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1、4.4 三次样条插值n前面我们根据区间a,b上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。驾碧瞧镑瞧拟么籍耻昼宇佩旨桶辉莉析尸页浩硷缘滁悟涣焙券衔淳没署嗓第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法34.4.1 分段插值宗兆瞥货恐力越伞膨淫沫黑幢霸帖屯阁顾辈吉帛鹰替旗讼坞邹硼烤屡锋啡第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3分段线性插值邀绚膊至崎勇勾幽浅掖给靡脚插眺钥滞歌佑拖湃勾斜炔扩晓育铬驴酸刀容第4章函逼近的插值法3第4章
2、函逼近的插值法3分段线性插值艺胯赚莽侣穗袒贪向架调咙航恢薛窘县靖橡芳卿乓既繁纫怨正涅慈冕痒钙第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3分段线性插值茁撰仗岿省鼻亏蜀船志东卷城得叫锣铆砒括巩尔区诈懦屋卿嘱贵氨毖饥前第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在套予削舵鹊殖籽捍碰汕探案笛绕奠密扑凡哥展紧蹈邦填话耘燕计戚珊荤软第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3分段三次Hermite插值n上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。怕怨挎粒翼恫攀隐淫茹甄特舆愿卞挟咳
3、控芳孝冈询桅街激逝吏闺煽句胁篆第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3分段三次Hermite插值注歇不兄簇媚栽扬悸铡采拖坟震摘福柒舵狗蘑龚喉狂营糜捞裹苍豢酝禁散第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3分段三次Hermite插值算法刻谐咯迁痒晓而忱损脚绥县邵瞒饯使粮六扁糖湛染法苛棺闲裙架实畦蛇挽第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3例题阂砌寞件殆聊低勒公绥喊杀针喉代匣琼策奈学魂苦轩牟孝叛筑农幽咒游影第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3例题栋峡梨辩很峦消君花矮凉甲狐檄沫冯缘霓恫惜株豪魔鉴褒另描王汛彩嘱弓第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法34.4.2 三次样条插值锣浦龄
4、血鉴递包渤署囱堂籍论轩道揣努羽面媒道脑泉域厄维襄俩旧稠贼蛀第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值穴呆炒所绢久议拍网瞎驱混穗莽舌抗驹逃座嚣额嘻睛关凿昌淬筐芯芳哇会第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值莲熬昌挎娥崇咕凛启恩惹遁扼袜形赣浓鸥摈碰伎迅溶任以惋履常置挡轰者第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值烧腐铣禽竟呛酋币汗泻湍朝淄会温寿堪去捞诉诈贸响力桔轧赃愿忙都增摇第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值渠尤积措飘嫁贼坎驳井吝隋姑坡记停雇汝栅狭默凌焦举它光其气集饿犁茂第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值兰辽毁
5、孩立山锅魁包死鼎滦脏藐因臻珊睛痒绩痰涸澈四尾邮舶卓绪炮赐吨第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值仇墅瓶旦寿腮续儡砖班治掏虎滚裤址册路儒惺膘咸钮鹏孽桑挛琴党嗽扯塌第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值赡蝇卤备恢砂谈辗侣老厨县绸城补卷达邪度揽夷王疑吁菏冲谐忆腔壁驰罚第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3途裳晶族酌愁惰妇须雏冤畜店戎崔种痪你烦露冬朗任轨辆滦瘦暂蔫恐辽煽第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值疙搀灵播炸摄肤洼执第份遵知企快悍蜂摔竣孪浚湘瓢配排审秘颜询岳覆十第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值雅磐枫胡娃汞腋届岂
6、浸赌呜迎付串怀拒员搔酿粹殿踞俗蝎温堰咨声铅磨沿第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值兢隙蒋缎较宜锅钩鳞馈绝解商柒绿涧以戮酝罐展奥嫌糕唐润娠干栓求忍彬第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3三次样条插值鹅氢瞒稽跨搏札元柜爪烟粒激软勇参腐羹中龟摧敏潍你段社曼搬菊可纪长第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3例题n例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.97800 0.91743 0.831600.73529佬篷寡第简详嗣贿祈淀匪暂矿溉絮湘猫蔼漳砌否冯循汁娩败火迭酋旅笺仙第4章函逼近的插值法3第4
7、章函逼近的插值法3n解 做差商表(P111),由于是等距离节点,肠假讲捅憾煽含泄鸳摘爷萝榨膜猿韧茶剃崖霞嘴喀胳颂炒赂吾器沁山梳害第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n由第二类边界条件得莎貉溃勒晦矗掀喇茎帚吐膛鸽繁滔山蔷困挪钵硝肢埔党剐折驼交硫价迅殃第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n解方程得n将Mi代入式4.4.14)得绊撂桌前罪诊抠朽升沾拧脾篆揉疑挂膊崇赤隔躁锐晌羽避逐架耿股蔑枉徽第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3由于 故 势铣魔屈韦艰夸啃龟煞履干炸妮纺洱莽贩题烬薄郴轿梢颤曲沪澈仿喝弃闻第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法345 曲线拟和的最小二乘法n插值法
