《概率论与随机过程：第2章 第三节 连续型随机变量及其概率密度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与随机过程：第2章 第三节 连续型随机变量及其概率密度（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 引言引言 1.1.定义定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使对于任意实数x，有 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数，简称为概率密度。 例如：在00，11取点的例，设X为取得点的坐标，则随机变量X的分布函数为 一、连续型随机变量及其概率密度则X为连续型随机变量。 2. 2. 连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)性质性质 （1）.连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。 （2）.对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均为零，即PX=a=0。 事实上
2、，设X的分布函数为F(x)，则PX=a=F(a)-F(a-0)而F(x)为连续函数，所以有F(a-0)=F(a)，即得： PX=a=0. 这里PX=a=0 ，而事件X=a并非不可能事件。就是说，若A是不可能事件,则有P(A)=0；反之，若P(A)=0 ，A并不一定是不可能事件。同样的，对必然事件也有类似的结论。（3）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，不必区分该区间是开区间或闭区间或半开区间。例如有 PaXb=PaX b = Pa X b=PaXb3.3.概率密度概率密度f (x)的性质的性质:（1）.f(x)0（2）. 反之，满足（1）（2）的一个可积函数f(x)必是某连续型随机变量
3、X的概率密度，因此，常用这两条性质检验f(x)是否为概率密度。 几何意义：曲线y= f(x)与x 轴之间的面积等于1 f (x)xo(3).X落在区间(x1，x2)的概率 几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率Px10.1。 解: (1)由于 , ，解得k=3=3.于是X的概率密度为 (2)从而 例2: 确定常数A，B使得函数 为连续型随机变量X的分布函数，并求出X的概率密度及概率P-1Xo为常数，则称X服从参数为的指数分布。 容易验证: 指数分布的分布函数为f(x)及F(x)的图形 f(x)x1F(x)x 指数分布的一个重要特性是”无记忆性”. 设随机变量X满足：对于任意的so，t0,有
4、则称随机变量X具有无记忆性。 设随机变量X服从参数为的指数分布，则 因此PXs+t|Xs=PXt，即指数分布具有”无记忆性”. 例 设设备在任何长为t 时间内发生故障的次数N(t)(t) 的possion分布,求相继两次故障间的时间间隔T的分布函数。解：分析：关键：t0时,Tt=N(t)=0. 时间间隔大于t，在0，t时间内未发生故障。 因为Tt=N(t)=0,服从参数为的指数分布。 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线
5、。下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。频率直方图。红线红线是拟合是拟合的正态密度的正态密度曲线曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。 验证f(x)是一个合理的概率密度函数:显然，f(x)0；下面验证（1）定义1：设随机变量X的概率密度为 其中，（0）为常数，则称X服从参数为,2的正态分布,记为X N(,2)。3正态分布对于积分 ，作代换 ，则 定义定义2 2：当=0，=1时称X服从标准正态分布，记为 X N(0，1)，其概率密度为 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分标准
6、正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. .(2) 正态密度函数f(x)的几何特征 因为得：驻点：x=,为函数的极大值点； 拐点：x=.作图如下所以 曲线关于x=对称，这表明对于任意ho，有 P-hX= Pc=2PXc。解: 例3 假设测量的随机误差XN(0 , 102),试求在100次独立重复测量中至少有三次测量的绝对值大于19.6(A)的概率,并利用并利用possion分布求分布求的的近似值。近似值。 解：设p为每次测量误差绝对值大于19.6的概率, p=P|X|19.6=P|X|/10 19.6/10 =P|
7、X|/101.96 =1- P|X|/101.96 =1-(1.96)+(-1.96) =1-(1.96)+1-(1.96) =2-2(1.96) =0.05设Y表示100次独立测量中事件A出现的次数,则： Yb(100 , 0.05)例4 已知X N(, 2).求：2）P|X-|2=2(2)-1=0.95443）P|X-|3=2(3)-1=0.9944说明：说明：X N(, 2)落在(-3,3)内的概率为0.9944, 这一事实称为“3规则”这也是N(0 , 1)表只作(-3 , 3)内的概率的原因。 例例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头
8、碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的. .设男子身高设男子身高XN( (170, ,62),),问车门高度应问车门高度应如何确定如何确定? ? 解解: : 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h. .再看一个应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子:因为因为XN( (170, ,62),),故故 P(X0.99所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+13.98 184 后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布象都近似服从正态分布 .4. 其它常用的连续型分布有以下几个：（1）分布：设X具有概率密度 其中0，0为参数，则称X服从分布，记为 X (, )。其中0为常数，称X服从参数为的瑞利分布。 （2）瑞利(Ragleiqh)分布:设X具有概率密度
