自动控制理论第二章控制系统的数学模型

《自动控制理论第二章控制系统的数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制理论第二章控制系统的数学模型（77页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、自动控制理论 第二章控制系统的数学模型第二章第二章 控制系控制系统的数学模型的数学模型本章知识点：本章知识点：线性系统的输入输出传递函数描述线性系统的输入输出传递函数描述建立机电系统数学模型的机理分析法建立机电系统数学模型的机理分析法传递函数的定义与物理意义传递函数的定义与物理意义典型环节的数学模型典型环节的数学模型框图及化简方法框图及化简方法信号流程图与梅逊公式应用信号流程图与梅逊公式应用非线性数学模型的小范围线性化非线性数学模型的小范围线性化第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述物理模型物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描

2、述，必须进行简化难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。数学模型数学模型物理模型的数学描述。是指描述系统物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。表达式。数学建模数学建模从实际系统中抽象出系统数学模型的从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。过程。建立物理系统数

3、学模型的方法机理分析法机理分析法 对系统各部分的运动机理进对系统各部分的运动机理进行分析，按行分析，按 照它们遵循的物理规律、化照它们遵循的物理规律、化学规律列出各物理量之间的数学表达式学规律列出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数学模型。建立起系统的数学模型。实验辩识法实验辩识法 对系统施加某种测试信号对系统施加某种测试信号（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时间响应、频率响应），估输出响应（时间响应、频率响应），估算系统的传递函数。算系统的传递函数。机理分析法建立系统数学模型的步骤机理分析法建立系统数学模型的步骤确定系统的输入量、输出量；确定系

4、统的输入量、输出量；根据物理定律列写原始方程；根据物理定律列写原始方程；消去中间变量，写出表示系统输入、输消去中间变量，写出表示系统输入、输出关系的线性常微分方程。出关系的线性常微分方程。机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例例例2-1:2-1:图图2-1为为RC四端无源网络。试列写以四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。为输出量的网络微分方程。解：解：设回路电流设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列，根据克希霍夫定律，列写方程组如下写方程组如下U1 R1R2U2C1C2图图2-1 2-1 RC组成的四端网成的四端网络(

5、1)(2)(3)(4)(5)机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例由由(4)、(5)得得由由(2)导出导出将将i1、i2代入代入(1)、(3)，则得，则得U1 R1R2U2C1C2图图2-1 2-1 RC组成的四端网成的四端网络 这就是这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线性四端网络的数学模型，为二阶线性常微分方程。常微分方程。机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例例例2-2 图图2-6 所示为电枢控制所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要直流电动机的微分方程，要求取电枢电压求取电枢电压Ua

6、(t)（v）为输）为输入量，电动机转速入量，电动机转速 m（t）（）（rad/s）为输出量，）为输出量，列写微分方程。图中列写微分方程。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻分别是电枢电路的电阻和电感，和电感，Mc(NM)是折合到电是折合到电动机轴上的总负载转矩。激动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。磁磁通为常值。图图2 2- -6 6 电电 枢枢 控控 制制 直直 流流 电电 动动 机机 原原 理理 图图SM负负载载-LaRaEamJmf mUaifia机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例解：列写电枢电路平衡方程解：列写电枢电路平衡方程图图2 2- -6 6

7、电电枢枢控控制制直直流流电电动动机机原原理理图图SM负负载载-LaRaEamJmfmUaifiaEa电枢反电势，其表达式为电枢反电势，其表达式为Ea=Cem（t） Ce反电势系数（反电势系数（v/rad/s） 由由、求出求出ia(t)ia(t)，代入，代入，同，同时亦代入亦代入，得，得 在工程应用中，由于电枢电路电感在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，较小，通常忽略不计，故通常忽略不计，故可简化为可简化为其中 电动机机电时间常数（电动机机电时间常数（s） 如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为电动机的转速电动机的转速 与电枢电压与电枢电压 成正比，成正比

8、，于是电动机可作为测速发电机使用。于是电动机可作为测速发电机使用。 第二第二节线性系性系统的的输入入输出出传递函数描述函数描述一、传递函数一、传递函数定义：线性定常系统的传递函数，定义定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初使条件是与输入量的拉氏变换之比。零初使条件是指当指当t0时时,系统系统r(t)、c(t)以及它们的各阶以及它们的各阶导数均为零。导数均为零。线性系统微分方程的一般形式为线性系统微分方程的一般形式为当初始条件均为当初始条件均为0时时,对上式两边求拉氏变换，得对上式两边求拉氏变换，得系

