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1、第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 在经济理论及其应用中 常要求一个方阵的特征值和特征向量的问题 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题 也都要用到特征值的理论 2引言引言纯量量阵 E 与任何同与任何同阶矩矩阵的乘法都的乘法都满足交足交换律，律，即即( En)An = An ( En) = An 矩矩阵乘法一般不乘法一般不满足交足交换律，即律，即AB BA 数乘矩数乘矩阵与矩与矩阵乘法都是可交乘法都是可交换的，即的，即 (AB) = ( A)B = A( B)Ax = x ?例：例：一 特征值与特征向量定义:非零列向量X称为A 的对应于特征值的特征向量定义6设A是n
2、阶矩阵 如果对于数，存在n维非零列向量X , 使AXX 成立则称为方阵A的一个特征值第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量p117AXX如何求特征值和特征向量?即齐次方程有非0解齐次方程有非0解的充要条件是系数行列式为0即| I A| 0(2) | I A| 0称为方阵A的特征方程二 特征多项式与特征方程定义 设A为n阶方阵(1) f() | I A|称为方阵A的特征多项式即即(3)方阵A的特征值就是特征方程| I A| 0的根所以方阵A的特征值也称为方阵A的特征根齐次线性方程组 的每一个非零解向量，都是方阵A的对应于特征值的特征向量所以方阵A对应于每一个不同特征值的特征向
3、量都有无穷多个三 特征向量定理1 如果非零向量X为矩阵A对应于特征值的特征向量则CX(C0为任意常数）也是A对应于特征值的特征向量定理2 如果X1， X2为矩阵A对应于特征值的特征向量，且X1+ X2 0，则X1+ X2也是A对应于特征值的特征向量， 即:矩阵A对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍然为A对应于特征向量(不能为0) 综上所述综上所述, ,求矩阵求矩阵A的特征值及特征向量的的特征值及特征向量的步骤如下步骤如下:第一步第一步 计算矩阵计算矩阵A特征多项式特征多项式| I A| ;第二步第二步 求出矩阵求出矩阵A的特征方程的特征方程| I A|=0的全部的全部根根, ,即求得即求
4、得A的全部特征值的全部特征值 1， 1，- n，(其中可其中可能有重根）能有重根）第三步第三步 对于对于A的每个特征值的每个特征值 i ,求出对应的齐求出对应的齐次线性方程组次线性方程组 （ i I A）X=0的一个基础解系的一个基础解系.矩阵矩阵A对应对应于特征值于特征值 i 的全部的全部特征向量特征向量为例1 求矩阵 的特征值和特征向量 解 (1) A的特征方程为 所以A的特征值为14 2-2 (2) 当14时其基础解系可取为其基础解系可取为则矩阵A对应对应于特征值于特征值14的全体全体特征向量为例1 求矩阵 的特征值和特征向量 解 (3) 当2-2时其基础解系可取为其基础解系可取为则矩阵
5、A对应对应于特征值于特征值2-2的全体全体特征向量为例2 求矩阵 的特征值和特征向量 解(1) A的特征方程为 所以A的特征值为12 24 (2) 当12时其基础解系可取为其基础解系可取为则矩阵A对应对应于特征值于特征值12的全体全体特征向量为例2 求矩阵 的特征值和特征向量 解(3) 当24时其基础解系可取为其基础解系可取为则矩阵A对应对应于特征值于特征值24的全体全体特征向量为例3 求矩阵 的特征值和特征向量 解 (1) A的特征方程为 所以A的特征值为124， 32 例3 求矩阵 的特征值和特征向量 解A的特征值为1=2=4 32 (2) 当12=4其基础解系可取为其基础解系可取为则矩阵
6、A对应对应于特征值于特征值12=4的全体全体特征向量为例3 求矩阵 的特征值和特征向量 解A的特征值为1=2=4 32 (3) 当3=2其基础解系可取为其基础解系可取为则矩阵A对应对应于特征值于特征值32的全体全体特征向量为例4 求矩阵 的特征值和特征向量 解 (1) A的特征方程为 所以A的特征值为1=2=1 32 例4 求矩阵 的特征值和特征向量 解A的特征值为1=2=1 32 (2) 当12=1其基础解系可取为其基础解系可取为则矩阵A对应对应于特征值于特征值12=1的全体全体特征向量为例4 求矩阵 的特征值和特征向量解A的特征值为1=2=1 32 (3) 当32其基础解系可取为其基础解系
7、可取为则矩阵A对应对应于特征值于特征值3=2的全体全体特征向量为在复数范在复数范围内内 n 阶矩矩阵 A 有有 n 个特征个特征值（重根按重数（重根按重数计算）算）设 n 阶矩矩阵 A 的特征的特征值为 1, 2, , n，则 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann 1 2 n = |A|（利用根与系数的关系可（利用根与系数的关系可证，证明不要求。但性明不要求。但性质本身需牢固掌握）本身需牢固掌握）四 特征值与特征向量的性质例5 设是方阵A的特征值 证明 (1) 2是A2的特征值 证明 因为是A的特征值 故有X0使AXX于是 (1) A2X2X(AX)A(X)A(AX)
