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1、第第5章章 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换The Discrete-time Fourier Transform1. 离散时间傅立叶变换；离散时间傅立叶变换；2. 常用信号的离散时间傅立叶变换对常用信号的离散时间傅立叶变换对; ;4. 傅立叶变换的性质；傅立叶变换的性质；1信号与系统离散时间傅立叶变换v注释注释: :CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅立叶级数连续时间傅立叶级数DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅立叶级数离散时间傅立叶级数CTFT ( The Conti
2、nuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换2信号与系统离散时间傅立叶变换 5.0 引言引言 Introductionv 本章将采用与讨论本章将采用与讨论CTFTCTFT完全相同的思想方法，来研究离完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。散时间非周期信号的频域分解问题。v DFS DFS与与CFSCFS之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：主要是主要
3、是DFSDFS是一个有限项级数，其系数是一个有限项级数，其系数 ak 具有周期性。具有周期性。v 在采用相同方法研究如何从在采用相同方法研究如何从 DFS DFS 引出离散时间非周期信引出离散时间非周期信号的频域描述时，可以看到，号的频域描述时，可以看到，DTFTDTFT与与CTFTCTFT既有许多相类似既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的的地方，也同时存在一些重要的区别。区别。v 抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。深对频域分析方法的理解具有重要意义。3信号与系统离散时间傅立叶变换5.1 非
4、周期信号的表示非周期信号的表示一一. 从从DFS到到DTFT:回顾：周期离散信号的回顾：周期离散信号的DFSDFS对周期信号对周期信号 由由DFS有有-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 4 5 8 9 10 kNak-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nx n4信号与系统离散时间傅立叶变换考察脉冲宽度不变，周期考察脉冲宽度不变，周期N增大时增大时Nak变化情况变化情况5信号与系统离散时间傅立叶变换当当 时，有时，有 ，将导致信号的频谱无，将导致信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。限密集，最终成为连续频谱。 从时域看，从时
5、域看，当周期信号的周期当周期信号的周期 时，时，周期序列周期序列就变成了一个非周期的序列。因此，对一个非周期信就变成了一个非周期的序列。因此，对一个非周期信号，频谱应该是一个连续的频谱。号，频谱应该是一个连续的频谱。 当当 时时 令令说明说明: :显然显然对对是以是以为周期的。为周期的。DTFT有有: :数学推导：数学推导：6信号与系统离散时间傅立叶变换 当当 在一个周期范围内变化时，在一个周期范围内变化时， 在在 范围范围变化，所以积分区间是变化，所以积分区间是 。将其与将其与 表达式比较有表达式比较有当当时时于是于是: :7信号与系统离散时间傅立叶变换 表明表明: :离散时间序列可以分解为
6、频率在离散时间序列可以分解为频率在2区间上区间上分布的、幅度为分布的、幅度为 的复指数分量的的复指数分量的线性组合。线性组合。 DTFTDTFT变换对：变换对：8信号与系统离散时间傅立叶变换-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nx n - 0 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 4 5 8 9 10 kNak-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nDFSDTFT9信号与系统离散时间傅立叶变换 二二. .常用信号的离散时间傅立叶变换常用信号的离散时间傅立叶变换通常通常 是复函数，用它的模和相位表示是复函数，用它的模和相位表示: :1.10信号与系统离散时间傅立
7、叶变换摆动指数衰减摆动指数衰减单调指数衰减单调指数衰减11信号与系统离散时间傅立叶变换2.可以得出结论可以得出结论: :实偶序列实偶序列实偶函数实偶函数12信号与系统离散时间傅立叶变换3.矩形脉冲矩形脉冲: :当当时，可得到时，可得到: :有同样的结论有同样的结论: :实偶信号实偶信号实偶函数实偶函数13信号与系统离散时间傅立叶变换A.A.与对应的周期信号比较与对应的周期信号比较显然有显然有B B. .与对应的连续时间信号比较与对应的连续时间信号比较14信号与系统离散时间傅立叶变换4.15信号与系统离散时间傅立叶变换5.3 离散时间傅立叶变换的性质离散时间傅立叶变换的性质 DTFT也有很多与也
8、有很多与CTFT类似的性质，当然也有类似的性质，当然也有某些明显的差别。某些明显的差别。一、周期性一、周期性 (periodic)：比较：比较：这是与这是与CTFT不同的。不同的。则则若若16信号与系统离散时间傅立叶变换二二. 线性线性 三三. 时移与频移时移与频移若若则：则：时移特性时移特性频移特性频移特性四四. 时域反转时域反转 若若则则以下这些性质与连续时间情况下完全一致：以下这些性质与连续时间情况下完全一致：信号与系统离散时间傅立叶变换六六. 差分特性差分特性DTFT的差分性质对应于的差分性质对应于CTFT的微分性质的微分性质五五. . 共轭对称性共轭对称性若若则则1.1.是实信号，则
9、是实信号，则2.2.是实偶信号，则是实偶信号，则是实偶函数是实偶函数: :3.3.是实奇信号，则是实奇信号，则是虚奇函数是虚奇函数: :18信号与系统离散时间傅立叶变换七七. 时域内插时域内插 ( Interplation ):定义定义为为的整数倍的整数倍其他其他19信号与系统离散时间傅立叶变换八八. . Parseval定理定理: :称为称为的的能量谱密度函数。能量谱密度函数。比较比较: :在在DFS中有中有称为周期信号的称为周期信号的功率谱。功率谱。20信号与系统离散时间傅立叶变换5.4 卷积特性卷积特性若若则则说明：说明：该特性提供了对该特性提供了对LTI系统进行频域分析系统进行频域分析
10、的理论基础。的理论基础。即是即是系统的频率特性系统的频率特性。21信号与系统离散时间傅立叶变换5.5 相乘性质相乘性质（The Multiplication Property)由于由于 和和 都是以都是以 为周期的，为周期的，因此上述卷积称为因此上述卷积称为周期卷积周期卷积。如果如果则则22信号与系统离散时间傅立叶变换5.9 小结小结 Summaryv通过对通过对DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在CTFT中都有相对应的结论，而且它们也中都有相对应的结论，而且它们也存在存在一些一
11、些重要的差别，例如重要的差别，例如DTFT总是以总是以2为周期的。为周期的。v本章与第本章与第4章平行地讨论了章平行地讨论了DTFT，讨论的基本，讨论的基本思路和方法与第思路和方法与第4章完全对应，得到的许多结论章完全对应，得到的许多结论也很类似。也很类似。23信号与系统离散时间傅立叶变换时域的连续性时域的连续性可以看出：信号在时域的特性和在频域的可以看出：信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系：特性之间存在以下对应关系：时域的周期性时域的周期性时域的离散性时域的离散性时域的非周期性时域的非周期性频域的离散性频域的离散性频域的连续性频域的连续性频域的周期性频域的周期性频域的非周期性频域的非周期性这些对应关系一定要记住这些对应关系一定要记住24信号与系统离散时间傅立叶变换
