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1、School of Electronics and Information Engineering电磁场与电磁波电磁场与电磁波Electromagnetic Fields and Waves 静电场静电场22电位电位谢泽明谢泽明华南理工大学电子与信息学院华南理工大学电子与信息学院Email:电磁场与电磁波08静电场2电位School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology内容内容n电位n导体对静电场的影响n电位的帕松方程和拉普拉斯方程School of Electronics
2、and Information EngineeringSouth China University of Technology电位电位-静电场的辅助函数静电场的辅助函数n静电场无旋性（静电场无旋性（ ）告诉我们，电）告诉我们，电场可用一个标量函数的梯度表示场可用一个标量函数的梯度表示 称为电场的位函数（电位）。称为电场的位函数（电位）。n电场电场 为矢量，对应三个标量函数，而电为矢量，对应三个标量函数，而电位位 为一标量函数。显然，计算电位更容易。为一标量函数。显然，计算电位更容易。借助电位求电场的方法，称为借助电位求电场的方法，称为辅助函数法辅助函数法，广泛应用于电磁场理论。广泛应用于电磁场
3、理论。School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn从静电场公式n不能看出，点电荷的电位为 为满足 的任意标量函数。直接从直接从 不能唯一确定电位。实际中，不能唯一确定电位。实际中，常通过选取电位参考点消除不唯一性。常通过选取电位参考点消除不唯一性。School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn体分布的电位n面分布的电位n线分布的电位xPzyr0
4、School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【电压】【电压】两点间电场的线积分两点间电场的线积分v可见，两点间的电压等于两点的电位差，且与可见，两点间的电压等于两点的电位差，且与积分路径无关；积分路径无关；v如果选取某点如果选取某点Q为电位参考点（电位零点），为电位参考点（电位零点），那么任一场点那么任一场点P的电位就等于该点与参考点之的电位就等于该点与参考点之间的电位差：间的电位差：School of Electronics and Information Engin
5、eeringSouth China University of Technologyn参考点选取具有任意性。实际中，常选择无参考点选取具有任意性。实际中，常选择无限远、大地表面或接地导体为电位参考点。限远、大地表面或接地导体为电位参考点。n电压和电位的物理意义电压和电位的物理意义电压为把单位正的点电荷从一点到另一点电场力电压为把单位正的点电荷从一点到另一点电场力做的功做的功电位是把单位正的点电荷从场点移到参考点电场电位是把单位正的点电荷从场点移到参考点电场力做的功力做的功School of Electronics and Information EngineeringSouth China U
6、niversity of Technology【电力线】【电力线】两点间电场的线积分两点间电场的线积分v电力线方程电力线方程v电力线的特点电力线的特点：始于正电荷，终于负电荷；始于正电荷，终于负电荷；线的疏密对应电场的强弱；线的疏密对应电场的强弱；垂直于等位面；垂直于等位面；互不相交。互不相交。正电荷正电荷 负电荷负电荷 School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology点电荷与不接地导体的电场点电荷与不接地导体的电场带电平行板带电平行板 School of Electron
7、ics and Information EngineeringSouth China University of Technology问题问题v(1) 电力线是不是点电荷在电场中的运动轨迹电力线是不是点电荷在电场中的运动轨迹（设此点电荷电场力外不受其它力的作用）？（设此点电荷电场力外不受其它力的作用）？v(2) 两条电力线能否相切？同一条电力线上任两条电力线能否相切？同一条电力线上任意两点的电位能否相等？意两点的电位能否相等？v(3) 不同电位的两个等位面能否相交或相切？不同电位的两个等位面能否相交或相切？同一等位面任意两点的场强是否一定相等？场同一等位面任意两点的场强是否一定相等？场强在等位
8、面上的切向分量是否一定等于强在等位面上的切向分量是否一定等于0？电？电位在带电面两侧会不会突变？位在带电面两侧会不会突变？School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【例【例5-1】在真空中】在真空中xoy平面上有一半径为平面上有一半径为a的圆形的圆形线电荷，其线密度为线电荷，其线密度为 ，求轴线上离圆心，求轴线上离圆心z处点处点P(0,0,z)的电位和电场强度。的电位和电场强度。n解：在圆上取一线元 ，其上所带电荷为School of Electronics and
9、Information EngineeringSouth China University of Technology由于电荷分布的对称性，该处的电场强度仅有由于电荷分布的对称性，该处的电场强度仅有 z z 方向的分方向的分量，即量，即应用圆柱坐标系，应用圆柱坐标系，P P点电位为点电位为解：取一线元，其上所带电荷量为解：取一线元，其上所带电荷量为 ，源点到场点，源点到场点P P的距离为的距离为School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【例【例5-2】求电荷密度】求电
10、荷密度 ，半径为，半径为a的均匀带电圆的均匀带电圆盘轴线上的电场强度。盘轴线上的电场强度。School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology利利用用前前例例中中圆圆形形线线电电荷荷在在轴轴线线上上产产生生的的电电位位的的公公式式，将将 d dr r 很很小小形形成成的的圆圆环环看看成成是是圆圆形形线线电电荷，其相应的线电荷密度荷，其相应的线电荷密度 满足：满足：解解：在在圆圆盘盘上上取取一一半半径径为为r r、宽宽为为d dr r的的圆圆环环，由由 于于 d dr r很很 小
