相似矩阵与二次型

《相似矩阵与二次型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相似矩阵与二次型（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、相似矩阵与二次型Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望5.1 向量的内积、正交化方法 5.1.1向量的内积定义定义1 设有 维向量称为向量 与 的内积向量的内积具有下列性质 令 5.1.2向量的长度定义定义2 设 令 称为向量 的长度（或范数）.向量的长度具有下列性质 性质性质1 非负性:当 时, ;当 时, 性质性质2 齐次性: （为实数）. 性质性质3 三角不等式 则 . 当 时, 可以证明称为维向量与的夹角. 当 时,称向量 与显然,零向量与任何向量都正交. 正交.5

2、.3.3正交向量组 定义定义3 一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组. 两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组, 记作正交向量组有下列性质： 性质性质1 若 是正交向量组,则 无关. 性质性质2 设 为单位正交向量组, 为同维数的任一若存在数,使 则 线性向量,.例例1 已知两个3维向量 正交,求一个非零向量 使 两两正交. 解解: 记 ,则 应满足齐次线性方程组 即 因为 所以同解方程组为 ,通解为 一基础解系为 ,取 即可. ,5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化过程 ) 设 为一线性无关向量组 （1）正交化 取 依次类推,一般的,有可以证明, 两两正交,且与 等价

3、. （2）单位化 令 则 为单位正交向量组,且 等价. 例例2 已知 ,求一组非零向量 ,使两两正交. 解：解： 应该满足 即 其同解方程组为 它的通解为 一基础解系为 ，把基础解系正交化，即为所求取于是得 即为所求.阶矩阵5.1.5 正交矩阵定义定义4 如果满足,那么称为正交矩阵，简称正交阵 例如： 都是正交矩阵为正交阵，那么 正交矩阵有下列性质：性质性质1 若 是可逆阵,且 或;为正交阵，那么 性质性质2 若 是正交阵； 为正交阵性质性质3 性质性质4 若 为同阶正交矩阵,则 也是正交矩阵 ；的特征值，非零列向量 称为方阵5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5.2.1 方

4、阵的特征值与特征向量 定义定义5 设是一个 阶方阵,如果存在数 及 维非零列向量 使得 ,那么,这样的数 称为方阵对应于(或属于) 特征值的特征向量的是方阵 的特征值, 是对应的特征向量(此为 个未知数 个方程的齐次线性方程组) 是方阵 的特征值是对应于 的特征向量是齐次线性方程组的非零解.(右式称为 的特征多项式,记为 , 称为特征方程).，(设 )5.2.2 5.2.2 求方阵的特征值与特征向量的步骤求方阵的特征值与特征向量的步骤求方阵的特征值与特征向量的步骤求方阵的特征值与特征向量的步骤 第一步：计算第一步：计算 的特征多项式的特征多项式 ；为对应于 的全部特征向量.不全为零)则第二步：

5、求出特征方程的所有根（重根按重数计算）； 第三步：对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方程组的一个基础解系 ，例例3 求矩阵的特征值与特征向量. 解：解： 所以的特征值为 对于特征值解方程,由得同解方程组，通解为一基础解系为.，所以对应于的全部特征向量为. 对于特征值解方程,由得同解方程组，通解为一基础解系为所以对应于的全部特征向量为：.例例4 求矩阵的特征值与特征向量解：解： 所以有2重特征值，有单特征值 对于特征值，解方程得同解方程组故得通解所以对应于特征值，由的全部特征向量为：对于特征值，解方程得同解方程组，故得通解对应于特征值的全部特征向量为重特征值算作阶方阵是可逆方阵5.2.2 5.2

6、.2 特征值的性质特征值的性质特征值的性质特征值的性质性质性质1 若的全部特征值为（个特征值）则：性性质2 设的一个特征值， 为对应的特征是的一个特征值， 为对应向量, 且则向量;特征是方阵性性质3 设的一个特征值， 为对应的特征.是的一个特征值， 为对应特征向量; 向量, 则是一个正整数, 是方阵性性质4 设的一个特征值， 为对应的特征是的一个特征值， 为对应特征向量.向量, 若则,的特征值都不为零，知可逆，故例例5 设3阶矩阵 的特征值为 ,求 解解: 因为.而所以把上式记作，则故的特征值为： 于是例6：设是三阶方阵，且求 .解，由题知是的特征值，于是由于故的特征值，故的特征值分别为：所以