9、统的传递函数系统的传递函数的根，也即线性微分方程特征方程的特征值。的根，也即线性微分方程特征方程的特征值。零点零点传递函数分子传递函数分子s多项式多项式传递函数传递函数G(S)是复变函数，是是复变函数，是S的有理函数。且有的有理函数。且有mn。极点极点传递函数分母传递函数分母s多项式多项式的根。的根。传函是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。传函是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。 如果已知系统的传递函数和输入信号如果已知系统的传递函数和输入信号,则可求得初始条件为零则可求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式时输出量的拉氏变换式C(s),对其求拉氏反变换可得到系统的对其求拉

10、氏反变换可得到系统的响应响应 c(t)，称为系统的零状态响应。，称为系统的零状态响应。系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传递函数则由系统的结构与参数决定。递函数则由系统的结构与参数决定。 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，为传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，为1+开开环传递函数。环传递函数。 同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其特征同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其特征多项式唯一。多项式唯一。在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出在给定输入和初始条件下，解微分方程

11、可以得到系统的输出响应，包括两部分响应，包括两部分 系统响应系统响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应在输入为零时，系统对零初始状态的响应；在输入为零时，系统对零初始状态的响应； 零状态响应零状态响应在零初始条件下，系统对输入的响应。在零初始条件下，系统对输入的响应。传递函数的几点性质传递函数的几点性质传递函数函数G(s)(s)是复是复变量量s s的有理真分式函数，的有理真分式函数，mn，且所有系数均，且所有系数均为实数。数。传递函数传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构取决于系统或元件自身的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）和参数，与输入量的形式（幅

12、度与大小）无关。无关。传递函数传递函数G(s) 描述了系统输出与输入之间描述了系统输出与输入之间的关系，但它不提供系统的物理结构信息。的关系，但它不提供系统的物理结构信息。具有相同传递函数的不同物理系统称为相具有相同传递函数的不同物理系统称为相似系统。似系统。传递函数的几点性质传递函数的几点性质如果系统的传递函数未知，给系统加上如果系统的传递函数未知，给系统加上某种输入，可根据其输出，确定其传递某种输入，可根据其输出，确定其传递函数。函数。系系统传递函数是系函数是系统单位脉冲响位脉冲响应g(t)的的拉氏拉氏变换LLg(t)。 例例23 求例求例21系统的传递函数。系统的传递函数。已知其输入输出

13、微分方程已知其输入输出微分方程U1 R1R2U2C1C2图图2-1 2-1 RC组成的四端网成的四端网络设初始状态为零，设初始状态为零，对方程两边求拉氏对方程两边求拉氏变换，得变换，得此即为RC四端网络的传递函数。第三第三节 非非线性数学模型的小范性数学模型的小范围线性化性化 严格讲，任何实际系统都存在不同程严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非线性。对于非本质非线性度的非线性。对于非本质非线性数学模数学模型型，可采用，可采用小范小范围线性化方法。性化方法。设一非线性数学设一非线性数学模型如图所示。模型如图所示。 设设函函数数y=f（x）在在（x0，y0）点点附附近近连连续续可可微微(此此即即

14、为为非非线线性性系系统统数数学学模模型型线线性性化化的的条条件件）,则则可可将将函函数数f（x）在在（x0，y0）附近展开成泰勒级数附近展开成泰勒级数式中式中 比例系数比例系数,是随工作点是随工作点A（x0，y0)不不同而不同的常数同而不同的常数 具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述方法相似。方法相似。 求线性化微分方程的步骤求线性化微分方程的步骤按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。各变量的数值。找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函找

15、出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。进行线性化处理。将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。一次项，求出它的系数值。消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用偏差量来表示。偏差量来表示。注意：注意： （1 1）线性化方程中的常数与性化方程中的常数与选择的静的静态工作点的位工作点的位置有关置有关, ,工作点不同工作点

16、不同时, ,相相应的常数也不相同。的常数也不相同。 （2 2）泰勒）泰勒级数数线性化是小范性化是小范围线性化。当性化。当输入量的入量的变化范化范围较大大时，用上述方法建立数学模型引起的，用上述方法建立数学模型引起的误差差较大。因此只有当大。因此只有当输入量入量变化化较小小时才能使用。才能使用。 （3 3）若非）若非线性特性不性特性不满足足连续可微可微的条件的条件, ,则不能不能采用前述采用前述处理方法理方法. . （4 4）线性化方法得到的微分方程是增量化方程。性化方法得到的微分方程是增量化方程。 由微分方程直接得出的由微分方程直接得出的传递函数是复函数是复变量量s的有理分式。的有理分式。对于

