数学模型第四版代数方程和差分方程模型

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1、6.1 投入投入产出模型出模型6.2 CT技技术的的图像重建像重建6.3 原子原子弹爆炸的能量估爆炸的能量估计6.4 市市场经济中的蛛网模型中的蛛网模型6.5 减肥减肥计划划节食与运食与运动6.6 按年按年龄分分组的种群增的种群增长第六章第六章 代数方程与差分方程模型代数方程与差分方程模型 国民国民经济各个部各个部门之之间存在着存在着相互依存和制相互依存和制约关系，关系，每个部每个部门将其他部将其他部门的的产品或半成品品或半成品经过加工（加工（投入投入）变为自己的自己的产品（品（产出出）. 根据各部根据各部门间投入和投入和产出的平衡出的平衡关系，确定各部关系，确定各部门的的产出水平以出水平以满

2、足社会的需求足社会的需求 . 20世世纪30年代由美国年代由美国经济学家列昂学家列昂节夫提出和研究夫提出和研究. 从静从静态扩展到展到动态，与数量，与数量经济分析方法日益融合，分析方法日益融合，应用用领域不断域不断扩大大 .6.1 投入投入产出模型出模型背景背景建立静建立静态投入投入产出数学模型，出数学模型，讨论具体具体应用用. 投入投入产出表出表 国民国民经济各部各部门间生生产和消耗、投入和和消耗、投入和产出的数量关系出的数量关系 产出出投入投入农业工工业建筑建筑业运运输邮电批零批零餐餐饮其他其他服服务外部外部需求需求总产出出农业464788229131271312842918工工业4998

3、60514444035571223408316814建筑建筑业593202312426912875运运输邮电62527128163671464771570批零餐批零餐饮79749140431302739272341其他服其他服务146128527222521954227255414初始投入初始投入1663485165970312183093总投入投入2918168142875157023415414中国中国2002年投入年投入产出表（出表（产值单位：位：亿元）元） 直接消耗系数表直接消耗系数表 产出出投入投入农业工工业建筑建筑业运运输邮电批零餐批零餐饮其他服其他服务农业0.1590.0470.

4、0800.0080.0540.002工工业0.1710.5120.5020.2570.2380.226建筑建筑业0.0020.0010.0010.0130.0100.023运运输邮电0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐批零餐饮0.0270.0450.0490.0270.0560.050其他服其他服务0.0500.0760.0950.1430.0940.100一个部一个部门的的单位位产出出对各个部各个部门的直接消耗的直接消耗 中国中国2002年直接消耗系数表年直接消耗系数表 由投入由投入产出表直接得到出表直接得到 农业每每1亿元元产出直接消耗出直接消耗0.159亿元

5、元农业产品品 直接消耗直接消耗0.171亿元工元工业产品品 反映国民反映国民经济各个部各个部门之之间的投入的投入产出关系出关系投入投入产出的数学模型出的数学模型 xi第第i部部门的的总产出出di对第第i部部门的外部需求的外部需求xij第第i部部门对第第j部部门的投入的投入aij直接消耗系数直接消耗系数第第j部部门单位位产出出对第第i部部门的直接消耗的直接消耗 xij第第j部部门总产出出对第第i部部门的直接消耗的直接消耗每个部每个部门的的总产出等于出等于总投入投入 xj第第j部部门的的总投入投入 设共有共有n个部个部门技技术水平没有明水平没有明显提高提高模型模型应用用 假假设直接消耗系数不直接消

6、耗系数不变 问题1 如果某年如果某年对农业、工、工业、建筑、建筑业、运、运输邮电、批零餐、批零餐饮和其他服和其他服务的外部需求分的外部需求分别为1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000亿元元, 问这6个部个部门的的总产出分出分别应为多少？多少？d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T A由直接消耗系数表由直接消耗系数表给出出6个部个部门的的总产出出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（亿元）元）.求解求解模型模型应用用 总产出出对外部需求外部需求线性性dd增加增加1个个单位位 x的增量的增量若

7、若农业的外部需求增加的外部需求增加1单位位 x为 的第的第1列列 6个部个部门的的总产出分出分别增加增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位位. 问题2 如果如果6个部个部门的外部需求分的外部需求分别增加增加1个个单位位, 问它它们的的总产出出应分分别增加多少？增加多少？求解求解其余外部需求增加其余外部需求增加1单位位 x为 的其余各列的其余各列 6.2 CT技技术的的图像重建像重建 CT(计算机断算机断层成像成像 )技技术是是20世世纪50至至70年代由年代由美国科学家科美国科学家科马克和英国科学家豪斯克和英国科学家豪斯费尔德德发明的明的.