8、所以2是A2的特征值 因为X0 知0有XA1X由AXX(2) 当A可逆时(2) 当A可逆时, 是 的特征值是 的特征值例例5：设设 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1) 2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2) 当当 A 可逆时，可逆时，1/ 是是 A1 的特征值的特征值结论：结论：若非零向量若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 的特征向量，则的特征向量，则p 2 是是 A2 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p p k 是是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时，可逆时，1/ 是是 A1
9、 的特征值，对应的特征向量仍然的特征值，对应的特征向量仍然是是 p 一般地，令一般地，令则则例例6：设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1, 1, 2，求，求A* +3A2E 的特征值的特征值解：解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j j (A) 其中其中|A| = 1(1) 2 = 2 从而从而A* +3A2E的特征值分别为的特征值分别为例7 主对角线上的元素为1，2-n的n阶对角矩阵 或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角线上的n个元素1，2-n定理4 n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值证明 转置矩阵AT的特征多项式为即方阵A
10、与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式所以方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值例8 证明: 方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为0证明 必要性则如果A为奇异阵所以A有一个特征值为0充分性如果A有一个特征值为0，对应的特征向量为X则有非0解所以 |A|=0定理3 n阶方阵A可逆的充要条件是A的每一个特征值均不为0p120定理2 设1 2 m(mn)是n阶方阵A的m个互不同特征值X1 X2 Xm分别是A对应于1 2 m的特征向量 则 X1 X2 Xm线性无关 A (k1X1k2X2 ks Xs)0证明 设有常数k1 k2 ks1k1X12k2X2 sks Xs0用数学归纳法 m=1时 X1
11、0 显然成立 使 k1X1k2X2 ks Xs0设 m=s-1时 X1 X2 Xs-1线性无关现证明 m=s时 X1 X2 Xs线性无关k1X1k2X2 ks Xs0sk1 X1s k2X2 s ks Xs01k1X12k2X2 sks Xs0两边同乘s两式相减(s -1)k1X1 (s - 2)k2X2 (s - s-1)ks-1 Xs-10所以 X1 X2 Xs线性无关由设 m=s-1时 X1 X2 Xs-1线性无关由数学归纳法知 对任意正整数m,结论成立p121例10 设1和2是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向量依次 为X1和X2 证明X1 X2不是A的特征向量 用反证法 假设X1
12、X2是A的特征向量 则应存在数 使 A(X1X2)(X1X2) 于是证明 按题设 有AX11X1 AX22X2 故A(X1X2)1X12X2即(1)X1(2)X20(X1X2) AX1AX2 1X12X2因此X1X2不是A的特征向量与题设12矛盾即12 120 故由上式得 因为因为X1 X2线性无关 定理6 设1 2 m是方阵A的m个互不同特征值为1的r1个线性无关特征向量为2的r2个线性无关特征向量 为m的rm个线性无关特征向量则 向量组共r1+ r2+ +rm个线性无关例3 求矩阵 的特征值和特征向量 解(1) A的特征方程为 所以A的特征值为124， 32 (2) 当12=4 其基础解系可取为其基础解系可取为(3) 当3=2 其基础解系可取为其基础解系可取为由由定理6可知可知X1，X2 X3线性无关定理7 设是n阶方阵A的一个k重特征值则A对应于的线性无关的特征向量的最大个数为l ,则 lk线性无关特征向量的个数不超过特征值的重数定理8 设是n阶方阵A的1重特征值则A对应于的线性无关的特征向量有且只有1个