17、于实际物理系物理系统，传递函数的分子、分母多函数的分子、分母多项式的所有系式的所有系数均数均为实数，而且分母多数，而且分母多项式的式的阶次次n 不低于分子多不低于分子多项式的式的阶次次m，分母多，分母多项式式阶次次为n的的传递函数称函数称为n阶传递函数，相函数，相应的系的系统称称为n阶系系统 。传递函数可表示成复函数可表示成复变量量s的有理分式的有理分式: :传递函数可表示成零、极点表示：函数可表示成零、极点表示：第四节第四节 典型环节的数学模型典型环节的数学模型 系系统传递函数有函数有时还具有零具有零值极点，极点，设传递函数函数中有中有 个零个零值极点极点, ,并考并考虑到零极点都有到零极点

18、都有实数和共数和共轭复复数的情况数的情况, ,则传递函数的后两种表示的一般形式函数的后两种表示的一般形式为： 可见，系统传递函数是由一些常见基本因子可见，系统传递函数是由一些常见基本因子,如式上中的如式上中的( js+1)、1/(Tis+1)等组成。即系统传递函数表示为上式时，系统等组成。即系统传递函数表示为上式时，系统传递函数是这些常见基本因子的乘积。这些常见基本因子代表传递函数是这些常见基本因子的乘积。这些常见基本因子代表的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成。具有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理构成。具

19、有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的运动规律。元件，但都具有相同的运动规律。从传递函数的表示式中可以看到，传递函数的从传递函数的表示式中可以看到，传递函数的基本因子对应的典型环节有比例环节、积分环节、微基本因子对应的典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。 l l比例比例环节 比比例例环环节节又又称称为为放放大大环环节节，其其输输出出量量与与输输入入量量之之间间的的关关系系为为固固定定的的比比例例关关系系，即即它它的的输输出出量量能能够够无无失失真真、无无延延迟迟地地按一定的比例关系复现输入量

20、。时域中的代数方程为按一定的比例关系复现输入量。时域中的代数方程为c(t)=Kr(t) t 0 式中式中K为比例系数或传递系数，有时也称为放大系数为比例系数或传递系数，有时也称为放大系数 所以比例环节的传递函数为所以比例环节的传递函数为 ：L-变换变换 C(S)=KR(S) 完全理想的比例环节是不存在的。对某些系统完全理想的比例环节是不存在的。对某些系统当做比例环节是一种理想化的方法。当做比例环节是一种理想化的方法。2 2惯性性环节 惯惯性性环环节节又又称称为为非非周周期期环环节节，其其输输入入量量和和输输出出量量之之间间的的关系可用下列微分方程来描述：关系可用下列微分方程来描述：式中式中 K

21、比例系数。比例系数。 T惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数 ，衡量输出量跟随输入量，衡量输出量跟随输入量 的变化的变化 L-变换变换 TSC(S)+C(S)=KR(S) 传递函数传递函数 G(S)= C(s)/ R(s) = 3 3积分分环节输出量与输入量的积分成比例，系数为输出量与输入量的积分成比例，系数为K。积分环节的传递函。积分环节的传递函数为：数为：积分环节的动态方程为：积分环节的动态方程为：积分环节具有一个零值极点，即极点位于积分环节具有一个零值极点，即极点位于S平面上的坐标平面上的坐标原点处。原点处。T称为积分时间常数。从传递函数表达式易求得在单称为积分时间常数。从传递函数表达式

22、易求得在单位阶跃输入时的输出为：位阶跃输入时的输出为：C（t）=Kt 上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成比例地无限增加。其输出量就与时间成比例地无限增加。 4 4振振荡环节 振荡环节的微分方程振荡环节的微分方程是：是：相应的传递函数为：相应的传递函数为： 式中式中 T时间常数；时间常数； 阻尼系数（阻尼比），且阻尼系数（阻尼比），且0 1。 振荡环节的传递函数具有振荡环节的传递函数具有一对共轭复数极点一对共轭复数极点,在复平面在复平面S上的位置见图上的位置见图2-8所示所示,传递函数可改写为：传递函数可改写为： n