8、1971年第一代供年第一代供临床床应用的用的CT设备问世世. 螺旋式螺旋式CT机等新型机等新型设备被医被医疗机构普遍采用机构普遍采用. CT技技术在工在工业无无损探探测、资源勘探、生源勘探、生态监测等等领域也得到了广泛的域也得到了广泛的应用用. 背景背景什么是什么是CT，它与，它与传统的的X射射线成像有什么区成像有什么区别？ 光源光源人眼人眼光源光源人眼人眼一个半透明物体嵌入一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球个不同透明度的球 概念概念图示示 单方向方向观察无法确定察无法确定球的数目和透明度球的数目和透明度 让物体旋物体旋转从多角度从多角度观察能察能分辨出分辨出5个球及各自的透明度个球及各自的

9、透明度 人体内人体内脏胶胶片片 传统的的X射射线成像原理成像原理 CT技技术原理原理 探探测器器 X射射线X光光管管人体内人体内脏CT技技术: 在不同深度的断面上在不同深度的断面上,从各个角度用探从各个角度用探测器接器接收旋收旋转的的X光管光管发出、穿出、穿过人体而使人体而使强度衰减的射度衰减的射线;经过测量和量和计算将人体器官和算将人体器官和组织的影像重新构建的影像重新构建. 图像像重建重建 X射射线强度衰减与度衰减与图像重建的数学原理像重建的数学原理 射射线强度的衰减度的衰减率与率与强度成正比度成正比. I射射线强度度 l物物质在射在射线方向的厚度方向的厚度 物物质对射射线的衰减系数的衰减

10、系数 I0入射入射强度度 射射线沿直沿直线L穿行穿行, 穿穿过由由不同衰减系数的物不同衰减系数的物质组成的成的非均匀物体非均匀物体(人体器官人体器官).I0L0yx(x, y)X射射线强度衰减与度衰减与图像重建的数学原理像重建的数学原理 右端数右端数值可从可从CT 的的测量数据得到量数据得到 多条直多条直线L的的线积分分 被被积函数函数(x, y) FQ(q)与与Q相距相距q的直的直线L的的线积分分Pf(L)对所有所有q的平均的平均值 拉拉东变换 拉拉东逆逆变换 图像像重建重建反映人体器官大小、形状、密度的反映人体器官大小、形状、密度的图像像 数学数学原理原理实际上只能在有限条直上只能在有限条

11、直线上得到投影上得到投影(线积分分). 图像重建在数学方法上的像重建在数学方法上的进展，展，为CT技技术在各个在各个领域成功的和不断拓广的域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件用提供了必要条件. 图像重建的代数模型像重建的代数模型 lj每个像素每个像素对射射线的衰减系数是常数的衰减系数是常数 m个像素个像素(j=1, m), n束射束射线(i=1,n) Li的的强度度测量数据量数据 j像素像素j的衰减系数的衰减系数 lj射射线在像素在像素j中的穿行中的穿行长度度 J(Li)射射线Li穿穿过的像素的像素j的集合的集合 像素像素j 射射线LijLilij图像重建的代数模型像重建的代数模型 常用算法

12、常用算法 设像素的像素的边长和射和射线的的宽度均度均为 中心中心线法法 aij射射线Li的中心的中心线在像素在像素j内的内的长度度lij与与之比之比.面面积法法 aij射射线Li的中心的中心线在像素在像素j内的面内的面积sij与与之比之比.sij中心法中心法 aij=1射射线Li经过像素像素j的中心点的中心点.图像重建的代数模型像重建的代数模型 中心法的中心法的简化形式化形式 假定射假定射线的的宽度度为零零, 间距距 aij=1 Li经过像素像素j内任一点内任一点987654321L4L8L7L6L5L3L2L1根据根据A和和b, 由由 确定像素的衰减系数向量确定像素的衰减系数向量x m和和n