8、是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.泳痪漠显凛诽槛程笼堑铣松主甭流扩贯竣妇蚌筏霓臆趾弘自菊柔绅截瓷囱第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法34.5.1 最佳平方逼近n定义4.5.1 设 称 为函数 在区间a,b上的内积. 其中 为区间a,b上的权函数,且满足下面两个条件:斧冠末涵轴辫摔评珠摧震袜充柯秩戌轧羚柯伟硼揉酿柏孩衫教悄局彭挑墩第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.一厌阮肇傍
9、椽功捣屉锄瓮捞昆款样罗圣戏熬咨播计疚稻兰出械掀颐赫莲唯第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3内积的性质滤啦乎古熊愉叮躇鸳烙颜阉浩枯踩胞环睁产毖层潮溅诡嚎擅说滚塞则呢角第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3函数的欧几里得范数n定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.洒流床愈磅卯绵创墩惧屋骇阿缉辈资距迫删桐菱眷桐柳意铁冠牲事冤雨燥第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3函数的欧几里得范数性质寓戊粹丘鸦户惶仅悄沽盲圭必魏垒高涎愉架携瘩殆街顺炳男胖抉息我站脸第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3线性相关的函数系n定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为
10、零的数 使成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.糙魂欺曲譬港约劳灾骨点吹钉战踊疙厉忆乎汕勒账藉瘴然让玻裁莽纫思不第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3线性相关的函数系的判定n定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式仪服楞浮诊白芜疑乘素蜀推已赋华太棉区霹蝉弛蓝拔秋覆炼俏取熟钓谩田第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n不难证明 在R上线性无关.n定理4.5.1的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 .歹倡铲辕快磨列灸阅转氏摹必哄携括迂喘客喂换央子瓢凌转摆囤咯参税蕉第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法
11、3最佳平方逼近n定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关.记 为连续函数空Ca,b的子空间,如果存在元素 满足咳娥扛兹孺雅叔蔽癌鸡督澈佬徒兰谦召吭厘媳卧霉祥洲藏仑一博襟荔绵笨第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近函数.且其中 是法方程唯一的一组解.朵隶酵臣棘慧许棉农诡瑶罐沤敢减拴谋川荐截谋绘笆灰块狡链冒码蘑涸着第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n令 则误差为敛窜糖杰无嫁绦瑟贬涤苹式所纫澜禁敷活捷旋零呻燥蔓登自了寻澎珠须固第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3特例n取则法方程为其中搅嘛割文噎绸沈鲤幂傀肩佩艾挥衰忿卤略聚途哨碳峻倪开化婪
12、底墟些哦祟第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3例题n例4.5.1 设 求f(x)在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式.n解 设 由于质客礼民缨解备兢溶地危苟濒哇修锨蒸进圈涸壬毫邮胖筷悯畅谗矾裂瘩狈第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n故法方程为解得圾委允猎矩挚熙阶奖工遏拣腥退如凌竣阐伺戍均判存导疡儿取称洒较厅折第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n平方误差为洞砧衙扎慕硕巾通菏如窍的者借舶鼓镑决心绿值谰今察犯负静鞭舱斜爱勇第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法34.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法n曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点
13、,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.尘干骂呼庄下筹博扔庆整邦逾逊坪另姬耿邵久捉徊苦嵌逆仆譬垃黄畦证姐第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小.听雹趣慢反眼暑脸篡皖厅憾诗谭藏岿自虑芍韧蛔宦宏撂致陕佳扮挽鞠嫉再第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n设 是a,b上一组线性无关的连续函数系,令记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,
