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1、第二节 偏导数 第九章第九章 (Partial Derivative)一、偏导数的定义及其计算方法一、偏导数的定义及其计算方法二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、小结与思考练习三、小结与思考练习8/2/20241一、偏导数定义及其计算方法一元函数：研究函数的变化率（引入导数概念 ）多元函数：研究其变化率 就二元函数z = f (x, y)而言，当点(x, y)沿各种不同的方向变动趋向于(x0, y0)时，一般有不同的变化率. 我们先讨论当沿着平行于当沿着平行于x 轴轴或或y轴轴方向变动方向变动 （即一个自变量变化，而另一个自变量固定不变）时函时函数的变化率数的变化率. 此时，它们就是一元函数的变化
2、率. 注：注：至于其它各个方向的变化率，将在第七节中讨论.8/2/20242在点存在,的偏导数偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注注:定义定义18/2/20243若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 , 记为或 y 偏导数存在 ,同样可定义对 y 的偏导数8/2/20244例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数定义为偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .8/2/20245是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.
3、在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:8/2/20246函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,但在该点不一定连续不一定连续.在9.1节中已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!注：注：8/2/20247解法解法1:解法解法2:在点(1 , 2) 处的偏导数.例1 求8/2/20248解解:所以8/2/20249例例3 求的偏导数. 解解:例例4 设求证证证:8/2/202410偏导数记号是一个求证:证证:注注:(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,例5 已知理想气体的状态方程8/2/20241
4、1二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数四个二阶偏导数:8/2/202412例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为类似可以定义更高阶的偏导数.8/2/202413解解 :注注: :此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 例6 求函数8/2/202414二二者者不不等等例如,8/2/202415则例如例如, 对三元函数
5、u = f (x , y , z) ,说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等定理定理8/2/202416满足拉普拉斯拉普拉斯证：证：利用对称性 , 有方程方程例6 证明函数8/2/202417内容小结1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)8/2/202418思考与练习设方程确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且求8/2/202419解解:设方程确定 u 是 x , y连续, 且求的函数 ,8/2/202420