13、很大且很大且m n, 方程有无方程有无穷多解多解 + 测量量误差和噪声差和噪声 在在x和和e满足的最足的最优准准则下估下估计x 代数重建技代数重建技术(ART)6.3 原子原子弹爆炸的能量估爆炸的能量估计1945年年7月月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠戈多沙漠试爆了全球第一爆了全球第一颗原子原子弹, 震惊世界震惊世界!当当时资料是保密的料是保密的, 无法准确估无法准确估计爆炸的威力爆炸的威力.英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像像带, 利用数学模型估利用数学模型估计这次爆炸次爆炸释放的能量放的能量为19.2千

14、吨千吨. 后来公布爆炸后来公布爆炸实际释放的能量放的能量21千吨千吨 t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒泰勒测量：量： 时刻刻t

15、所所对应的的“蘑菇云蘑菇云”的半的半径径r原子原子弹爆炸的能量估爆炸的能量估计爆炸爆炸产生的冲生的冲击波以爆炸点波以爆炸点为中心呈球面向四周中心呈球面向四周传播播,爆炸的能量越大，在一定爆炸的能量越大，在一定时刻冲刻冲击波波传播得越播得越远. 冲冲击波由爆炸形成的波由爆炸形成的“蘑菇云蘑菇云”反映出来反映出来. 泰勒用量泰勒用量纲分析方法建立数学模型分析方法建立数学模型, 辅以小型以小型试验,又利用又利用测量数据量数据对爆炸的能量爆炸的能量进行估行估计.物物理理量量的的量量纲长度度 l 的量的量纲记 L=l质量量 m的量的量纲记 M=m时间 t 的量的量纲记 T=t动力学中力学中基本量基本量纲

16、 L, M, T速度速度 v 的量的量纲 v=LT-1导出量出量纲加速度加速度 a 的量的量纲 a=LT-2力力 f 的量的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量的量纲 k对无量无量纲量量 ， =1(=L0M0T0)量量纲齐次原次原则=fl2m-2=L3M-1T-2在在经验和和实验的基的基础上利用物理定律的量上利用物理定律的量纲齐次原次原则,确定各物理量之确定各物理量之间的关系的关系. 量量纲齐次原次原则等式两端的量等式两端的量纲一致一致量量纲分析分析利用量利用量纲齐次原次原则寻求物理量之求物理量之间的关系的关系.例：例：单摆运运动lmgm求求摆动周期周期 t 的表达式的表达式设物理量

17、物理量 t, m, l, g 之之间有关系式有关系式 1, 2, 3 为待定系数，待定系数， 为无量无量纲量量 (1)的量的量纲表达式表达式与与 对比比对 x,y,z的两的两组量量测值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )为什么假什么假设这种形式种形式?设p= f(x,y,z)x,y,z的量的量纲单位位缩小小a,b,c倍倍p= f(x,y,z)的形式的形式为量量纲齐次原次原则单摆运运动单摆运运动中中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式y1y4 为待定常数待定常数, 为无量无量纲量量基本解基本解设 f(q

18、1, q2, , qm) = 0 ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未未定定.Pi定理定理 (Buckingham)是与量是与量纲单位无关的物理定律，位无关的物理定律，X1,X2, Xn 是是基本量基本量纲, n m, q1, q2, qm 的量的量纲可表可表为量量纲矩矩阵记作作线性性齐次方程次方程组有有 m-r 个基本解，个基本解，记作作为m-r 个相互独立的无量个相互独立的无量纲量量, 且且则记爆炸能量爆炸能量为E，将，将“蘑菇云蘑菇云”近似看成一个球近

19、似看成一个球形形.时时刻刻 t 球的半径球的半径为为 rt, E空气密度空气密度, 大气大气压强P基本量基本量纲：L, M, T 原子原子弹爆炸能量估爆炸能量估计的量的量纲分析方法建模分析方法建模 r与哪些因素有关？与哪些因素有关？ r t E P LMT量量纲矩矩阵 y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0) y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子原子弹爆炸能量估爆炸能量估计的量的量纲分析方法建模分析方法建模 有有2个基本解个基本解两个无两个无量量纲量量原子原子弹爆炸能量估爆炸能量估计的数的数值计算算时间 t 非常短非常短能量能量 E 非常大非常大 泰勒泰勒根据一些小型爆炸根据一些

