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1、空间向量法解决立体几何问题数学专题二专题提纲专题提纲二、立体几何问题的类型及解法二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量一、引入两个重要空间向量一一.引入两个重要的空间向量引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量直线的方向向量 把把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图如图1,在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,由
2、由A(x1,y1,z1)与与B(x2,y2,z2)确定的直线确定的直线AB的方向向的方向向量是量是zxyAB2.平面的法向量如果表示向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面的有向线段所在的直线垂直于平面,称称这个向量垂直于平面这个向量垂直于平面,记作记作n,这时向量这时向量n叫做叫做平面的法向量. n在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢如何求平面法向量的坐标呢? 如图如图2,设设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面是平面内的两个不共线的非内的两个不共线的非零向量零向量,由直线与平面垂直的判定定理知由直线与平面垂直的判定定理知,若若na且且
3、nb,则则n.换句话说换句话说,若若na = 0且且nb = 0,则则n . abn求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步第二步(列列):根据根据na = 0且且nb = 0可列出方程组可列出方程组第三步第三步(解解):把把z看作常数看作常数,用用z表示表示x、y.第四步第四步(取取):取取z为任意一个正数为任意一个正数(当然取得越特当然取得越特 殊越好殊越好),便便得到平面法向量得到平面法向量n的坐标的坐标. 例1在棱长为在棱长为2的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中,O是面是面AC的中的中心心,求面求面OA1
4、D1的法向量的法向量. A AABCDOA1B1C1D1zxy解：以解：以A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）（如图）,设平面设平面OA1D1的法向量的法向量为的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则则O（1，1，0），），A1（0，0，2），），D1（0，2，2）由由 =（-1，-1，2），）， =（-1，1，2）得得 ，解得，解得 取取z =1得平面得平面OA1D1的法向量的坐标的法向量的坐标n=(2,0,1).A AA1B1C1D1ABOCDxzy练习答案：二二.立体几何问题的类型及解法立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系判定直线、平面
5、间的位置关系(1)直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 不重合的两条直线不重合的两条直线a,b的方向向量分别为的方向向量分别为a ,b. 若若ab,即即a=b,则则ab. 若若ab,即即ab = 0,则则ababab三、简单应用三、简单应用练习练习1：设直线设直线l，m的方向向量分别的方向向量分别为为 ， ，根据下列条件判，根据下列条件判断断l，m的位置关系：的位置关系：例2已知平行六面体已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面的底面ABCD是菱形是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证求证: C C1BDA1B1C1D1CBAD证明：设证明：设 a, b, c,依题意有依题意有|
6、 a |=| b |，于是于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BD 向量法向量法坐标法坐标法(2)直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线直线L的方向向量为的方向向量为a,平面平面的法向量为的法向量为n,且且L . 若若an,即即a =n,则则 L 若若an,即即an = 0,则则a .nanaLL例3棱长都等于棱长都等于2的正三棱柱的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是分别是AC,CC1的中点的中点,求证求证:(I)A1E 平面平面DBC1;(II)AB1 平面平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy解：以解：以D为
7、原点，为原点，DA为为x轴，轴，DB为为y轴建立空间直角坐标轴建立空间直角坐标系系D-xyz.则则A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2).设平面设平面DBC1的法向量为的法向量为n=(x,y,z),则则 解之得解之得 ，取取z = 1得得n=(-2,0,1)(I) =- n,从而从而A1E 平面平面DBC1(II) ,而而 n =-2+0+2=0AB1 平面平面DBC1FEXYZFEXYZ三、练习三、练习: : 1 1，在正方体，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，
8、中，P P在在A A1 1B B1 1上，上，Q Q在在BCBC上，且上，且A A1 1P=QBP=QB，M M、N N分别为分别为ABAB1 1、PQPQ的中点。求证：的中点。求证：MN/MN/平面平面ABCDABCD。 DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所证明：建立如图所示的空间直角坐标示的空间直角坐标系系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又设又设A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故故N(2-x, 1+x, 1),而而M(2, 1, 1)所以向量所以向量 (-x, x, 0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0, 0,
9、1)， 又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面AC(3)平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系平面平面的法向量为的法向量为n1 ,平面平面的法向量为的法向量为n2 n1 n1 n2 n2若若n1n2,即即n1=n2,则则若若n1n2,即即n1 n2= 0,则则练习练习2： 设平面设平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 ， ，根据下列条件判断，根据下列条件判断 ， 的位置关系：的位置关系：FEXYZ正方体ABCD-ABCD 中，E、F分别是CC、BD的中点。求证：面ADF 面BDED(0,0,2)例例v设平面DBE的法向量为n1=(x,y,z)得解得取y=-1,得平面DBE