23、=1/T无阻尼自然振荡频率。共轭复数极点为：无阻尼自然振荡频率。共轭复数极点为： 5微分环节微分环节 微分是积分的逆运算微分是积分的逆运算,按传递函数的不同按传递函数的不同,微分环节可微分环节可分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为 ：相应的传递函数为：相应的传递函数为： 6 6延延迟环节 延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。其输延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。其输出信号比输入信号迟后一定的时间。就是说，延迟出信号比输入信号迟后一定的时间。就是说

24、，延迟环节的输出是一个延迟时间环节的输出是一个延迟时间 后，完全复现输入后，完全复现输入 信号，即信号，即 式中式中 纯延迟时间纯延迟时间。 单位阶跃输入时，延迟环节的输单位阶跃输入时，延迟环节的输出响应如右图示出响应如右图示 根据拉氏变换的根据拉氏变换的延迟定理，可得延迟环节的传递函数延迟定理，可得延迟环节的传递函数为：为： 典型环节数学模型注意三点：典型环节数学模型注意三点： （1）系统的典型环节是按数学模型的共性去）系统的典型环节是按数学模型的共性去建立的，它与系统中采用的元件不是一一对应的。建立的，它与系统中采用的元件不是一一对应的。 （2）分析或设计控制系统必先建立系统或被）分析或设

25、计控制系统必先建立系统或被控对象的数学模型，将其与典型环节的数学模型控对象的数学模型，将其与典型环节的数学模型对比后，即可知其由什么样的典型环节组成。将对比后，即可知其由什么样的典型环节组成。将有助于系统动态特性的研究和分析。有助于系统动态特性的研究和分析。 （3）典型环节的概念只适用于能够用线性定）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。常数学模型描述的系统。 框框图图与与信信号号流流图图方方法法是是自自动动控控制制系系统统的的两两种种图图形形研研究究方方法，是分析系统的有力工具。法，是分析系统的有力工具。一框一框图的基本概念的基本概念 控制系统的方框图又称为方块图或结构图，

26、是系统各控制系统的方框图又称为方块图或结构图，是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。它它用用一一个个方方框框表表示示系系统或或环节，如如上上图所所示示。框框图的的一一端端为输入入信信号号r(t)，另另一一端端 是是 经 过 系系统或或环节后后的的输出出信信号号c（t），图中中箭箭头指指向向表表示示信信号号传递的的方方向向。方方框框中中用用文文字字表表示示系系统或或环节，也也可可以以填填入入表表示示环节或或系系统输出出和和输入入信信号号的的拉拉氏氏变换之比之比-传递函数，函数，这是更是更为常用的框常用的框图。第五第五节 框框图及其化及其化简方

27、法方法六种典型环节的框图如下：六种典型环节的框图如下：（1）方块（）方块（Block Diagram）:表示输入到输出单向传输间表示输入到输出单向传输间 的函数关系。的函数关系。G( s )R ( s )C ( s ) 图图2-122-12 方块图中的方块方块图中的方块信号线信号线方块方块r(t)c(t)二二 框框图元素元素（2）比较点（合成点、综合点）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，表示相加，“-”表示相减。表示相减。“+”号可省略不写。号可省略不写。 +11+22+

28、-)()(21sRsR-)(1sR)(2sR11-2+32-3注意：进行相加减注意：进行相加减的量，必须具有相的量，必须具有相同的量纲。同的量纲。图 2-13 (3)分支点（引出点、测量点）分支点（引出点、测量点）Branch Point表示信号测量或引出的位置表示信号测量或引出的位置 （4）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。前向通路传递函数前向通路传递函数假设假设N(s)=0 ,打开反馈后，输出打开反馈后，输出C(s)与与R(s)之比。等价于之比。等价于C(s)与误

29、差与误差E(s)之比之比 反馈回路传递函数反馈回路传递函数 假设假设N(s)=0， 主反馈信号主反馈信号B(s)与输出信号与输出信号C(s)之比。之比。+H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)打打开开反反馈馈)(1sG)(2sGC(s)图图2-15 反馈控制系统框图反馈控制系统框图三三 几个基本概念及几个基本概念及术语开开环传递函数函数 Open-loop Transfer Function 假假设N(s)=0，主反主反馈信号信号B(s)与与误差信号差信号E(s)之比。之比。 从上式可以看出，系从上式可以看出，系统开开环传递函数等于前向函数等于前向通道的通道的传递函数与反函数与反馈通道的

