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1、8.1 8.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念1. 1. 正弦量正弦量瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imcos( t+ )波形：波形：周期周期T (period)和频率和频率f (frequency) :频率频率f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T T ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：单位：Hz(Hz(赫兹赫兹) )单位：单位：s(s(秒秒) )正弦量为周期函数正弦量为周期函数y(t)=y(t+kT )tiO / / T 交流电的角频率交流电的角频率就是角位移与所用的时间就是角位移与所用的时间之比，它表示了交流电每秒所经过的电角度。交之
2、比，它表示了交流电每秒所经过的电角度。交流电变化一周，就相当于变化了流电变化一周，就相当于变化了弧度。角频弧度。角频率的单位是弧度秒，它与周期、频率的关系为率的单位是弧度秒，它与周期、频率的关系为 周期周期T 、频率、频率f 与角频率与角频率正弦电流电路正弦电流电路激励和响应均为正弦量的电路激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。或交流电路。（1 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。要的地位。l 研究正弦电路的意义：研究正弦电路的意义：1 1）正弦函数是周期函数，其加
3、、减、求导、积分）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数运算后仍是同频率的正弦函数优点：优点：2 2）正弦信号容易产生、传送和使用。）正弦信号容易产生、传送和使用。（2 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。可以分解为按正弦规律变化的分量。 对正弦电路的分析研究具有重要的理论价对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。值和实际意义。(1)(1)幅值幅值 (amplitude) ( (振幅、振幅、 最大值最大值) )Im(2) (2) 角频率角频率(angular
4、frequency)2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素(3) (3) 初相位初相位(initial phase angle) Im2 t单位：单位： rad/s ，弧度弧度 / 秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。 正弦量在正弦量在t=0t=0时刻的相位。时刻的相位。 i(t)=Imcos( t+ )下 页上 页返 回tiO / / T 0一般规定一般规定：| | 。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 =0 = ti = /2 = /2例例已知正弦电
5、流波形如图，已知正弦电流波形如图， 10103 3rad/srad/s，（1 1）写出）写出i(t)表达式；表达式；（2 2）求最大值发生的时间）求最大值发生的时间t t1 1ti010050t1解解由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧3. 3. 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差 (phase difference)。设设 u(t)=Umcos( t+ u), i(t)=Imcos( t+ i)则则 相位差相位差 ： = ( t+ u)- - ( t+ i)= u- - i 0， u超前超前i 角，或角，或i 落后落后u 角角(u 比比i先到达最大值先到达最大值)
6、)； 0， i 超前超前 u 角角，或或u 滞后滞后 i 角角,i 比比 u 先到达最大值。先到达最大值。 tu, iu i u i O等于初相位之差等于初相位之差规定：规定： | | (180)。 0， 同相：同相： = ( 180o ) ，反相：反相：特殊相位关系：特殊相位关系： tu, iu i0 tu, iu i0j= /2/2：u 领先领先 i /2/2, 不说不说 u 落后落后 i 3 /2；i 落后落后 u /2/2, 不说不说 i 领先领先 u 3 /2。 tu, iu i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。例例计算下列两正弦量的相位差
7、。计算下列两正弦量的相位差。解解不能比较相位差不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。号，且在主值范围比较。 4. 4. 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。平均效果工程上采用有效值来表示。l 周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective value)定义定义R直流直流IR交流交流i电流有效电流有效值定义为值定义为有效值也称均方根值有效值也称均方根
8、值(root-meen-square)物物理理意意义义同样同样，可定义电压有效值：，可定义电压有效值：l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos( t+ )同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V， Um 537V。（1 1）工工程程上上说说的的正正弦弦电电压压、电电流流一一般般指指有有效效值值，如如设设备备铭铭牌牌额额定定值值、电电网网的的电电压压等等级级等等。但但绝绝缘缘水水平平、耐耐压压值值指指的的是是最最大大