11、小 ， 源源 点点 到到 场场 点点 P P的的 距距 离离 即即 为为 ，并代入并代入 a a= =r r ，则同样可得，则同样可得整个圆盘上的电荷在整个圆盘上的电荷在 P P点的点的电位（电位（z 0z 0）School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology当当 时时，相相当当与与无无限限大大带带电电荷荷平平面面在在其其一一侧侧（ z 0z 0）附近产生的场：）附近产生的场：可见，只要可见，只要 z z 有限，则有限，则 E E 是均匀的，且与是均匀的，且与 z z 无关
12、。无关。应用圆柱坐标系中的梯度表达式，可得到电场强度为应用圆柱坐标系中的梯度表达式，可得到电场强度为School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology静电场中的导体静电场中的导体v导体中带有可以自由移动的电荷（自由电子、自由导体中带有可以自由移动的电荷（自由电子、自由离子）；离子）；v有外静电场时，导体中的自由电荷受电场力作用移有外静电场时，导体中的自由电荷受电场力作用移动，积累在导体表面；动，积累在导体表面；v积累在表面的电荷产生附加电场，在导体内与外电积累在表面的电荷产生
13、附加电场，在导体内与外电场相抵消；场相抵消；v达到平衡后，导体内电场为零，电荷不再移动，称达到平衡后，导体内电场为零，电荷不再移动，称为静电平衡状态。为静电平衡状态。【静电平衡过程】【静电平衡过程】均匀静电场中导体球的电场均匀静电场中导体球的电场School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology静电场中不接地导体的电场静电场中不接地导体的电场静电场中接地导体的电场静电场中接地导体的电场School of Electronics and Information Engineer
14、ingSouth China University of Technology【导体的静电特性】【导体的静电特性】v静电平衡后，导体内电场强度为静电平衡后，导体内电场强度为0；v静电平衡后，导体是等位体，表面为等位面；静电平衡后，导体是等位体，表面为等位面；v静电平衡后，导体表面的电场强度垂直于导体静电平衡后，导体表面的电场强度垂直于导体表面；表面；v静电平衡后，导体的电荷只分布在表面。静电平衡后，导体的电荷只分布在表面。静电场中的导体School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Techn
15、ology例例: :真真空空中中有有电电荷荷以以体体密密度度 均均匀匀分分布布于于一一半半径径为为R的的球球中中，如如图图所所示示。求求球内、外的电场强度及电位。球内、外的电场强度及电位。应用高斯通量定理，有应用高斯通量定理，有解解：（1）求求电电场场强强度度。以以球球心心为为球球坐坐标标系系原原点点，因因为为 分分布布仅仅与与球球坐坐标标系系变变量量r有有关关，故故电电场场强强度度也也仅仅是是r的的函函数数，且且方方向向应应是是ar方方向向。选选某某r半半径径球球面面为闭合面为闭合面 S（也称高斯面），则在此球面上，（也称高斯面），则在此球面上，School of Electronics a
16、nd Information EngineeringSouth China University of Technology如果用球内全部电荷如果用球内全部电荷 Q 来表示，以来表示，以 代入可得代入可得球内任意点的电位为球内任意点的电位为当当 r = R 时为球面电位时为球面电位（2）求电位。选无穷远处为电位参考点，则球外任一点的电位为）求电位。选无穷远处为电位参考点，则球外任一点的电位为School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology例：两无限大平行板电极，板间距离为例
17、：两无限大平行板电极，板间距离为d，电压为，电压为U0 ，并充满密度为，并充满密度为 0x/d的体电荷。求板间电场强度和极板面上的电荷面密度。的体电荷。求板间电场强度和极板面上的电荷面密度。解解 因因为为 (x)= 0x/d ，仅仅是是x的的函函数数，故故可可设设电电场场强强度度为为 E=axE(x),也也仅仅是是x的的函函数数。再再设设x=0处处电电位位为为0，极极板板上上面面电电荷荷密密度度为为 s(0)；在在x=d处处，电电位位为为U0，极极板板面面电电荷荷密密度度为为 s(d)。显显然然，由由于于两两极极板板面面无无限限大大，板板间间电电场场为为均均匀匀场场，故故 s(0) 、 s(d
18、) 均均为为常常数数。作作一一柱柱形形闭闭合合面面，底底面面积积为为 S，下下底底在在x=0的的极极板板内内，上上底底在在x处处，侧侧柱柱面面与与ax平平行行。在在此此闭闭合合面面上上应用高斯通量定理，有应用高斯通量定理，有由：又因为：即：School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology若将闭面若将闭面S在在x 处的上底面放到处的上底面放到xd的极板内的极板内再用高斯通量定理，则有再用高斯通量定理，则有可得可得即：即：代入代入 E(x)表达式，有表达式，有故：故：Schoo
19、l of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology电位的帕松方程和拉普拉斯方程n帕松方程和拉普拉斯方程是电位满足的微分帕松方程和拉普拉斯方程是电位满足的微分方程。方程。帕松方程帕松方程若无源，则演化为拉普拉斯方程若无源，则演化为拉普拉斯方程Possion方程方程Laplace方程方程School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【拉普拉斯算子】【拉普拉斯算子】直角
20、坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology例：例：已知导体球的电位为（无穷远处的电位为已知导体球的电位为（无穷远处的电位为0) 0) U U，球的半径为，球的半径为a a，求球外的电位函数。求球外的电位函数。 解解 球外的电位满足拉普拉斯方程，且电场球外的电位满足拉普拉斯方程，且电场具有球面对称性，具有球面对称性， 【应用帕松方程和拉普拉斯方程求电场】【应用帕松方程和拉普拉斯方程求电场】School of Elect
21、ronics and Information EngineeringSouth China University of Technology例：例：两无限大平行板电极，板间距离为两无限大平行板电极，板间距离为d d，电压为，电压为U U0 0 ，并充满密度为，并充满密度为 0 0x/dx/d的体电荷。求板间电场强度。的体电荷。求板间电场强度。解解 据题意，已知条件可表述为据题意，已知条件可表述为 School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn作业：作业：2-7，2-8，2-9，