30、通道的传递函数之乘函数之乘积。闭环传递函数函数 Closed-loop Transfer Function 假假设N(s)=0=0，输出信号出信号C(s)与与输入信号入信号R(s)之比。之比。推导：因为 右边移过来整理得 即 *误差差传递函数函数 假假设N(s)=0，误差信号差信号E(s)与与输入信号入信号R(s)之比之比 。代入上式，消去代入上式，消去G( (s) )即得：即得：将将*-N(s)C(s)H(s)(2sG)(1sG图2-16 输出对扰动的结构利用公式*，直接可得：输出出对扰动的的传递函数函数 假假设R( (s)=0)=0*+H( s )-R( s)E( s)B( s)N( s)

31、打打开开反反馈馈)(1sGC(s) + G2（s）误差差对扰动的的传递函数函数 假假设R(s)=0 H(s)N(s)E(s)(1sG)(2sG-1图2-17 误差对扰动的结构图 利用公式*，直接可得：* 线性系统满足叠加原理，当控制输入线性系统满足叠加原理，当控制输入（）与扰动）与扰动()同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：注意：由于注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认时，不能认为利用为利用N(s)产生的误差可抵消产生的误差可抵消R(s)产生的误差。产生的误差。（1 1）考）考虑负载效效应分分别列写

32、系列写系统各元部件的微分方各元部件的微分方程或程或传递函数，并将它函数，并将它们用方框表示。用方框表示。（2 2）根据各元部件的信号流向，用信号）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各依次将各方方块连接起来，便可得到系接起来，便可得到系统的框的框图。 系系统框框图也是系也是系统数学模型的一种表示。数学模型的一种表示。 四框图的绘制RCi（a）iuou图2-18 一阶RC网络 解：根据基尔霍夫电压定律及电容元件解：根据基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得特性可得对其进行拉氏变换得对其进行拉氏变换得 例：画出下列例：画出下列RC电路的方块图。电路的方块图。 将将图（b b）和）和(c)(c)组合起

33、来即得到合起来即得到图(d)(d)，图(d)(d)为该一一阶RCRC网网络的框的框图。（b）I (s)(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo图 2-19（d）I (s )(sUo)(sUo)(sUi图 2-201/R1/SC-例：画出下列例：画出下列R-C网络的方块图网络的方块图 分析：分析：由由图2-212-21清楚地看到，后一清楚地看到，后一级R R2 2-C-C2 2网网络作作为前前级R R1 1- -C C1 1网网络的的负载，对前前级R R1 1-C-C1 1网网络的的输出出电压产生影响，生影响，这就是就是负载效效应。解：（解：（1 1）根据）根据电路定理列出方程，写出路定理列出

34、方程，写出对应的拉氏的拉氏变换，也可直接画出，也可直接画出该电路的运路的运算算电路路图如如图(b)(b)；（；（2 2）根据列出的）根据列出的4 4个式个式子作出子作出对应的框的框图；（；（3 3）根据信号的流向）根据信号的流向将各方框依次将各方框依次连接起来。接起来。 例 如果在如果在这两极两极R-C网网络之之间接入一个接入一个输入阻抗很大而入阻抗很大而输出阻抗出阻抗很小的隔离放大器，如很小的隔离放大器，如图2-222-22所示。所示。则此此电路路的方的方块图如如图( (b b) )所示。所示。 框框图图的的等等效效变变换换相相当当于于在在框框图图上上进进行行数数学学方方程程的的运运算算。常

35、常用用的的方方框框图图等等效效变变换换方方法法可可归归纳纳为为两两类类。环节的合并环节的合并; 信号分支点或相加点的等效移动。信号分支点或相加点的等效移动。 框图变换必须遵循的原则是：变换前、后的数框图变换必须遵循的原则是：变换前、后的数学关系保持不变，因此框图变换是一种等效变换，学关系保持不变，因此框图变换是一种等效变换，同时由于传递函数和变量的方程是代数方程，所以同时由于传递函数和变量的方程是代数方程，所以框图变换是一些简单的代数运算。框图变换是一些简单的代数运算。（）环节的合并（）环节的合并 环环节节之之间间互互相相连连接接有有三三种种基基本本形形式式：串串联联、并并联和反馈连接。联和反

36、馈连接。 五五. . 框框图的等效的等效变换1 1环节的串的串联 特特点点: 前前一一个个环环节节的的输输出出信信号号就就是是后后一一环环节节的的输输入入信信号号，下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：要求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的传递函数时要求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的传递函数时 上上式式表表明明，三三个个环环节节的的串串联联可可以以用用一一个个等等效效环环节节来来代代替替。这这种种情情况况可可以以推推广广到到有有限限个个环环节节串串联联（各各环环节节之之间间无无负负载载效效应应）的的情