9、值值。因因此此，在在考考虑虑电电器器设设备备的的耐耐压压水水平平时时应应按按最最大大值考虑。值考虑。（2 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。般为有效值。（3 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注注5. 5. 正弦量的叠加正弦量的叠加多个正弦量的相加：如多个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。方程运算。但当正弦量较多时，但当正弦量较多时，计算复杂计算复杂解决的思路解决的思路 可以将正弦量用一个矢量来进行图示，即用矢量的模可以将正弦量用一个矢量来进行图示，即用矢
10、量的模表示正弦量的幅值，而用矢量与横轴的夹角表示正弦量的表示正弦量的幅值，而用矢量与横轴的夹角表示正弦量的相位角，如图所示。相位角，如图所示。 显然，随着时间的连续变化，这个矢量将会逆时针旋转。显然，随着时间的连续变化，这个矢量将会逆时针旋转。 将这个旋转矢量与将这个旋转矢量与正弦量对应起来正弦量对应起来当正弦曲线上的一点沿着当正弦曲线上的一点沿着的正方向向前运动时，左的正方向向前运动时，左边对应的矢量将会逆时针边对应的矢量将会逆时针旋转。旋转。向量图向量图波形图波形图P205图图8-5给出示例给出示例1. 1. 问题的提出：问题的提出：电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：+_RuLCi下
11、 页上 页返 回由正弦量的性质可知：当激励由正弦量的性质可知：当激励u为正弦量时，上述电为正弦量时，上述电路中的电流路中的电流i和各元件的电压和各元件的电压u都为同频率的正弦量。都为同频率的正弦量。相量法是分析正弦电路稳态状态的相量法是分析正弦电路稳态状态的一种简单易行的方法。一种简单易行的方法。正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应具有同一频率。正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应具有同一频率。8.2 8.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示正弦量正弦量相量相量实际是变换的思想实际是变换的思想下 页上 页返 回通过引入通过引入相量相量，建立相量电路模型，把在时域范围内求，建立相量电路模型，把在时域
12、范围内求正弦量的微分方程问题转化为求复数代数方程的问题，正弦量的微分方程问题转化为求复数代数方程的问题，从而使正弦电路的稳态解法大为简化，从而使正弦电路的稳态解法大为简化，直接可应用直流直接可应用直流分析方法分析方法。相量法的思路相量法的思路变换包含了两部分内容：变换包含了两部分内容：正弦量和相量之间如何一一对应转换正弦量和相量之间如何一一对应转换时域的微分方程转换为复数时域的微分方程转换为复数(相量相量)的代数方程的代数方程l 复数复数A的表示形式的表示形式AbReIma0A=a+jbAbReIma0 |A|2. 2. 复数及运算复数及运算两种表示法的关系：两种表示法的关系：A=a+jb A
13、=|A|ej =|A| 直角坐标表示直角坐标表示极坐标表示极坐标表示或或l 复数运算复数运算则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)(1)加减运算加减运算采用代数形式采用代数形式若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2A1A2ReIm0AbReIma0 |A|图解法图解法复数也是矢量复数也是矢量(2) (2) 乘除运算乘除运算采用极坐标形式采用极坐标形式若若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。例例1. 乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:解解例例2. (3) (3) 旋转因子：旋转因子：复数复数 ej =cos +
14、jsin =1 A ej 相相当当于于A逆逆时时针针旋旋转转一一个个角角度度 ，而而模模不不变变。故故把把 ej 称为旋转因子。称为旋转因子。 解解AReIm0A ej 故故 +j, j, - -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同 值时的旋转因子值时的旋转因子ReIm0构造一个复函数构造一个复函数对对A(t)取实部：取实部：对于任意一个对于任意一个正弦正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数时间函数都有唯一与其对应的复数函数A(t)还可以写成还可以写成复常数复常数无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物理意义3. 3. 正弦量的相量表示正弦量的相量表
15、示下 页上 页返 回称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i, u .解解下 页上 页返 回A(t)包含了三要素：包含了三要素：I、 、 ，复常数包含了复常数包含了I , 。在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解l 相量图相量图 下 页上 页返 回注：注： 正弦交流电压和正