10、的法向量为n1=(1,-1,2)同理可得平面ADF的法向量为n2=(0,2,1)n1 n2 = 0-2+2=0v面DBE面ADF2.求空间中的角例5如图在正方体如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,M是是AB的中点的中点,则对则对角线角线DB1与与CM所成角的余弦值为所成角的余弦值为_. BC A MxzyB1C1D1A1CD解解: 以以A为原点建立如图所示的直角坐标系为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方设正方体的棱长为体的棱长为2,则则M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0),于是于是, cos=练习练习例6正三棱柱正三棱柱AB
11、C-A1B1C1的底面边长的底面边长为为a,高为高为 ，求，求AC1与侧面与侧面ABB1A1所成的所成的角角zxyC1A1B1ACBO解解:建立如图示的直角坐标系建立如图示的直角坐标系,则则A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0, ). C(- ,0, )设面设面ABB1A1的法向量为的法向量为n=(x,y,z)由由 得得 取取y= ,得得n=(3, ,0)而而C1A1B1CAOBxyz答案：C（3）二面角）二面角设设n1 、n2分别是二面角两个半平面分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何的法向量，由几何知识可知，二面角知识可知，二面角-L-的大小与法向量的大小与法向量n1 、n2
12、夹角相等（选夹角相等（选取法向量竖坐标取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n1n2n2例7在四棱锥在四棱锥S-ABCD中中DAB=ABC=90，侧棱，侧棱SA底面底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角，求二面角A-SD-C的大小的大小.BCzxyABCDS解：建立如图所示的空间直角坐标系解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xy
13、z，则，则 B（1，0，0），），C（1，1，0），），D（0，2，0），），S（0，0，1）. 设平面设平面SCD的法向量的法向量n1=(x,y,z),则由则由 得得 n1=(1,1,2). 而面而面SAD的法向量的法向量n2 = (1,0,0).于是二面角于是二面角A-SD-C的大小的大小满足满足 二面角二面角A-SD-C的大小为的大小为 .如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC = 90，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1， 求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值 练习：练习：SBACDzxy设平面ADBCS例练习：（2）解法2：设平面PBD的法向量为：n=
14、(n=(x,y,zx,y,z) ) =( 1，0，- ）, x- z=0,且-x-y- z=0x= z, y=-2 z令z=1,得： n=( , -2 , 1 )平面CBD的法向量为 =(0，0 ， ）又二面角P-BD-C的大小为：arccos 1/4解法二： 设平面PAD的法向量为：n=(x,y,z)解得：取x=1,得n1=( 1 ,2,- )同理：可得平面PAB的法向量为n2=( ,0,1) n1 n2= +0+ =0平面PAD平面PBD3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射
15、影性质只需利用向量的正射影性质直接计算直接计算.如图如图,设两条异面直线设两条异面直线a、b的公的公垂线的方向向量为垂线的方向向量为n, 这时分别在这时分别在a、b上任取上任取A、B两点两点,则向量在则向量在n上的正射影长就是两条异面直线上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离的距离. 即即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB例8在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中,求异面直线求异面直线AC1与与BD间的距离间的距离.zxyABCDD1C1B1A1解解:建立如图所示的空间直角坐标系
16、建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线设异面直线AC1与与BD的的公垂线的方向向量公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由则由 ,得得 n=(-1,-1,2). ,异面直线异面直线AC1与与BD间的距离间的距离(2)点到平面的距离点到平面的距离A为平面为平面外一点外一点(如图如图), n为平面为平面的法向量的法向量,过过A作平面作平面的斜线的斜线AB及垂线及垂线AH. = = . 于是，于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABH例9 在直三
17、棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求求B1到面到面A1BC的距离的距离.zxyCC1A1B1AB解解:以以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面设面A1BC的法向量的法向量n=(x,y,z),由由 得得 n=(- ,0,1). , 或或 ,或或 ,可见可见,选择平面内外两点的向量时选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关与平面内的点选择无关. 会求了点到平面的距离会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都直线到平面、
18、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求可转化为求点到平面的距离来求.例10四棱锥四棱锥P-ABCD的底面的底面ACBD是菱形是菱形,AB= 4, ABC=60, 侧棱侧棱PA底面底面AC且且PA= 4,E是是PA的中点的中点,求求PC与平面与平面PED间的距间的距离离. xzyPBEADCF解解:以以A为原点、为原点、AB为为x轴、轴、ACD中中CD边上的高边上的高AF为为y轴、轴、AP为为z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系,则则F为为CD的中点的中点,于是于是A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0), D(-2, 2 ,0), P
19、(0,0,4), E(0,0,2).设面设面BED的法向量的法向量n=(x,y,z),由由 得得 n=(1, ,2).n 2+6-8=0，故，故PC面面BED, PC到面到面BED的距离就是的距离就是P到面到面BED的距离的距离,.空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题 。这样使问题坐标化、符号化、数量化，。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。是在立体几何中引进空间向量的独到之处。