37、情况况，等等效效环环节节的的传传递递函函数数等等于于各各个个串串联联环环节节的的传传递递函函数数的的乘乘积积，如如有有n个个环环节节串串联联则则等等效效传递函数可表示为：传递函数可表示为：2. 2. 环节的并的并联 环环节节并并联联的的特特点点是是各各环环节节的的输输入入信信号号相相同同，输输出出信信号号相相加加（或或相相减减），下下图图所所示示为为三三个个环环节节的的并并联联，图图中中含含有有信信号号相相加加点。从图中可见点。从图中可见:等效传递函数为等效传递函数为 ： 以以上上结结论论可可推推广广到到一一般般情情况况，当当有有n个个环环节节并并联联时时，其其输出信号相加则有等效传递函数输出

38、信号相加则有等效传递函数3反馈连接反馈连接 将系统或环节的输出信号反馈到输入端，并与原输入信号将系统或环节的输出信号反馈到输入端，并与原输入信号进行比较后再作为输入信号，即为反馈连接，如下图所示。进行比较后再作为输入信号，即为反馈连接，如下图所示。负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。 正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。 上述三种基本变换是进行方框图等效变换的上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复的系统基础。对于较复的系统,例如当系统具有信号交例如当系统具有信号交叉或反

39、馈环交叉时叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。仅靠这三种方法是不够的。 （二）信号相加点和信号分支点的等效变换（二）信号相加点和信号分支点的等效变换 对对于于一一般般系系统统的的方方框框图图，系系统统中中常常常常出出现现信信号号或或反反馈馈环环相相互互交交叉叉的的现现象象，此此时时可可将将信信号号相相加加点点（汇汇合合点点）或或信信号号分分支支点点（引引出出点点）作作适适当当的的等等效效移移动动，先先消消除除各各种种形形式式的的交交叉叉，再进行等效变换即可。再进行等效变换即可。将信号引出点及汇合点前后移动的规则：将信号引出点及汇合点前后移动的规则：1.变换前与变换后前向通道中传递函数的乘

40、积必须保持不变变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变;2.变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。 信信号号相相加加点点的的移移动动分分两两种种情情况况：前前移移和和后后移移。为为使使信信号号相相加加点点移移动动前前后后输输出出量量与与输输入入量量之之间间的的关关系系不不变变,必必须须在在移移动动相相加加信信号号的的传传递递通通道道上上增增加加一一个个环环节节，它它的的传传递递函函数数分分别别为为 1G（S）（前移）和）（前移）和 G（S）（后移）。）（后移）。 信信号号分分支支点点（取取出出点点）的的移移动动也也分分前前移移

41、和和后后移移两两种种情情况况。但但分分支支点点前前移移时时应应在在取取出出通通路路上上增增加加一一个个传传递递函函数数为为G（S）的环节，后移时则增加一个传递函数为的环节，后移时则增加一个传递函数为1G（S）的环节。）的环节。 此此外外，两两个个相相邻邻的的信信号号相相加加点点和和两两个个相相邻邻的的信信号号分分支支点点可可以以互互换换位位置置。但但必必须须注注意意，相相邻邻的的相相加加点点与与分分支支点点的的位位置置不不能简单互换。能简单互换。 下表列出了信号相加点和信号分支点等效下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。的各种方法。 例例：求传递函数求传递函数EiEEo+R1C2

42、s+R1C2S+-EiEo图2-27（a)图2-27（b)EoR1C2S+-EiR1C2S+-EiEo图2-27（c)图2-27（d)EiEo图2-27（e)第六第六节 信号流信号流图与梅与梅逊公式公式 信信号号流流图和和框框图图类类似似，都都可可用用来来表表示示系系统统结结构构和和信信号号传传送送过程中的数学关系。因而过程中的数学关系。因而信号流信号流图也是数学模型一种表示。也是数学模型一种表示。 框框图图及及其其等等效效变变换换虽虽然然对对分分析析系系统统很很有有效效，但但是是对对于于比比较较复复杂杂的的系系统统，方方框框图图的的变变换换和和化化简简过过程程往往往往显显得得繁繁琐琐、费费时