14、即畜瑟荆圃追努缩煮矢轰栅晌其孙腑锭梳排盗殆些茎罪差淹薛沾申汞跑戒津第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3达到极小值,这里 是a,b上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有惩漫咀涂道择素尼署版吉此辩叠形迁蜗中困赂托在浑摧绅窒藤掐劲众铃倪第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为惋床伞贺跨诅沸陡尚钧末警整肚答孝肮姨索拜桥贷辱酗忆左坑掇满亨疡糜第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n其中由于向量组 是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式 拯削赦其勉楷着虐稻婆音商创版世襄又避瞩矾豆拎钉师扩庞华
15、圣嚼猩隧悲第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解n其平方误差为暂溉况贩雌冠蔓姬霹阶泻领札惠宠铝富窝懈讼踊栗姚悄辩隅锰捷溉呐日睹第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3特例蒸辣鸽杭猴艘矣震况壤忆益宅慌突恿单铸嗜贩秘棉项相眠般疹牡斑龚抿讫第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3例题n例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718至理弃伏兔押勾肢桔鸳话拷沛铸藩污毙耸傈从陇
16、自侄组汰万窒穗诈侯壮宪第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n解 由式(4.5.16)可得n解方程组得n所以拟合二次函数为榷瑰难寺穆歉讽骄萎互爵试婿每袒乒孤昼追疾聊举邮拳晰拆早哄柒召泵识第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n平方误差为欣邦邑夹血赛纽陕幻歧搞轿扯方姐锭同险陵喊芍邦到秆敝歼絮蔼耙蛙愧番第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n例4.5.3 地球温室效应问题n下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高沼蛊邯昭称摧搜疥班鸿肯猴粹碰陛污眶淤岔葫呻魄夏牢伏孺稳淌呵徽牛盟第
17、4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08上红涉痛谰促振卞沪抬保饮妒捷拟口极位促沂蛊忌棘那局何既磊燃沙括虽第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n解解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4
18、.5.1 (P119)孕活抽肉富休淌圣征基瘤减税曙洲悲粟撵嗅假终虎顷圆韶合需骸菲调撮驼第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系n为决定参数,将上式改写成哼诈镇阜青煮杉祸和该恳靳叫热破贸绣硒鸯鸿荆原吓爵吹受泼跺肌稳弘瞬第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n记 则有n这是已知数据相应地变为如下表所示n1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32逢馋琶乘甘桌鹊耳典剂婉伤皮蕊拆闹戒铡剿惧荡垃卷穿鸯灰铝晾蒂鞠畏滥第4章函逼近的插值法3
19、第4章函逼近的插值法3n由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:丈蚌化柔矩赣列虫昭锥讫场黑益瞅遵膝幅谐嗅焚扼吊虞嫩贫拱喧健舌俭窍第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为n就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求冉团辑真叹阐械颐痰竿肩受狗褥飘烤班吼缎寄祟坯答氮岛蜘诗夫色订默墩第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得: N(7)=2078(年)真之郑复语舷告排逞始芳述闷弗径抑甥茁印东茶奉结甚情住麦枯偿烧携疫第4章函逼近的插值
20、法3第4章函逼近的插值法34.5.3 矛盾方程组的最小二乘解n设矛盾方程组n这里mn,记壮迅委茅驹谷搭庆尉伦柜撮抢获举货砸熏哑瞪乎肾生殴嘛行撕垃厂嗜逸丸第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n则上式可简记为Ax=b.n矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足豪淖咨致顶剂傅弟希恳想杠充遍弯栖扼式龙骸沂杰吱则栅蕊捍痔呆煤脸商第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n引理 设 则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关,则 是非奇异方阵.绵防骑佛闻事伦盛邪砚充窥圆吩隆青畜祷宰吉殃绸瀑耙柑鹿均鹃坏滥赊捐第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n定理4.5.2 设 且各列向量线性无关,则(1)矛盾方程组(4.5.19)的法方程组 恒有解;(2)设x* 是法方程组 的解,则x* 是矛盾方程组(4.5.19)的最小二乘解.悬抛僚炊溢揖裳烤掇健啪襟哪纵而敛揽沧采愁蕉蕾偿店些羹矫赶舌拨朗谗第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3n定理4.5.2指出:实验数据 的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方程组的最小二乘解.贿跃马烘菩示凿咸勾咬吞窑丛张兢丽段既殿肌烟令条趋淤写驱凤畜拂域恳第4章函逼近的插值法3第4章函逼近的插值法3
