 由事件的独立性得由事件的独立性得 P P（D D）=0.40.1+0.40.1+0.50.5=0.33.=0.40.1+0.40.1+0.50.5=0.33. 4010.10.甲、乙两位小学生各有甲、乙两位小学生各有20082008年奥运吉祥物年奥运吉祥物“福娃福娃”5 5个个 （其中（其中“贝贝贝贝”

21、、“晶晶晶晶”、“欢欢欢欢”、“迎迎迎迎”和和“妮妮妮妮”各一各一 个），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：个），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下： 当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则 乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9 9次时，或在此次时，或在此 前某人已赢得所有福娃时游戏终止前某人已赢得所有福娃时游戏终止.记游戏终止时投掷骰记游戏终止时投掷骰 子的次数为子的次数为 . (1)(1)求掷骰子的次数为求掷骰子的次数为7 7的概率；的概率； （2 2）求求 的分布列及数学期望的分

22、布列及数学期望E E . 解解 （1 1）当当 =7=7时，甲赢意味着时，甲赢意味着“第七次甲赢，前第七次甲赢，前6 6次赢次赢 5 5次，但根据规则，前次，但根据规则，前5 5次中必输次中必输1 1次次”，由规则，每次甲，由规则，每次甲 赢或乙赢的概率均为赢或乙赢的概率均为 ，因此，因此P P（ =7=7）=2=241（2 2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m m，向上的点数是偶数出现的次数为，向上的点数是偶数出现的次数为n n，则由，则由 ，可得：当可得：当m m= =5 5，n=n=0 0或或m=m=0 0，n n=5=5时，时，

23、 =5=5；当当m=m=6,6,n=n=1 1或或m=m=1 1，n=n=6 6时，时， = =7 7当当m=m=7 7，n=n=2 2或或m=m=2 2，n=n=7 7时，时， = =9 9. .因此因此 的可能取值是的可能取值是5 5、7 7、9.9.每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是相同，其概率都是 .P P（ =5=5）=2( )=2( )5 5= ,P P（ =7=7）= ，42P P( =9)( =9) =1- .=1- .所以所以 的分布列是的分布列是E E =5 +7 +9 = .5 +7 +9 = .返回43