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1、场的量子化及其状的量子化及其状态的描述改的描述改1激光物理研激光物理研究生究生9.2 电磁辐射场的量子化 研究辐射场的量子化不必牵涉电磁相互作用，因而只需考虑真空无源区的自由辐射场。在开式的真空腔中，电磁场满足以下Maxwell 方程组（ 是真空光速） 9.2.1 单模辐射场的量子化选择Cartesian坐标系，使得单模辐射场沿z轴传播，电场振动方向（即偏振方向）在x轴方向上，则E=(Ex, 0, 0)，磁场振动方向在y轴上H=(0, Hy, 0)，假定电磁场处于两镜腔内，沿x、y轴方向变化可忽略不计，则腔中单模电磁场的波动方程为可用分离变量法求解以上方程，可得到即有A为振幅，为初相，k为波矢
2、，=kc为角频率。单模场处于两镜腔内，满足驻波条件(9-1)其中V=LS为腔体体积，L为谐振腔的长度，S为谐振腔的横截面积，M为归一化因子（具有质量量纲）定义单模电磁场的广义坐标(具有长度量纲)则方程(9-1)可以表达为(9-2)(9-3)显然广义坐标Q(t)满足如下谐振子方程另一方面，由Maxwell方程 和H=(0, Hy, 0)有：故将(9-3)式代入上式，得到利用上式可以写成9-4引入场的广义动量（具有动量量纲）光腔体积内的电磁场能量为利用(9-4)和(9-5)两式，得到(9-5)(9-6)(9-7)将(9-3)和(9-6)式代入上式，利用驻波条件得因此电磁场的哈密顿量为：这跟质量为M
3、、频率为的简谐振子的哈密顿量相同。把Q(t)看作广义坐标，把P(t)看作广义动量。9.2.2 电磁场的量子化在场的量子化中，把经典的广义坐标广义动量共轭对Q和P换成对应的算符，且让它们满足以下对易关系：(9-8)引入新的算符或相应的有：(9-9)(9-10)(9-11)、9-2-18将(9-11)和(9-8)式，电磁场的Hamiltonian算符为于是电磁场算符可以表达为：(9-12)、9-2-25(9-2-24)并且存在着如下对易关系并且存在着如下对易关系 的本征值的本征值En表示表示 的本征值，的本征值，|n表示属于这一本征值的本征表示属于这一本征值的本征态，则态，则将将 作用到态作用到态
4、 上，利用（上，利用（9-13），得：），得：(9-13)(9-14)2024/8/213将将 作用到态作用到态 上，利用（上，利用（9-13），得：），得：可见，如果可见，如果|n为为 的本征态，则的本征态，则 ， .也是也是 的本征态，其本征值为的本征态，其本征值为 ，即，若即，若En是是 的本征值，则的本征值，则 也是也是 的本征值。的本征值。如果把能量如果把能量 看成为一个简谐振子量子所具有的看成为一个简谐振子量子所具有的 能能量，则算符量，则算符 的作用是减少一个简谐振子量子，使能的作用是减少一个简谐振子量子，使能量本征值为量本征值为En的态变为能量本征值为的态变为能量本征值为 的态
5、。的态。(9-15)算符算符 称为称为湮灭算符，同理，对算符湮灭算符，同理，对算符 有有算符算符 称为产生算符称为产生算符粒子数算符粒子数算符9.1.2 能量本征值（粒子数算符的本征值）则必然有n0，且当n=0时，有 这是因为引引理理1 若粒子数算符的本征值和本征态分别用n和|n表示，即有 的最小本征值的最小本征值设最低能量本征态为设最低能量本征态为|0,相应的本征值为相应的本征值为E0，则应满足，则应满足所以所以可知可知 的本征值谱为的本征值谱为(9-16)9-1-172024/8/217由于粒子数算符的本征值为非负整数，于是一维谐振子的能量是以一维谐振子的能量是以为单位增减的，即能量是为单
6、位增减的，即能量是一份一份的组成的，每一份能量大小为一份一份的组成的，每一份能量大小为，我们称，我们称每一份这样的能量单元为一个能量量子（光子）每一份这样的能量单元为一个能量量子（光子）粒子数算符即是能量量子数算符，其本征值粒子数算符即是能量量子数算符，其本征值n对应对应能量量子数，本征态能量量子数，本征态|n对应能量量子数为对应能量量子数为n的量子的量子态。当态。当 n=0时，谐振子的能量不为时，谐振子的能量不为0，即谐振子存在，即谐振子存在基态能量基态能量湮灭（产生）算符每作用于能量本征态湮灭（产生）算符每作用于能量本征态|n一次，能一次，能量量子数量量子数n就会减少（增加）一个。因此它代
