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1、5 线性子空间的基与维数线性子空间的基与维数基的定义、基的验证基的定义、基的验证可以表示所有向量的线性无关可以表示所有向量的线性无关基的存在性、性质基的存在性、性质存在（无穷多）存在（无穷多）基之间的线性表示关系基之间的线性表示关系每一组基所含向量的个数相等（维数）每一组基所含向量的个数相等（维数）维数和秩的概念维数和秩的概念8/3/20241基的概念基的概念且表示方式唯一且表示方式唯一, 定义定义 5.1. 设设 W是是 V的一个的一个 (线性线性)子空间子空间, 8/3/20242例题例题5.1证明证明:且表示方式唯一且表示方式唯一, 8/3/20243例题例题 5.2则则W中元素可表示成
2、中元素可表示成下证表示方式唯一下证表示方式唯一.8/3/20244关于基的说明关于基的说明基于上面的讨论基于上面的讨论, 我们得到结论我们得到结论: 1) 个数足够多个数足够多.8/3/20245理论结果理论结果(1)proof定理定理 5.3. 设设W 是是 V上的一个非零子空间上的一个非零子空间, 则则 W 中有一组基中有一组基.proof推论推论 5.4 设设 W 是是 V 上的一个非零子空间上的一个非零子空间, 则则W 的所有的所有基都含有相同数目的向量基都含有相同数目的向量.proof8/3/20246维数，秩维数，秩例例 5.3 8/3/20247理论结果理论结果(2)proofp
3、roof8/3/20248例题例题 5.5证明证明: 由于由于V 的维数为的维数为 n, 只要证明向量组线性无关即可只要证明向量组线性无关即可.以向量组的坐标为列的矩阵的行列式以向量组的坐标为列的矩阵的行列式8/3/20249引理引理 5.2的证明的证明证证:令令8/3/202410引理引理 5.2的证明的证明(2)下证存在不全为零的下证存在不全为零的使得使得考虑齐次线性方程组考虑齐次线性方程组由由rs可得上述齐次方程组有非零解可得上述齐次方程组有非零解.则有则有back8/3/202411定理定理 5.3的证明的证明定理定理 5.3. 设设W 是是 V上的一个非零子空间上的一个非零子空间,
4、则则 W 中有一组基中有一组基.证明证明:由于由于V中的线性无关向量组中向量的个数不超过中的线性无关向量组中向量的个数不超过n,于是于是back8/3/202412推论推论 5.4的证明的证明推论推论 5.4 设设 W 是是 V 上的一个非零子空间上的一个非零子空间, 则则W 的所有的所有基都含有相同数目的向量基都含有相同数目的向量.证明：证明：所以所以 r = s.back8/3/202413命题命题 5.5的证明的证明证明证明:back8/3/202414命题命题5.6的证明的证明证明：证明：因此因此, Z Z 中存在由中存在由 r r 个向量组成的线性无关组个向量组成的线性无关组. back8/3/202415