20、小型爆炸试验的数据建的数据建议用用r, t 的的实际数据做平均数据做平均空气密度空气密度 =1.25 (kg/m3) 1千吨千吨(TNT能量能量)= 4.184*1012焦焦尔 E=19.7957 (千吨千吨)E=8.28251013(焦耳焦耳)实际值21千吨千吨 泰勒的泰勒的计算算tr最小二乘法最小二乘法拟合合 r=atbE=8.02761013 (焦耳焦耳)即即19.2千吨千吨 取取y平均平均值得得c=6.9038 模型模型检验b=0.40582/5量量纲分析法的分析法的评注注 物理量的物理量的选取取 基本量基本量纲的的选取取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性果的局限性 () = 0

21、中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的.基本量基本量纲个数个数n; 选哪些基本量哪些基本量纲.有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解. 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量和无量纲量未定量未定.不需要特定的不需要特定的专业知知识.物理模物理模拟示例：示例：波浪波浪对航船的阻力航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g .量量纲分析在物理模分析在物理模拟中的中的应用用 物理模物理模拟: 按照一定的比例尺寸构造它的物理模型按照一定的比例尺寸构造它的物理模型,通通过对

22、模型的研究得出原型的模型的研究得出原型的结果果.量量纲分析可以指分析可以指导物理模物理模拟中比例尺寸的确定中比例尺寸的确定. 物理模物理模拟示例：示例：波浪波浪对航船的阻力航船的阻力定理定理 原型船原型船模型船模型船 模型船的模型船的 均已均已知知 当原型船的当原型船的 给定后定后计算算 f物理物理模模拟物理模物理模拟示例：示例：波浪波浪对航船的阻力航船的阻力原原型型船船模模型型船船模模拟条件条件量量测模型船阻力模型船阻力f，可，可计算算 f. 按一定尺寸比例建造按一定尺寸比例建造模型船模型船, 并并调节船速船速.无量无量纲化示例：火箭化示例：火箭发射射m1m2xrv0g星球表面星球表面竖直直

23、发射火箭。初速射火箭。初速v, 星星球半径球半径r, 星球表面重力加速度星球表面重力加速度g.研究火箭高度研究火箭高度 x 随随时间 t 的的变化化规律律.t=0 时 x=0, 火箭火箭质量量m1, 星球星球质量量m2牛牛顿第二定律，万有引力定律第二定律，万有引力定律3个独立参数个独立参数用无量用无量纲化方法减少独立参数个数化方法减少独立参数个数x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2变量量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的量的量纲用用参数参数r,v,g的的组合合, ,分分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量量纲的的xc, tc （特征尺度）（特征尺度）无量无量

24、纲变量量如如利用新利用新变量量将被将被简化化令令 xc, tc的不同构造的不同构造1）令 为无量无量纲量量用无量用无量纲化方法减少独立参数个数化方法减少独立参数个数的不同的不同简化化结果果3）令 为无量无量纲量量2）令 为无量无量纲量量用无量用无量纲化方法减少独立参数个数化方法减少独立参数个数1) 2) 3) 的共同点的共同点只含只含1个参数个参数无量无量纲量量 解解1) 2) 3) 的重要差的重要差别考察无量考察无量纲量量在在1) 2) 3) 中能否忽略以中能否忽略以 为因子的因子的项？1)忽略忽略 项无解无解不能忽略不能忽略 项无量无量纲化方法化方法2)3)忽略忽略 项不能忽略不能忽略 项

25、忽略忽略 项1) 2) 3) 的重要差的重要差别无量无量纲化方法化方法火箭火箭发射射过程程中引力中引力m1g不不变 即即 x+r r原原问题可以忽略可以忽略 项是原是原问题的近似解的近似解1) 2) 3) 的重要差的重要差别无量无量纲化方法化方法为什么什么3)能忽略能忽略 项，得到原，得到原问题近似解，而近似解，而1) 2)不能不能?1）令）令2）令）令3）令）令火箭到达最高点火箭到达最高点时间为v/g, 高度高度为v2/2g,大体上具有大体上具有单位尺度位尺度项可以忽略可以忽略项不能忽略不能忽略无量无量纲化方法化方法 选择特征尺度的一般特征尺度的一般讨论见：林家林家翘著著自然科学中确定性自然