7、表湮灭就会减少（增加）一个。因此它代表湮灭（产生）一个粒子（能量量子）的算符。（产生）一个粒子（能量量子）的算符。9.1.3 能量本征态将本征态归一化=1，可求出它的一些表达式。一方面，粒子数算符的本征方程满足另一方面，前面已经给出因此有其中常系数 和 根据归一化关系求出 于是根据以上递推公式，有于是得到(9-17)(9-18)9-1-21作为代表物理可观测量的厄米算符，粒子数算符的本征态（也即能量算符的本征态）满足正交归一和完备性关系，即因此本征态集合|n可以构成态矢量空间中的一组基矢，任意量子态可以用它展开。由于|n代表粒子数为n的量子态，由基矢|n构成的表象，称为粒子数表象或占有数表象，
8、又称作Fock空间表象。(9-19)于是，对于电磁场我们有(n=1, 2, 3)：电磁场的能量是离散化的，即能量是一份一份的组成电磁场的能量是离散化的，即能量是一份一份的组成的，每一份能量大小为的，每一份能量大小为 ，我们称每一份这样的能，我们称每一份这样的能量单元为电磁场的场量子，即光子。量单元为电磁场的场量子，即光子。粒子数算符即是光子数算符，其本征值粒子数算符即是光子数算符，其本征值n对应场所包对应场所包含的光子数，本征态含的光子数，本征态|n对应光子数为对应光子数为n的场量子态。的场量子态。当光子数当光子数n=0时，场的能量不为时，场的能量不为0，即场存在真空涨落，即场存在真空涨落所产
9、生的所产生的“零点能零点能” （又称为场的基态能量）（又称为场的基态能量） ，它，它是产生自发辐射的物理根源。是产生自发辐射的物理根源。湮灭湮灭/产生算符代表湮灭产生算符代表湮灭/产生一个光子的算符。产生一个光子的算符。由于光子数本征态是正交归一的，可以用集合|n, n=0, 1, 2构成一个正交归一的基矢量组（称为光子数表象），一般的量子态|可以用这组基矢展开，展开的系数构成一个列矩阵，称为|在光子数表象下的矩阵表示。同理，任意一个算符 在光子数表象下存在矩阵表示,矩阵元为 利用|n的正交归一性，以及可知在光子数表象下，有光子数算符在自身表象中自然是对角矩阵，对角元为它的本征值在粒子数本征态
10、下，电场强度的平均值为即此时电场相位是完全随机的（电场矢量方向各向同性）。光强的平均值为光子数为零时，存在电磁场的真空起伏（起伏的平均值为零），使得光强不为零。 表示n个光子的光强，因此 表示单模场中一个光子的光强，而 为一个光子的光场振幅。在这里，虽然是针对谐振腔中的单模电磁场进行量子化，对于自由空间中的电磁场量子化也适用。无限大自由空间，可以看作是V时的情形，其中的归一化称为箱归一化。9.2.2 多模电磁场的量子化前面已经讲述单模电磁场的量子化。多模电磁场对应多个不同频率的单模电磁场的叠加，它是Maxwell方程组的一般解。因此在与前面相同的条件下，多模电磁场可以表达为：其中s=1, 2,
11、，而是第s个模（纵模）的广义坐标和广义动量是第s模的单模电磁场， 是第s模的本征角频率， 是第s模的波数矢量的z分量。多模电磁场的Hamiltonian对应所有单模电磁场的Hamiltonian之和：其中 为第s模的Hamiltonian量子化之后，经典力学量换成对应的算符，由此得到多模电磁场的Hamiltonian算符为：其中 为第s模的Hamiltonian算符：广义坐标算符与广义动量算符满足以下对易关系：与单模电磁场相似，引入光子的湮灭算符和产生算符分别如下：根据坐标算符与动量算符之间的对易关系，可以求得：倒过来有：把上式代入多模电磁场的Hamiltonian算符表达式，并利用产生算符和
12、湮灭算符满足的对易关系，可得到：其中：用 表示第s模的粒子数算符本征态，则有对于多模辐射场，假设第s个模中有ns个光子（s=1,2,，ns=0,1,2），则粒子数算符的本征态矢可以写成所有单模本征态矢的张量积（并式矢）则有利用上式可得即多模电磁场的总能量等于各个单模能量之和。第s模的产生和湮灭算符只对第s模的本征态作用，故有利用单模本征态的正交归一关系和完备性关系，可以得到多模本征态的正交归一和完备性关系如下：因此可以用多模本征态构成的基矢量组张成一个Fock空间（粒子数占有表象），电磁场的任意一个量子状态矢量|可以用这组基矢展开，展开系数构成的列矩阵，称为|在该Fock空间中的表示。具体地，
