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1、数学建模讲义Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望风洞中的飞机风洞中的飞机物理模型物理模型地图、电路图地图、电路图符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物替代物。模型模型集中反映了原型中集中反映了原型中人们需要人们需要的那一部分特征的那一部分特征.我们常见的模型什么是数学模型什么是数学模型一、数学建模概论一、数学建模概论玩具、照片玩具、照片实物模型实物模
2、型数学模型数学模型 (Mathematical Model)数学建模数学建模（Mathematical Modeling)数学建模数学建模指建立数学模型的全过程。指建立数学模型的全过程。包括模型建立、求解、分析、检验包括模型建立、求解、分析、检验。数数学学模模型型对对于于一一个个现现实实对对象象，为为了了一一个个特特定定目目的的，根根据据其其内内规规律律，作作出出必必要要的的简简化化假假设设，运运用用适适当当的的数数学工具，得到的一个学工具，得到的一个数学结构数学结构。数数学学建建模模是是利利用用数数学学方方法法解解决决实实际际问问题题的的一一种种实实践践过过程程. 即即通通过过抽抽象象、简简
3、化化、假假设设、引引进进变变量量等等处处理理过过程程后后, 将将实实际际问问题题用用数数学学方方式式表表达达，以以建建立立起起数数学学模模型型, 然然后后运运用用先先进进的的数数学学方方法法及及计计算算机机技技术术进进行行求解求解. 观点：观点：“所谓所谓高科技高科技就是一种就是一种数学技术数学技术”数量关系数量关系1. 解解 释释 孟孟 德德 尔尔 遗遗 传传 定定 律律 的的“3:1”数学建模数学建模三大功能三大功能解释解释, 判断判断, 预见预见 美美国国原原子子能能委委员员会会提提出出如如下下处处理理浓浓缩缩放放射射性性废废物物：封封装装入入密密封封性性很很好好的的坚坚固固的的圆圆桶桶
4、中中，沉沉入入300ft的的海海里里，而而一一些些工工程程师师提提出出质质疑疑？需需要要判判断断方方案的合理性。案的合理性。2.判断判断放射性废物处理放射性废物处理3.预见预见谷神星的发现谷神星的发现行星的轨行星的轨道半径道半径水、金、地、火、木、土水、金、地、火、木、土1781年年, 利用这个结果发现了天王利用这个结果发现了天王星星, 1802年，发现了谷神星与年，发现了谷神星与3对对应应(有故事有故事)，之后还发现了海王星、，之后还发现了海王星、冥王星。冥王星。你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型航行问题航行问题用用x表示船速，表示船速，y表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：求解得到求
5、解得到 x=20=20, , y=5,=5,答：船速每小时答：船速每小时2020公里公里. .甲乙两地相距甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行公里，船从甲到乙顺水航行需需30小时，从乙到甲逆水航行需小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速小时，问船的速度是多少？度是多少？航行问题建立数学模型的基本步骤航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设作出简化假设(船速、水速为常数船速、水速为常数, 方向一致方向一致); 用符号表示有关量用符号表示有关量(x, y表示船速和水速表示船速和水速)； 用用物物理理定定律律(匀匀速速运运动动的的距距离离等等于于速速度度乘乘以以 时间时间)列出数学式子
6、列出数学式子(二元一次方程二元一次方程)； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20公里）。公里）。录象机计数器的用途录象机计数器的用途问问题题经经试试验验，一一盘盘录录像像带带从从头头走走到到尾尾，时时间间用用了了183分分30秒秒，计计数数器器读读数数从从0000变变到到6152。在在一一次次使使用用中中录录像像带带已已经经转转过过大大半半，计计数数器器读读数数为为4580，问问剩剩下下的的一一段段还还能能否否录录下下1小小时时的的节节目目？要要求求不仅仅回答问题不仅仅回答问题, 而且建立计数器读数与而且建立计数器读数
7、与录录像像带转过时间的带转过时间的关系关系一个数学模型一个数学模型!思考思考本题中计数器读数是均匀增长的吗？本题中计数器读数是均匀增长的吗？日常问题：日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀速的吗常见的录音机的转轴转动是匀速的吗?问问 题题 分分 析析录象机计数器的工作原理录象机计数器的工作原理0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头主动轮主动轮压轮压轮计数器计数器录象带录象带录象带运动方向录象带运动方向录象带运动录象带运动右轮盘半径增大右轮盘半径增大右轮转速不是常数右轮转速不是常数录象带运动速度是常数录象带运动速度是常数计数器读数增长变慢计数器读数增长变慢观察或分析观察或分析: 计数器读数增长越