43、时，并并易易于于出出错错。如如采采用用信信号号流流图图，则则可可利利用用梅梅逊公公式式，不不需需作作变变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。（）基本概念（）基本概念 信信号号流流图图是是一一种种将将线线性性代代数数方方程程组组用用图图形形来来表表示示的的方方法法。例如：例如： 一一. . 信号流信号流图及其等效及其等效变换 信号流图中，用小圆圈信号流图中，用小圆圈“O”表示变量，并称其为表示变量，并称其为节点点。节点之间用节点之间用加加权的有向线段连接，称为的有向线段连接，称为支路支路。通常在支路上标。通常在支路上标明前后两个变量之间的数

44、学关系，因此支路的明前后两个变量之间的数学关系，因此支路的权又称为权又称为传输。（二）常用术语（二）常用术语 信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术语。信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术语。 1.1.出支路：出支路：离开节点的支路。离开节点的支路。2.入支路：进入节点的支路。入支路：进入节点的支路。3.源源节节点点：只只有有出出支支路路的的节节点点，对对应应于于自自变变量量或或外外部部输输人人，因因此此也也称称为为输入节点。输入节点。4.汇节点：只有入支路的节点，对应于因变量，有时也称为输出节点。汇节点：只有入支路的节点，对应于因变量，有时也称为输出节点。 5.混合节点：既有入支路

45、，又有出支路的节点。混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。6.通通道道：又又称称为为路路径径，是是指指从从一一个个节节点点出出发发，沿沿着着支支路路的的箭箭号号方方向向相相继继经过多个节经过多个节 点间的支路，一个信号流图可以有多条通道。点间的支路，一个信号流图可以有多条通道。7.开开通通道道：如如果果通通道道从从某某个个节节点点出出发发，终终止止于于另另一一个个节节点点上上，并并且且通通道道中每个节点只经过一次，则称这样的通道为开通道。中每个节点只经过一次，则称这样的通道为开通道。 8.闭闭通通道道：如如果果通通道道的的终终点点就就是是通通道道的的起起始始点点，并并且且通通道道中中每每个个

46、节节点点只只经经过过一一次次，则则该该通通道道称称为为闭闭通通道道或或回回路路、回回环环等等。如如果果一一个个通通道道从从一一个个节节点点开开始始，只只经经过过一一个个支支路路又又回回到该节点，则称这样的通道为自回环。到该节点，则称这样的通道为自回环。 9.前前向向通通道道：从从源源节节点点出出发发到到汇汇节节点点终终止止，而而且且每每个个节节点点只只通过一次的通道称为前向通道。通过一次的通道称为前向通道。10.互互不不接接触触回回环环：如如果果一一些些回回路路没没有有任任何何公公共共节节点点和和回回路路，就称它们为互不接触回环。就称它们为互不接触回环。11.通道传输通道传输：指沿通道各支路传

47、输的乘积，也称为通道增益。：指沿通道各支路传输的乘积，也称为通道增益。 12. 回环传输回环传输：又称为回环增益，指闭通道中各支路传输的乘：又称为回环增益，指闭通道中各支路传输的乘积。积。第一张 例如下图中，例如下图中，x。为源节点，为源节点，x6为汇节点。为汇节点。 x1、x2、x3、x4和和x5为混合节点。通道为混合节点。通道abcdej是一条前向通道，而是一条前向通道，而abcde和和fghi是普通的通道，是普通的通道，ai不是通道不是通道,因为两条支路的方向不一致。因为两条支路的方向不一致。bbi也不是通道，因为两次经过节点也不是通道，因为两次经过节点x1 。bi是一个闭通道（回是一个

48、闭通道（回环），而环），而bchi不是一个闭通道，因为有两次经过节点不是一个闭通道，因为有两次经过节点x2。图中。图中共有四个回环，即共有四个回环，即bi,ch,dg和和ef。两个互不接触的回环有三种。两个互不接触的回环有三种组合，即组合，即bief,bidg和和chef。本系统没有三个及三个以上互不接。本系统没有三个及三个以上互不接触的回环。触的回环。（三）信号流图的基本性质（三）信号流图的基本性质 （四）信号流图的简化（四）信号流图的简化 （l）串联支路的总传输等于各支路传输的乘积。）串联支路的总传输等于各支路传输的乘积。 （2）并联支路的总传输等于各支路传输之和。）并联支路的总传输等于各