26、科学中确定性问题的的应用数学用数学无无 量量 纲 化化 无量无量纲化化是研究物理是研究物理问题常用的数学方法常用的数学方法. 选择特征尺度特征尺度主要依主要依赖于物理知于物理知识和和经验. 恰当地恰当地选择特征尺度可以减少独立参数特征尺度可以减少独立参数个数，个数，还可以可以辅助确定舍弃哪些次要因素助确定舍弃哪些次要因素.6.4 市市场经济中的蛛网模型中的蛛网模型问 题供大于求供大于求现象象 商品数量与价格的振商品数量与价格的振荡在什么条件下在什么条件下趋向向稳定定? 当不当不稳定定时政府能采取什么干政府能采取什么干预手段使之手段使之稳定定?价格下降价格下降减少减少产量量增加增加产量量价格上价

27、格上涨供不供不应求求 描述商品数量与价格的描述商品数量与价格的变化化规律律.商品数量与价格在振商品数量与价格在振荡蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0xk第第k时段商品数量；段商品数量；yk第第k时段商品价格段商品价格.消消费者的需求关系者的需求关系生生产者的供者的供应关系关系减函数减函数增函数增函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 供供应函数函数xy0fgy0x0P0设x1偏离偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是是稳定平衡点定平衡点P1P

28、2P3P4P0是不是不稳定平衡点定平衡点xy0y0x0P0fg 曲曲线斜率斜率蛛蛛 网网 模模 型型 在在P0点附近用直点附近用直线近似曲近似曲线P0稳定定P0不不稳定定方方 程程 模模 型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致 商品数量减少商品数量减少1单位位, 价格上价格上涨幅度幅度 价格上价格上涨1单位位, (下下时段段)供供应的增量的增量考察考察 , 的含的含义 消消费者者对需求的敏感程度需求的敏感程度 生生产者者对价格的敏感程度价格的敏感程度 小小, 有利于有利于经济稳定定 小小, 有利于有利于经济稳定定结果解果解释xk第第k时段商品数量；段商品数量；yk第第k时段商品价

29、格段商品价格.经济稳定定结果解果解释经济不不稳定定时政府的干政府的干预办法法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠靠经济实力控制数量不力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解果解释需求曲需求曲线变为水平水平供供应曲曲线变为竖直直模型的推广模型的推广 生生产者根据当前者根据当前时段和前一段和前一时段段 的价格决定下一的价格决定下一时段的段的产量量.生生产者管理水平提高者管理水平提高设供供应函数函数为需求函数不需求函数不变二二阶线性常系数差分方程性常系数差分方程x0为平衡点平衡点研究平衡点研究平衡点稳定，即

30、定，即k, xkx0的条件的条件方程通解方程通解(c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 平衡点平衡点稳定，即定，即k, xkx0的条件的条件:平衡点平衡点稳定条件定条件比原来的条件比原来的条件 放放宽了了!模型的推广模型的推广6.5 减肥减肥计划划节食与运食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目多数减肥食品达不到减肥目标，或不能，或不能维持持. 通通过控制控制饮食和适当的运食和适当的运动，在不，在不伤害身体害身体 的前提下，达到减的前提下，达到减轻体重并体重并维持下去的目持下去的目标.分分析析 体重体重变化由体内能量守恒破坏引起化由体内能

31、量守恒破坏引起. 饮食（吸收食（吸收热量）引起体重增加量）引起体重增加. 代代谢和运和运动（消耗（消耗热量）引起体重减少量）引起体重减少. 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假模型假设1）体重增加正比于吸收的）体重增加正比于吸收的热量量每每8000千卡千卡 增加体重增加体重1千克；千克；2）代）代谢引起的体重减少正比于体重引起的体重减少正比于体重每周每千克每周每千克 体重消耗体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异), 相当于相当于70 千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千

32、卡；3）运）运动引起的体重减少正比于体重，且与运引起的体重减少正比于体重，且与运动形式形式 有关；有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克千克, 每周吸收每周吸收热量不要小于量不要小于10000千卡千卡.某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡千卡热量，量，体重体重维持不持不变。现欲减肥至欲减肥至75千克千克.第一第一阶段：每周减肥段：每周减肥1千克，每周吸收千克，每周吸收热量逐量逐渐减少减少,直至达到下限（直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二第二阶段：每周吸收段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目量保持下