8、来越慢！计数器读数增长越来越慢！模 型 假 设 录象带的运动速度是常数录象带的运动速度是常数 v ； 计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn； 录象带厚度录象带厚度(含夹在两圈间的空隙含夹在两圈间的空隙)为常数为常数 w； 空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r ； 时间时间 t=0 时读数时读数 n=0 .建 模 目 的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系( (设设v，k ，w ，r 为已知参数为已知参数) )模 型 建 立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法:1. 右轮盘转过第右轮盘转过第 i 圈的半径为圈的半径为r
9、+wi, m圈的总长度圈的总长度 等于录象带在时间等于录象带在时间t内移动的长度内移动的长度vt, 所以所以模 型 建 立2. 考考察察右右轮轮盘盘面面积积的的变变化化,等等于于录录象象带带厚厚度度乘乘以转过的长度以转过的长度,即即3. 考考察察t到到t+dt录录象象带带在在右轮盘缠绕的长度右轮盘缠绕的长度,有有思思 考考1. 31. 3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果2.2.模型中有待定参数模型中有待定参数 确定参数的一种办法是测量或调查，试设计确定参数的一种办法是测量或调查，试设计测量方法测量方法参数估计参数估计.参 数 估 计将模型改记作将模型改记作只需估计只需估计理论上，已
10、知理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组再有一组(t, n)数据即可；数据即可；实际上实际上, 由于测试有误差由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。最好用足够多的数据作拟合。若现有一批测试数据若现有一批测试数据：用用最小二乘法最小二乘法可得可得t020406080n00001153204528003466t100120140160183.5n40684621513556196152模模 型型 检检 验验应该另外测试一批数据检验模型：应该另外测试一批数据检验模型：模模 型型 应应 用用1.回答提出的问题：由模型算得回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时时 t =
11、118.5分分, 剩下的录象带能录剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目，可分钟的节目，可以录制以录制60分钟的节目。分钟的节目。2. 揭示了揭示了“t 与与 n 之间呈二次函数关系之间呈二次函数关系”这一普遍规这一普遍规 律，当录象带的状态改变时，只需重新估计律，当录象带的状态改变时，只需重新估计 a, b 即可。即可。基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根根据据对对客客观观事事物物特特性性的的认认识识，找找出出反反映内部机理的数量规律。映内部机理的数量规律。将将研研究究对对象象看看作作“黑黑箱箱”,通通过过对对量量测测数数据据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型的
12、统计分析，找出与数据拟合最好的模型二者结合二者结合 机理分析建立模型结构机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数测试分析确定模型参数 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤机理分析机理分析没有统一的方法，主要通过没有统一的方法，主要通过实例研究实例研究(Case Studies)来学习来学习.以下建模主要指机理分析以下建模主要指机理分析.数数 学学 建建 模模 的的 一一 般般 步步 骤骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用数学模型的分类：数学模型的分类： 按研究按研究方法和对象的数学特征方法和对象的数学特征分：初
13、等模分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型等。论模型、逻辑模型、稳定性模型等。 按研究按研究对象的实际领域对象的实际领域（或所属学科）分（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。模型、经济模型、社会模型等。为为了了便便于于学学习习掌掌握握，可可对对数数学学模模型型做做适适当当的分类：的分类：数数 学学 建建 模模 的的 重重 要要 意意 义义 电子计算
14、机的出现及飞速发展电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。数学建模数学建模计算机技术计算机技术如虎添翼如虎添翼知识经济知识经济四、近几年全国大学生数学建模竞赛题四、近几年全国大学生数学建模竞赛题1994A逢山开路B锁具装箱1995A一个飞行管理问题B天车与冶炼炉的作业调度1996A洗衣机节水问题B最优捕鱼问题1997A零件的参数设计B最优截断切割问题1998A投资的收益和风险投资的收益和风险B灾情巡视路线