49、支路传输之和。 （3）混合节点可以用移动支路的方法消去。）混合节点可以用移动支路的方法消去。 （4）回环可以用框图中反馈连接的规则化为）回环可以用框图中反馈连接的规则化为等效支路。等效支路。 （1）用节点表示变量，源节点代表输入量，汇节点代表输出）用节点表示变量，源节点代表输入量，汇节点代表输出量，用混合节点表示变量或信号的汇合。在混合节点处，所有量，用混合节点表示变量或信号的汇合。在混合节点处，所有出支路的信号（即混合节点对应的变量）等于各支路引入信号出支路的信号（即混合节点对应的变量）等于各支路引入信号的代数和。的代数和。 （2）以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能）以支路表示变

50、量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。 （3）增增加加一一个个具具有有单单位位传传输输的的支支路路，可可把把混混合合节节点点变变为为汇汇节点。节点。 （4）对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。下表列出了信号流图的等效变换规则下表列出了信号流图的等效变换规则:例题例题 试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，求出系统

51、的闭环传递函数。求出系统的闭环传递函数。 解解 （a）所示的框图）所示的框图可化为图可化为图(b)所示的信所示的信号流图，注意：框图中号流图，注意：框图中比较环节的正负号在信比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传号流图中表现在支路传输的符号上。图输的符号上。图2-30表表示了信号流图的简化过示了信号流图的简化过程。程。求出系统的闭环传递函数（总传输）求出系统的闭环传递函数（总传输）为为 : 二、梅逊公式及其应用二、梅逊公式及其应用 式中式中G(s)为从源节点到汇节点之间的总传输，为从源节点到汇节点之间的总传输，n为从源节点到汇节点之为从源节点到汇节点之间前向通道的总数，间前向通道的总数，P

52、k为第为第K条前向通道的传输。条前向通道的传输。 为信号流图特征式，是为信号流图特征式，是信号流图所表示的代数方程组的系数行列式信号流图所表示的代数方程组的系数行列式, k为第为第K条前向通道的信号流条前向通道的信号流图特征式的余子式，图特征式的余子式，即从即从 中除去与第中除去与第K条前向通道条前向通道相接触的回环后余下的相接触的回环后余下的部分。部分。 的计算公式为：的计算公式为： 式中式中 L1信号流图中所有不同回环的传输之和；信号流图中所有不同回环的传输之和； L2所有两个互不接触回环传输的乘积之和；所有两个互不接触回环传输的乘积之和； L3所有三个互不接触回环传输的乘积之和；所有三个

53、互不接触回环传输的乘积之和； Lm所有所有m个互不接触回环传输的乘积之和；个互不接触回环传输的乘积之和； 信信号号流流图图上上从从源源节节点点（输输入入节节点点）到到汇汇节节点点（输输出出节节点点）的的总总传传输输公式，即梅逊公式为：公式，即梅逊公式为： 利利用用梅梅逊逊公公式式求求系系统统总总传传输输时时,只只要要求求出出信信号号流流图图中中的的n、Pk、 和和 K,代入公式计算即可。代入公式计算即可。例题例题2：试用梅逊公式计算下图系统的总传输。：试用梅逊公式计算下图系统的总传输。 =1- L1 =1+ G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7三个回环均与前向通道三个回环均与前向通道P

54、1接触，所以接触，所以 1=1 根据梅逊公式，系统总传输为：根据梅逊公式，系统总传输为： 解解 源节点源节点R(s)和汇节点和汇节点C(s)之间只有一条前向通道之间只有一条前向通道n=1。通道传输为：通道传输为： P1=G1G2G3G4 三个回环的传输之和为：三个回环的传输之和为： L1 =-G2G3G6-G3G4G5-G1G2G3G7 三个回环之间都有公共节点，流图特征式为：三个回环之间都有公共节点，流图特征式为：例题例题3：试用梅逊公式求图：试用梅逊公式求图2-33所示信号流的总传输。所示信号流的总传输。 L3=abefij =1- L1+ L2- L3 第一条前向通道与所有回环均有接触，所以第一条前向通道与所有回环均有接触，所以 1=1 第二条前向通道与回环第二条前向通道与回环cd不接触，所以不接触，所以 2=1-cd 解解 首先确定信号流图中由源节点到汇节点间的前向通道数首先确定信号流图中由源节点到汇节点间的前向通道数,从图中可知从图中可知 n= 2,第一条前向通道的传输为第一条前向通道的传输为P1=acegi。第二条。第二条前向通道的传输为前向通道的传输为 P2=kgi。 L1=ahcdef ghij kfdb L2=abef + abgh + abij + cdgh + cdij + efij + kfdbij