13、有展开系数模的平方表示在态|中，在第1模中找到n1个光子、且在第2模中找到n2个光子、且在第s模中找到ns个光子的概率。电磁场算符为与单模类似，我们有多模场的真空态指的是多模场中的每一个模都没有光子，n1=n2=ns=0，显然真空态的零点能为各个模的零点能之和：同理，在真空态下，电场场强的平均值为零，而它的平方（对应光强）的平均值不为零对空间取平均，即得到多模场的零点起伏光子数为零的电磁场基态，虽然存在零点涨落，但不足以引起原子吸收一个光子而从低能级向上一能级跃迁的（实）过程发生（违背能量守恒，真空能量不为零），但是可以引起能量守恒的自发辐射发生。在在前前面面讨讨论论电电磁磁辐辐射射场场的的量
14、量子子化化中中，粒粒子子数数算算符符是是Hermitian算算符符，其其本本征征值值n（粒粒子子数数）对对应应物物理理上上的的可可观观测测量量，其其本本征征态态|n对对应应光光子子数数为为n的的量量子子态态。由由于于光光子子数数与与场场振振幅幅的的平平方方成成正正比比，|n仅仅反反映映量量子子化化电电磁磁场场的的振振幅幅方方面面的的信信息息。但但是是要要了了解解一一个个波波场场的的全全部部信信息息，得得知知道道它它的的频频率率、振振幅幅和和相相位位（初初相相）。因因此此，下下面面将将研研究究与与量量子子化电磁场的相位对应的位相算符及其特性。化电磁场的相位对应的位相算符及其特性。9.3 单模位相
15、态与单模光子数态9.3.1 位相算符的引入初相算符（位相算符）由湮灭算符来定义：(9-20)9-3-2由上式可得：(9-21)9-3-1由于由于 和和 一样不是厄米算符，不能作为场一样不是厄米算符，不能作为场的可观察量。的可观察量。注意到：注意到：有有(9-22)(9-23)因此，通常把该算符的余弦函数和正弦函数取作位相算符（显然它们都是厄米的）(9-24)因为（h.c.表示前一项的厄米共轭）在粒子数表象下，其矩阵形式为利用不难验证因此，粒子数算符与位相算符是不对易的，二者没有共同的本征态。例如当场处于粒子态|n时，就不可能处于某个确定的位相态，从而当粒子数具有确定值n时（也即场的振幅有确定大
16、小时），场所处在的相位就完全不确定，反之亦然。因此，量子化场的粒子数（振幅）与相位不能同时确定。一般地，按照量子力学理论，若算符满足关系 ，则有测不准关系其中A和B是相应力学量算符的均方根误差力学量算符的均方根误差，是量子涨落产生的偏差，使得力学量的测量值偏离平均值。这种误差不是由于测量设备或测量人员造成的，而是自然界本身内在的随机性造成的。由此可以算出量子化场的粒子数（振幅）与相位之间存在以下测不准关系上式表明，粒子数（场振幅）越确定，测量值越准确（即偏差越小），则场的相位就越不准确，测量值偏差就越大，反之亦然。量子化场的振幅与相位不能同时确定，这是量子化电磁场与经典电磁场之间的又一个重要区
17、别。9.3.2 位相算符的本征态位相态不难验证，前面定义的两个位相算符不对易因此二者没有共同的本征态。不过，上式左端仅有一个矩阵元不为零：其他的无穷多个矩阵元皆为零。因此，从极限意义上考虑，两个位相算符具有同一本征态是可能的。考虑到在经典电磁场中，相位是一个单一的变量，不必分为cos和sin等两种表达形式，因此不必用两个不同的量子力学算符的本征态来表示位相态。为此，定义位相态其中(S+1)-1/2是归一化系数。上式右端展开系数模的平方都相等，故在位相态上（相位是确定的），包含各种可能的光子数的几率均相等，即光子数是完全不确定的。位相态满足正交归一关系，例如可以证明，这样定义的位相态同时是两种位
18、相算符的本征态（证明从略，可参考教材第173-174页），即有从而有此结果仅在S+时（即光子数趋于无穷大时，过渡到经典力学）成立。9.3.3 单模光子数态|n对量子化辐射场，场的粒子数与位相在同一态中不能同时具有确定值。将光子算符 的本征态|n称为单模光子数态下面计算辐射场处于单模光子数态|n时，光子数及位相的不确定量（均方偏差）。粒子数算符这是显然的，因为按照量子力学，力学量算符在它的本征态下测量，必有确定值。但是对于位相算符，考虑到可验证因此，当光场处于|n态且n0时，有考 虑 到 （ n0） ， cos2在=02时的平均值为即当电磁场处于|n态（n0）时，其光子数（因而最大振幅）有确定值