7、，由于：的互不相同的特征值，5.2.3 5.2.3 特征向量的性质特征向量的性质特征向量的性质特征向量的性质 是方阵性性质1 设的一个特征值， 为对应的特征向量,若又有数 ，则性质性质2 设是方阵是对应于的特征向量 ,则向量组即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关线性无关的相似矩阵，或称方阵5.3 相似矩阵相似矩阵定义定义6 设都是阶方阵，若有可逆矩阵,使,则称是与相似，记作，有，从而即 如5.3.1 相似矩阵的概念的对应于与的某个特征值,若是5.3.2 相似矩阵的性质性质性质1 （因为 ;性质性质2 若,则性质性质3 若,则性质性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同；

8、 性质性质5 设是是的特征向量，则的对的特征向量;,;应于例7 若矩阵与相似，求解：由于，所以比较上式两端的同次幂系数，得： （3）可以证明，对应于 的每一个 重特征值 若正好有 个线性无关的特征向量,即 则 必有 个线性无关的特征向量，从而一定可以 对角化 定理定理1 阶方阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充 分必要条件是 有 个线性无关的特征向量推论推论 （ 能对角化的充分条件）如果 阶方阵的 个特征值互不相等，则 与对角矩阵相似注意注意 （1）推论的逆命题未必成立（2）当 有重特征值时，就不一定有线性无关的特征向量，从而 不一定能对角化5.3.3 矩阵的相似对角化 的特征多项式为例例8

9、 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化解解: （1） 的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以 可以对角化对，解方程,由于同解方程组为 通解为 一基础解系为 对，解方程,由于同解方程组为 通解为 一基础解系为 令 ，则因此, 的特征值为1，1，3的特征多项式为（2）对，解方程,由于同解方程组为 通解为 ,一基础解系为对，解方程 ,由于同解方程组为 通解为： 一基础解系为 有三个线性无关的特征向量，所以 可以对角化令 则是5.4 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵5.4.1实对称矩阵的性质性质性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为实 向量；性质性质2 实

10、对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互 正交；性质性质3 设 阶实对称矩阵, 是的则齐次线性方程组 重特征根,的系数矩阵的,从而 的对应于特征值 性无关的特征向量恰有 的线个. 秩个特征值.是定理定理2 设 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵 使,其中 为对角矩阵,且 元素是矩阵 对角线上的的5.4.2 实对称矩阵的相似对角形 根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似 寻找正交矩阵 ,使 成为对角阵的步骤如下： 1根据特征方程 ,求出矩阵 的特征值 的所有不同及它们的重数 2对每一个特征值 ,解齐次线性方程组 ,求得它的一个基础解系： 3利用施密特正交化方法，把向量组 正交单位化得单位正交

11、向量组 从而得到 个两两正交的单位特征向量组: ；的个4令 则 为正交矩阵,且为对角矩阵，且 对角线上的元素含 恰好是矩阵 个特征值.其中 的主对角元素 的重数为 顺序与 ,并且排列排列顺序相对应 中正交向量组的例例9 设 ,求一个正交矩阵 ,使 为对角矩阵 解：解：由 得的特征值为 对应于 ,解方程 ,由 得同解方程组 ，通解为 一基础解系为 ,单位化得 对应于 ,解方程 由 得同解方程组 通解为 一基础解系为： 取单位化,得： ,令则有： 注意：注意： 上例中若令 可逆,则.例例10 设 ,求 解：解： 为实对称矩阵所以 可以对角化,即存在可逆矩阵 ,使 为对角矩阵.于是 从而 由 得 的

12、特征值为： 于是 对于 , 得 由, 对于 ,由 得 令 ,再求出 ,于是 一般地， 为正整数). , . 合同5.5 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示5.5.1合同矩阵定义定义7 设有两个 阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵使得,则称矩阵与 合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二 次型的主要工具合同关系具有以下性质：性性质1 与自身合同 性性质2 若合同,则与合同.与性质性质3 若 合同,与合同,则与合同.与个变量的二次齐次函数5.5.2二次型及其矩阵表示定义定义8 含有称为二次型 取则实二次型可以写成： 则二次型可记作： 记：. 任给一个二次型，就惟一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对