33、限，减肥达到目标. 2）若要加快）若要加快进程，第二程，第二阶段增加运段增加运动，试安排安排计划划.1）在不运）在不运动的情况下安排一个两的情况下安排一个两阶段段计划划.减肥减肥计划划3）给出达到目出达到目标后后维持体重的方案持体重的方案. 确定某甲的代确定某甲的代谢消耗系数消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)体重体重c(k) 第第k周吸收周吸收热量量 代代谢消耗系数消耗系数(因人而异因人而异)1）不运）不运动情况的两情况的两阶段减肥段减肥计划划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不千克不

34、变 =1/8000(千克千克/千卡千卡) 第一第一阶段段: w(k)每周减每周减1千克千克, c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡第一第一阶段段10周周, 每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克吸收吸收热量量为1）不运）不运动情况的两情况的两阶段减肥段减肥计划划 第二第二阶段：每周段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克1）不运）不运动情况的两情况的两阶段减肥段减肥计划划基本模型基本模型 第二第二阶段：每周段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克第二第二阶段段19周周, 每周吸收每周吸收热量保持量保持10000千卡千卡, 体

35、重按体重按 减少至减少至75千克千克.运运动 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小小时或自行或自行车10小小时), 14周即可周即可.2）第二）第二阶段增加运段增加运动的减肥的减肥计划划根据根据资料每小料每小时每公斤体重消耗的每公斤体重消耗的热量量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓 自行自行车(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运每周运动时间(小小时)模型模型)() 1()() 1(kwkckwkw - -+ + += =+ +t + += = 取取t=0.003, 即即 t=24 =1/8000(千克千克/千卡千卡), =0.02514=

36、n增加运增加运动相当于提高代相当于提高代谢消耗系数消耗系数 2）第二）第二阶段增加运段增加运动的减肥的减肥计划划提高提高12%减肥所需减肥所需时间从从19周降至周降至14周周减少减少25% 这个模型的个模型的结果果对代代谢消耗系数消耗系数 很敏感很敏感. 应用用该模型模型时要仔要仔细确定代确定代谢消耗系数消耗系数 (对不同的人不同的人; 对同一人在不同的同一人在不同的环境境).3）达到目）达到目标体重体重75千克后千克后维持不持不变的方案的方案每周吸收每周吸收热量量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不不变 不运不运动 运运动(内容同前内容同前)6.6 按年按年龄分分组的种群增的种

37、群增长 不同年不同年龄组的繁殖率和死亡率不同的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增定状况下种群的增长规律律.假假设与建模与建模 种群按年种群按年龄大小等分大小等分为n个年个年龄组，记i=1,2,n 时间离散离散为时段，段，长度与年度与年龄组区区间相等，相等，记k=1,2, 以雌性个体数量以雌性个体数量为对象象. 第第i 年年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的段内的繁殖率繁殖率为bi 第第i 年年龄组在在1时段内的死亡率段内的死亡率为di, 存活率存活率为si=1- di假假设与与建模建模xi(k)时段段k第第i 年年龄组的种群数量的种群数量按年按年龄

38、组的分布向量的分布向量预测任意任意时段种群段种群按年按年龄组的分布的分布Leslie矩矩阵(L矩矩阵)(设至少至少1个个bi0)稳态分析分析k充分大充分大种群按年种群按年龄组的分布的分布 种群按年种群按年龄组的分布的分布趋向向稳定，定，x*称称稳定分布定分布, 与初始分布无关。与初始分布无关。 各年各年龄组种群数量按同一种群数量按同一倍数增减，倍数增减， 称固有增称固有增长率率与基本模型与基本模型比比较3） =1时 各年各年龄组种群种群数量不数量不变 1个个体在整个存活期个个体在整个存活期 内的繁殖数量内的繁殖数量为1稳态分析分析存活率存活率 si是同一是同一时段的段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定的定义 比比较） 3） =1时人口模型人口模型连续型人口模型的离散形式型人口模型的离散形式xi(k)k年年i 岁的女性人数的女性人数(模型只考模型只考虑女性人口女性人口).bi(k)k年年i 岁女性生育率女性生育率(每人平均生育女儿数每人平均生育女儿数).dii 岁女性死亡率，女性死亡率，si=1-di存活率存活率i1, i2生育区生育区间k年育年育龄女性平均生育女儿数女性平均生育女儿数总合生育率合生育率(生育胎次生育胎次)年年龄分布向量分布向量hi生育模式生育模式