19、，而相位可以取02之间的任意值。下图表示单模光子数态|n的振荡电场是时间的函数（单模下每个正弦波的振荡频率都一样），最大振幅是确定的，但相位在02之间完全随机分布，即相位是混乱的，完全不确定的。对于单模光子数态|n，电场算符的期望值为：上图中电磁波（最大）振幅可定量地表示为场的强度的期望值为：电磁场在波动过程中，某一固定位置处的振幅大小（电场矢量大小）在0和最大值E0之间周期性地变化着，因此电场强度的均方根偏差为当然，当电磁场处于|n态时，它的最大振幅是确定的。此时它的相位是完全不确定的，具有在0, 2范围内随机分布的相位的正弦波，平均值为零，而正弦波的最大振幅（对应光强或者光子数）是确定的。
20、9.3.4 单模位相态位相算符的本征态|称为单模位相态。在单模位相态|下，前面已经表明，位相算符的不确定量在S时为零，即单模位相态的相位是完全确定的但是光子数是不确定的，即有由此得到因此在单模位相态|下，光子数的平均值和不确定量均为无穷大，而相对偏差为是一个有限的确定值上面的结果说明，当光场处于单模相位态时，与处于单模光子数态的情形刚好相反，此时电磁场具有完全确定的相位，而具有完全不确定的光子数。下图描述了这种情况单模位相态的光场随时间变化的情况，相位完全确定，振幅在0之间变化，因而完全不确定前面的结果表明，由于光子数算符与位相算符之间不对易，量子化的电磁场的振幅与相位不能同时确定。在光子数态
21、|n下，振幅完全确定而相位完全不确定；在位相态|下，相位完全确定而振幅完全不确定。因此这两种态属于两个极端情形。对于电磁场，通常我们既需要了解一定的振幅信息，也同时需要了解一定的相位信息。下面给出的相干态就能满足这一点。9.4.1 相干态的定义相干态存在多种等价定义，下面把相干态定义为湮灭算符的本征态|表示相干态，为本征值。由于湮灭算符不是厄米算符，因此“本征值是实数”和“本征矢是正交和完备的”这些定理不再适用。因此本征值可以为任意复数，即9.4 相干态9.4.19.4.2为了讨论相干态的性质，利用粒子数态的完备性，将相干态用粒子数态展开 是光子数表象和相干态表象之间的变换系数。将上式代入本征
22、方程，有左边的求和可移动指标nn+1，则9.4.4将上式左乘的归一化条件求得（忽略一个相位因子）所以展开系数的递推关系9.4.69.4.7于是因此，相干态可以表达为相干态可以由光子数态|n的适当叠加构成9.4.8利用(9-18)（教材9-1-21），将上式改写为9.4.99.4.2 相干态的性质1、正交归一性以及9.4.109.4.11=时，=1，相干态是归一化的。但是不同相干态之间不正交。 时，0如若| -|时，0。可以认为两个相干态近似于正交2、相干态下的平均光子数与光子分布、相干态下的平均光子数与光子分布光子算符的期望值（平均光子数）光子算符的方均根值9.4.129.4.13所以光子数的
23、不准确程度3、相干态的光子分布是泊松分布当单模场处于相干态|时，在相干态|中发现n个光子的概率是9.4.149.4.159.4.16即相干态的光子数分布是Poisson分布。激光器在远高于阀值时，其光子分布就是Poisson分布，即激光场的光子就是相干态的光子。或利用9.4.12 ，用平均光子数表示）9.4.16位相算符的平均值及方均根误差分别为：4、相干态下的测不准关系式光子数的不确定程度和位相的均方根误差都随平均光子数 的增加而减少。即当平均光子数很大时，相干态所对应的量子化电磁场，越来越接近具有确定振幅和固定相位的经典电磁场位相的量子涨落偏差为同理这是测不准关系式（9-3-17）取极小值
24、的情况由前面的讨论可知，在相干态下，场的振幅和相位都是不确定的，但其不确定性，分别要比位相态下的振幅和光子数态下的相位不确定性小，光子数态和位相态是两个极端，而相干态介于二者其中，兼顾场的振幅和相位，并允许振幅和相位同时都有一定的不确定性，它们的不确定性满足测不准关系所允许的最小值前面讨论量子化电磁场时，为方便计以特殊坐标系下的场量某一分量为例。依此类推，一般地，单模电场强度算符可以表达为5、相干态下的电场强度的量子涨落由此可以求得（=|exp(i)）于是，在相干态下场的起伏为即电场幅度的起伏为与该模式的光子数无关，但相对起伏却随着光子数增大而减少。因此，当平均光子数|z|2较小时，场的振幅和相位都有一定的不确定度；而当平均光子数|z|2较大时，场趋向于同时有确定振幅和确定相位的经常场。如下图所示：在相干态下，光子数少时，振幅与相位都有起伏；光子数较多时，振幅与相位起伏都变小谢谢大家！结结 语语