16、弦交流电流在用相量表示时正弦交流电压和正弦交流电流在用相量表示时有幅值相量（如有幅值相量（如 ）和有效值相量（如）和有效值相量（如 ）的不同表示的不同表示. 4. 4. 相量法相量法(1) (1) 同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变成故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。对应相量的相加减运算。i1 i2 = i3可得其相量关系为：可得其相量关系为：把正弦量的加减、微积分计算转换为复数代数运算把正弦量的加减、微积分计算转换为复数代数运算例例也可借助相量图计算也可借助相量图计算ReImReIm首尾相接首尾相接 （2 2）正弦量的微分、积分运算）正弦量的微分、积分
17、运算微分运算微分运算:有效值为有效值为倍，倍，相位增加相位增加/2/2积分运算积分运算:有效值为有效值为1/倍，倍，相位减小相位减小/2/2例例Ri(t)u(t)L+- -C用相量运算：用相量运算：相量法的优点：相量法的优点：（1 1）把时域问题变为复数问题；）把时域问题变为复数问题；（2 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；注注 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线
18、性电路。 相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。N线性线性N线性线性 1 2非非线性线性 不适用不适用8.3 8.3 电路元件与定律的相量模型电路元件与定律的相量模型 1. 1. 电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型uR(t)i(t)R+- -有效值关系有效值关系相位关系相位关系R+- -UR u相量关系：相量关系：UR=RI u= i瞬时功率：瞬时功率：波形图及相量图：波形图及相量图： i tOuRpR u= iURI瞬时功率以瞬时功率以2 交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率交变。始终大于零，表明电阻始终吸收
19、功率同同相相位位时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：相量模型相量模型j L+- -相量关系：相量关系：有效值关系：有效值关系： U= L I相位关系：相位关系： u= i +90 2. 2. 电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) (1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力； (2) (2) 感抗和频率成正比；感抗和频率成正比； XL相量表达式相量表达式:XL= L=2 fL，称为感抗，单位为称为感抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )BL=1/ L =1/2 fL， 感纳，单位为感纳，单位为 S S 感抗和感纳感抗和感纳
20、:功率：功率： t iOuLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消 i波形图及相量图：波形图及相量图：电压超前电电压超前电流流900时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型iC(t)u(t)C+- -+- -有效值关系：有效值关系： IC= CU相位关系：相位关系： i= u+90 相量关系：相量关系：3. 3. 电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式XC=1/ C， 称为容抗，单位为称为容抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )B B C = C， 称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S S 频率和容抗成反比频率和容
21、抗成反比, w0， |XC| 直流开路直流开路( (隔直隔直) ) ，|XC|0 0 高频短路高频短路( (旁路作用旁路作用) ) |XC|容抗与容纳：容抗与容纳：相量表达式相量表达式:功率：功率： t iCOupC2 瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消 u波形图及相量图：波形图及相量图：电流超前电电流超前电压压900. . 受控电源受控电源VCR的相量形式的相量形式如果受控源的控制电压或者电流是正弦量，则受控源如果受控源的控制电压或者电流是正弦量，则受控源的电压或者电流也为同频率的正弦量。的电压或者电流也为同频率的正弦量。以以VC
22、CS为例说明为例说明i=guui=gu时域形式：时域形式：有效值关系：有效值关系： I=gU相位关系：相位关系： i= u若若g为一个实数为一个实数4. 4. 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式同同频频率率的的正正弦弦量量加加减减可可以以用用对对应应的的相相量量形形式式来来进进行行计计算算。因因此此，在在正正弦弦电电流流电电路路中中，KCL和和KVL可可用用相相应应的相量形式表示：的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍
23、满足表示时仍满足KVL。例例1 1试判断下列表达式的正、误：试判断下列表达式的正、误：L例例2 2A1A2A0Z1Z2已知电流表读数：已知电流表读数：A18AA26AA0?A0I0max=?A0I0min=?解解例例3 3+_15 u4H0.02Fi解解相量模型相量模型j20 - -j10 +_15 例例4 4+_5 uS0.2 Fi解解相量模型相量模型+_5 -j5 例例5 5j40 jXL30 CBA解解例例6 6图示电路图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流同相位，总电压与总电流同相位，求求I、R、XC、XL。- -jXC+_RjXLUC+- -解解令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部