13、称矩阵，也可惟一确定一个二次型这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系因此，我们把对称矩阵 叫做二次型 的矩阵，也把 叫做对称矩阵 的二次型对称矩阵 的秩就叫做二次型 的秩例如：可表示为： 可逆变换,正交变换.经可逆变换 二次型的矩阵 变为与 合同的矩阵 且二次型的秩不变 研究矩阵的合同与实二次型理论的关系在将实二次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换可以用如下关系描述：称为由变量 到变量 线性变换矩阵形式为：5.6 二次型的标准形二次型的标准形定义定义9 如果二次型 通过可逆标准形所对应的矩阵为对角矩阵，5.6.1二次型的标准形的定义 线性变换化成二次型 且仅含平方式为二次型的

14、标准形一般的，二次型的标准形不惟一项.即则称上即其中 是矩阵的特征值，正交矩阵 的 个列向量 是对应于 的特征向量定理定理3 任给一个二次型 总存在正 交变换 使 化为标准形：5.6.2用正交变换法化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准型的关键试找到一个正使二次型的矩阵化成对角矩阵,具体步骤如下： 1. 写出二次型的矩阵 . 3. 对重特征值(如果有的话)对应的线性无关特征向量正的特征值与线性无关的特征向量；4. 构造正交矩阵 令 ,则 交矩阵2. 求出矩阵交化,再将所有的线性无关的特征向量单位化,设为例例11 求一个正交变换 化二次型 为标准形解：解： 二次型的矩阵所以， 的特征值为： .

15、对于 解方程单位化得：一基础解系为：同解方程组由于对于 解方程由于同解方程组一基础解系为：单位化得：将 正交化，得：令则作正交变换 二次型可化为标准形5.6.3用配方法化二次型为标准形 用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点如果不限于正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形其中最常用的方法是拉格朗日配方法 例例12 用配方法化二次型化为标准形，并求所用的变换矩阵解:先将含有 的项配方 再将后三项中含有的项配方，令则经过可逆变换可将二次型化为标准形 定理定理4 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形（证明略） 定理定理5 (惯性定理)设二次型 它的秩为

16、,有两个可逆线性变换,使则 中正数的个数 中正数个数相等.5.6.4 惯性定理与二次型的规范形 另外，我们还有如下结论： （1）标准形所含项数 等于二次型对应的矩阵的非零特征值的个数（重特征值按重数计算）； （2）标准形中正系数个数等于正特征值的个数（重特征 值按重数计算）；（3）标准形中负系数个数等于负特征值的个数（重特征值按重数计算），也等于项数 减去正特征值的个数 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数 定义定义10 如果二次型 通过 可逆线性变换可以化为：则称之为该二次型的规范形 定理定理6 任给一个二次型总存在可逆变换 ,使 化为规范形 可以证

17、明，规范形是惟一的规范形中取+1的个数等于正特征值的个数，也等于正惯性指数 ；取1的个数等于负特征值的个数，也等于负惯性指数 ；其中 为非零特征值的个数，等于二次型的秩 例如，若二次型 的矩阵 的特征值为 的规范型为：推论推论 两个实对称合同的充分必要条件是它们所对应则的实二次型具有相同的正惯性指数和秩5.7 正定二次型正定二次型 定义定义11 设实二次型定理定理7 可逆变换不改变二次型的正定性定理定理8 二次型 正定的充分必要条件推论推论1 二次型 正定的充分必要条件 是它的规范型为：是它的正惯性指数等于则称 为正定二次型，并称对称矩阵 是正定的； 如果对任意 都有 （显然 ），推论推论2 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 使推论推论3 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的所有特征值都大于零推论推论4 如果实对称矩阵 正定，则 的行列式大于零；反之未必定义定义12 设 阶矩阵 的子式称为矩阵 的 阶顺序主子式定理定理9 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的所有顺序主子式都大于零，即例例13 求证给定的二次型是正定的证明：证明：这个二次型对应的实对称矩阵 它的顺序主子式 所以是 正定矩阵，即 为正定型的顺序主子式例例14 判断对称矩阵正定性.解：解： 所以 既不是正定矩阵也不是负定矩阵.