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1、Sw基本概念山那边,天更宽.我们已经飞奔在平原上,但没有山的生活是无法期望的.山那边的生活更值得向往,别让自己停留在山角下,别满足于山这边的平静.我不想让你停在山这边.读书与考试考试消磨着你美妙的大学生活的浪漫情怀,四年磨尽,四年毕业,四年磨不尽,你会去读研究生.读书是你终生的事业.不读课业之书或许可以,人生之书是必须要读的.以前的前期课程中相关部分： 1.关于二阶常微分方程的结论 2.傅立叶级数相关理论 3.线性代数中“基”理论 4.矩阵及其对角化的实质 5.大学物理 6.场论基础1.偏微分方程的一些基本概念1.偏微分方程2.偏微分方程的阶3.偏微分方程的解4.线性偏微分方程5.齐次偏微分方
2、程1.偏微分方程含有某未知函数及其偏导数的等式称为偏微分方程许多物理规律.过程.状态都可以用偏微分方程来描述许多不同的物理规律.过程.状态都可以用同一个偏微分方程来描述自变量的个数多于一个偏微分方程的例子:2.偏微分方程的阶一个偏微分方程中所含偏导数的最高阶数称为该偏微分方程的阶例如:3.线性偏微分方程若一个偏微分方程对其所含所含的未知函数及其偏导数都是一次的, 称该偏微分方程为线性偏微分方程.例如:4.齐次偏微分方程本课程只着重研究24个自变量的二阶常系数线性偏微分方程.它的一般形式是:5.偏微分方程的解任何一个在自变量的某变化区域内满足 方程(即代入方程后使之成为恒等式 )的 函数称为方程
3、的一个解.解的不唯一性*高维和低维的关系不是高维的结果去掉一个变量就变成低维的结果.高维和低维的关系必须依据严格的理论来建立.2.数学物理方程的导出1.理想弦的横振动方程 理想弦 理想弦是指具有下列性质的弹性物质细线: *横截面的直径长度 *弦可以任意地变形 *弦绷紧时,无论它处于什么位置,内部的 张力总是沿着切线方向物理系统 *线密度为r(x)的弦,在张力T的作用下处于平 衡态(绷紧). *平衡位置与轴重合. *该弦受到某种扰动而开始在它的平衡位置 附近振动.理想化假设为简化讨论,做如下理想化假设: *弦的运动完全在某一包含x轴的x-u平面内 进行,u轴垂直于x轴 并且在振动的过程中 弦上各
4、点做横u方向(沿u方向u方向) 弦上各点沿x方向的位移沿u方向的位移因而,弦上各点沿x方向的位移可以忽略,我们用t 时刻弦上坐标为x的点在u方向的位移u(x,t) 作为描述弦的运动的物理量.*弦的运动很微小. 微小的意义: u,ux的绝对值都远小于1 *弦受到的外力垂直于x轴,*力的分布密度(单位长度的弦受到的力)为 g(x,t)理想弦的微小横振动方程(一维波动方程):2.电报方程3.扩散方程4.热传导方程5.静电场的场位方程6.自由电磁波方程7.Helmholtz方程8.Schodinger方程梁昆淼:数学物理方法郭敦仁:数学物理方法热传导方程的导出考虑体积V(包面为S)内的温度u(x,y,
5、z,t)的空间分布及随着时间的变化规律.3.定解问题1.科学: 一门学科被称为科学它必须具有: 可重复性 可描述性 可控制性 可利用性数学是这些性质的强有力的表示工具.2.数学物理方程数学物理方程就是物理规律的数学表示. 物理量随着时间的演化: _用对时间的导数表示 物理量随着空间的分布: _用对坐标的导数表示物理量随着时间的演化和随着空间的分布之间的关系称为物理规律.物理规律的数学表示称为数学物理方程.3.泛定方程1)物理规律: 物理规律是描述物理现象的基础.在不同的情形下,物理规律的表现形式是不同的(尽管其物理本质是不变的).如:质点,连续介质,力学的,电学的,等等.本课程无意讨论在不同的
6、情形下,物理规律的不同的表现形式.只是讨论物理规律的数学特征.本课程感性趣的是:物理规律的数学形态.对于某一物理系统,其物理性质大致描述如下: *系统的内部. *系统的边界 *系统内部的连续无突变部分 *系统内部的不连续有突变的点在不同的的情形下,物理规律的表现形式不同.对系统内部的连续无突变部分,场量在这样的区域内连续且导数存在.物理规律此时表现为该场量对不同的变量(坐标和时间)的导数之间的关系,这样的关系式我们把它称之为泛定方程.例如:*波动方程 *扩散方程 *拉普拉斯方程数学上,常见的物理上的泛定方程不是很多.4.边界条件在物理系统的边界附近,一般来说,物理量是不连续的,总是存在着这样那
