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1、DMU 大大 连连 海海 事事 大大 学学 数数 学学 系系王志平王志平2002005 5年年年年1111月月月月高等数学高等数学DMU 第十章第十章积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 DMU 第十章第十章 曲线积分与曲面积分第一节第一节第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第二节第二节第二节第二节 对坐标的
2、曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 第三节第三节第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用 第四节第四节第四节第四节 曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件第五节第五节第五节第五节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第六节第六节第六节第六节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第七节第七节第七节第七节 高斯公式高斯公式高斯公式高斯公式 通量通量通量通量 散度散度散度散度第八节第八节第八节第八节 斯托克斯公式斯托克斯公式斯托
3、克斯公式斯托克斯公式 环流量环流量环流量环流量 与旋度与旋度与旋度与旋度DMU 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 n 定义及性质定义及性质 n 计算计算n 总结总结DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分定义定义 DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分定义：设 L 是xoy面内的一条光滑曲线弧, f(x,y)在 L上有界, 都存在,L上对弧长的曲线积分,记作若通过对 L 的任意分割局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数， L 称为积分弧段 .注：注：和对DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分性质性质性质性质（k 为常数)(
4、L由 组成) ( l 为曲线弧 L 的长度)DMU 对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,解释解释:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分弧微分： 又(x,y)在L上 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 如果曲线如果曲线如果曲线如果曲线 L L 的方程为的方程为的方程为的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为则DMU 例例1.1. 计算计算计算计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:上点 O (0,0)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分注：注：注：注：化为定积分时
5、上限一定大于下限DMU 例例2. 2. 计算曲线积分计算曲线积分计算曲线积分计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解: 线对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 例例3.3. 计算计算计算计算其中为球面 被平面 所截的圆周. 解解: 由对称性可知对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分也有类似于重积分的对称性DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 质量质心转动惯量对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 总结总结对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 n
6、定义及性质定义及性质 n 计算计算n 两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系n 总结总结DMU 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, “大化小” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:变力所作的功W.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1) 1) “ “大化小大化小” ”. .2) “常代变常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替, 则有所做的功
7、为F 沿则用有向线段 上任取一点在DMU 3) 3) “ “近似和近似和” ”4) “取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的最大长度)记作对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分2. 2. 定义定义定义定义. . 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.在L 上定义了一个向量函数极限记作DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对 x 的曲线积分;对 y 的曲线积分.若 为空间曲线弧 ,
8、记若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分性质性质 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分计算定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明证明: 下面先证存在, 且有DMU 对应参数设根据定义对应参数同理可证对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分若 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 例例例例2 2. .
9、求求求求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系设有向光滑弧 L 参数方程为则L上(x,y)处的切向量为则两类曲线积分有如下联系DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分类似地类似地类似地类似地, , 在在在在空间曲线空间曲线空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为则DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分总结总结DMU 第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应
10、用 n 格林公式格林公式 n 格林公式的应用格林公式的应用n 总结总结DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式格林公式复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用yxoabDMU 格林公式及其应用格林公式及其应用DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式的应用格林公式的应用1.1.直接用直接用直接用直接用DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用2. 2. L L不封闭，取不封闭，取不封闭，取不封闭，取L+lL+l封闭封闭封闭封闭DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用3. 3. P(x,y), Q(x,yP(x,y), Q(x,y) )一阶偏导
11、不连续一阶偏导不连续一阶偏导不连续一阶偏导不连续A. A. 代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。B. B. 直接法直接法直接法直接法DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用C. C. 将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用4.
12、 4. 求二重积分求二重积分求二重积分求二重积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用5. 求面积求面积DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用总结总结DMU 第四节第四节 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关n 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关n n 全微分求积全微分求积全微分求积全微分求积n n 题型题型题型题型n n 小结小结小结小结DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关GyxoBA曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关则称曲线积分则称曲线积分定义：定义：如果在区域如果在区域 G 内有内有在在 G内与路径无关内与路径无关, ,否则称为与路径有
13、关。否则称为与路径有关。DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明：证明：证明：证明： (1) (2)(1) (2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线
14、, 则(根据条件(1)DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用 (2) (3)(2) (3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 DMU (3) (4)(3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有格林公式及其应用格林公式及其应用DMU (4) (1)(4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式格林公式 , 得所围区域为证毕格林公式及其应用格林公式及其应用DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分说明说明说明说明: : 根据定理 , 若在某区域内则2) 可用
15、积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;DMU 例例例例1 1. . 验证验证验证验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关题型题型1. 1. 与路径无关与路径无关DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关1. 1. 与参数有关与参数有关 DMU 曲线积分与路径无关曲线积分
16、与路径无关DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关小结小结DMU 第五节第五节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 n n 概念概念概念概念n n 重要结论重要结论重要结论重要结论 n n 对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分概念概念概念概念DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分定义定义定义定义: : 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” 都存在,的曲面积分其中 叫做积分曲面.据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为f (x, y, z) 是定义在 上的一 个
17、有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积任意取点,DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分性质：性质：性质：性质：DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分计算计算定理定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有则曲面积分证明证明: 由定义知DMU 而对面积的曲面积分对面积的曲面积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分DMU 对面积的曲
18、面积分对面积的曲面积分DMU 例例2.2. 计算计算计算计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 对面积的曲面积分对面积的曲面积分DMU 第六节第六节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影 n n 定义及性质定义及性质定义及性质定义及性质n n 计算计算计算计算n n 两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系n n 总结总结总结总结DMU 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和曲面分上侧和下
19、侧下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和曲面分左侧和右侧右侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型) 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分DMU 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影其方向用法向量指向表示 :方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度方向向外的任一闭曲
20、面 , 记 所围域为, 设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性, 在式两边同除以 的体积 V, 并令 以任意方式缩小至点 M 则有此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度定义定义定义定义: :设有向量场其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量) .在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度表明该点处有正源
21、, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如例如, 匀速场 故它是无源场.说明说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度* * * *例例例例5.5.5.5. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为解解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度设设设设小结小结DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度DMU 第八节第八节 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度n n 斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克
22、斯公式斯托克斯公式 n n 环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度定理定理. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式斯托克斯公式)的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, 则有在包含 在内或记为或记为DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度例例1.1. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面解解: 记三角形域为, 取上侧, 则所截三角形的整个边界, 方向如图所示. 利用
23、对称性DMU 例例2. 2. 为柱面为柱面为柱面为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算解解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度令 , 引进一个向量记作向量 rot A 称
24、为向量场 A 的称为向量场A定义定义: 沿有向闭曲线 的环流量环流量.或于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度 .DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点, 建立坐标系如图,则角速度为 ,点 M 的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义旋度的力学意义旋度的力学意义: :DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! 为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意义的物理意义的物理意义的物理意义: :例例4. 求电场强度 的旋度 .解解: (除原点外)