7、样的突变.而这种突变反映的是物理系统和外界的相互作用.反映物理系统和外界的相互作用的数学表达式就是数学物理方程中的边界条件.泛定方程和边界条件的简单讨论: 泛定方程反映的是物理量随着空间的分布和随着时间的演化,它反映的是这一类物理量的共性.一般说来不会随着具体系统而变化. 边界条件反映的是系统与外界的相互作用.外界的情况不同,边界条件的形式当然也不会相同.因此,针对不同的外界,会出现形形色色的边界条件.5.自然边界条件自然边界条件出现的物理原因和数学原因6.衔接条件在系统内部,由于系统在空间上的不均匀性,会造成物理量的不连续性.在这种地方泛定方程就无法进行有效的描述.在物理量不连续或有突变的地
8、方附近,物理量的性质的表述称为衔接条件.7.初始条件力学中,大家已经对初始条件已经有了足够的理解.当物理量随着时间演化时,系统的 “历史”对于其演化是起着重要作用的.而前一时刻系统的状态一旦给定,系统以后的状态也随之确定.因此,欲描述系统,必须知道系统的某一时刻的状态对系统的某一时刻的状态的描述称为初始条件.8.定解问题由面的讨论知道,欲确定的描述系统,必须确定地给出:描述物理量随着空间和时间的演化规律(泛定方程)系统在过去某一时刻的状态的完整描述(初始条件)系统与外界的相互作用的完整描述(边界条件) 系统在空间上的不均匀性,所造成物理量的不连续性或突变的完整描述(衔接条件).+构成的对系统的
9、数学描述称为定解条件.+构成的对系统的数学描述称为定解问题.4.定解条件例1.弦振动方程的固定端点条件: 对于前面的弦振动系统,选如前坐标及规定:若弦长为L,其两端点分别固定于x=0,x=L处,则边界条件可写为: u(0,t)=u(L,t)=02.弦振动方程的弹性端点条件: 考虑棒的纵振动.棒的截面积为S.有一x方向 的力F作用在棒之右端. 取如图微元,微元之左端受到其余棒的弹性应力P.根据牛顿定律,有: 例:长为L的杆,上端固定在电梯天花板上,杆身竖直,下端自由.当电梯下降到速度V时,突然停止.写出定解条件.解:坐标系 边界条件: 初始条件:例:长为L的均匀弦,两端固定. 弦中张力为T0.
10、在x=h处以横向力F0拉弦.达到稳定时,放手让其自由振动.写出定解条件.解:如图. 坐标系 边界条件: 初始条件:利用力平衡条件:3.热传导问题的边界条件: 系统与热源相接触(第一类边界条件): “热源”的性质: 温度恒定. 热容量为无穷大. 因此,系统与热源相接触时,系统的表面 温度u与热源的温度T0相等. 此时有:系统与热库相接触(第三类边界条件): “热库”的性质: 无温度特征之规定. 辐射出恒定的热流M. 热流M的规定: M称为热流强度. M是单位时间内通过单位横 截面积辐射出的热量. 热流M的规定: M称为热流强度. M是单位时间内通过单位横 截面积辐射出的热量.但是,热流的存在并不
11、一定可以保证该热流被吸收.这一方面取决于热库的热流,另一方面取决于物体表面的性质.因此,讨论热库与物体的热相互作用时,所用的M不是热库的热流,而是热库与物体的热相互作用时的有效热流.例如,物体表面绝热时,热量无法进入物体表面,热库形同不存在,此时应视为M=0.Fourier 定律(热传导定律): 单位时间内,沿着n方向流过单位横截面积的热量为:Newton 定律(自由冷却定律): 在温度为u0的环境中,温度为u的物体在自由冷却的过程中,在单位时间内,物体与外界通过单位横截面积表面交换的热量(物体得到的热量)为: 若系统与热库相接触,环境温度为u0,系统的表面法向n与热库的热流M的方向的夹角为f,选单位面积表面为研究对象,由能量守恒律,我们有:Fig.绝热壁: 若系统表面是绝热的,则形同 k1=0,M=0 此时,我们有:自由冷却例:半径为R而表面熏黑的长圆柱,受到阳光照射.阳光方向与柱轴垂直,热流强度为M.如图. 写出这个圆柱热传导问题的边界条件.解:选如图坐标系,则:4.Laplace Eq问题的边界条件:5.衔接条件5.常见的定解问题的形式1.波动方程:变化:变化都体现在边界条件上:2.扩散方程:(略.)所有的讨论都和波动方程相同.只须将方程中的对时间的二阶偏导数改为对时间的一阶偏导数,去掉初始条件中关于对时间的一阶偏导数的初值即可.3.Laplace方程