15、灾情巡视路线1999A自动化车床管理自动化车床管理B钻井布局钻井布局2000ADNADNA序列分类序列分类B钢管订购和运输钢管订购和运输2001A血管三维重建血管三维重建B公交车调度公交车调度2002A彩票问题彩票问题B车灯优化设计车灯优化设计2003ASARSSARS预测预测B露天矿车辆安排露天矿车辆安排2004A奥运会临时超市网点设计奥运会临时超市网点设计B电力市场的输电阻塞管理电力市场的输电阻塞管理 2005A 长江水质的评价和预测长江水质的评价和预测 BDVDDVD在线租赁在线租赁 2006A出版社的资源配置出版社的资源配置 B艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病疗法的评价及疗效的预测
16、2007A中国人口增长预测中国人口增长预测 B乘公交，看奥运乘公交，看奥运2008A数码相机定位数码相机定位 B高等教育学费标准探讨高等教育学费标准探讨 2009A制动器试验台的控制方法分析制动器试验台的控制方法分析 B眼科病床的合理安排眼科病床的合理安排 2010A储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的变位识别与罐容表标定 B20102010年上海世博会影响力的定量评估年上海世博会影响力的定量评估 怎怎 样样 学学 习习 数数 学学 建建 模模数学建模与其说是一门数学建模与其说是一门技术技术，不如说是一门，不如说是一门艺术艺术!技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无
17、法归纳成普遍适用的准则想象力想象力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目创新意识创新意识数学建模的论文结构数学建模的论文结构1、摘要、摘要问题、模型、方法、结果问题、模型、方法、结果2、问题重述、问题重述4、分析与建立模型、分析与建立模型5、模型求解、模型求解6、模型检验、模型检验7、模型推广、模型推广8、参考文献、参考文献9、附录、附录3、模型假设、模型假设谢谢 谢谢 ！例例1 哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题符号表示符号表示“一笔画问题一笔画问题”(抽象分析法抽象分析法)游
18、戏问题游戏问题图论图论(创始人欧拉创始人欧拉)完美的回答完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇连通图中至多两结点的度数为奇数，则该图可一笔画数，则该图可一笔画. 二、初等模型二、初等模型(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(0101)(0100)(0010)例例2 人狗鸡米过河问题人狗鸡米过河问题模型表示模型表示：建立建立(人人,狗狗,鸡鸡,米米)的的4维维0/1向向量量; 是一个简单的游戏，但可以建立经典计算机是一个简单的游戏，但可以建立经典计算机编程求解。编程求解。如如:(1,0,1,0)表示狗、米已过河表示狗、米已过河, 人、鸡没有人、鸡没
19、有等等;可取状态：可取状态：24610种种可取过河方式可取过河方式：4种种(1100) (1010) (1001) (1000)运算方式：运算方式：按位异或运算按位异或运算(xor)例：一次运算过程例：一次运算过程(1111)xor(1100) (1010) (1001) (1000)(0011) (0101) (0110) (0111)XOXX图论解法：图论解法：(1111)(1110)(1010)(1011)(1101)(0000)(0001)(0101)(0100)(0010) 示例示例3 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗?问题问题四条腿一样长的方四条腿一样长的方椅子
20、一定能在任意不平的地面上椅子一定能在任意不平的地面上放稳吗放稳吗?模模型型假假设设模模型型构构成成椅脚连线为正方形椅脚连线为正方形ABCD(如右图如右图).t 椅子绕中心点椅子绕中心点O旋转角度旋转角度f(t)A,C两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和g(t)B,D两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f(t), g(t) 01. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形脚的连线呈正方形;2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没没有像台阶那样的情况有像台阶那
21、样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面，即地面可视为数学上的连续曲面;3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。 模型构成模型构成由假设由假设1，f和和g都是连续函数都是连续函数 由假设由假设3，椅子在任何位置至少有三，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意只脚同时着地：对任意t ，f(t)和和g(t)中至少中至少有一个为有一个为0。当。当t=0时时,不妨设不妨设g(t)=0, f(t)0, 原题归结为证明如下的数学命题：原题归结为证明如下的数学命题
22、：已知已知f(t)和和g(t)是是t的连续函数的连续函数,对任意对任意t, f(t) g(t)=0,且且g(0)=0,f(0)0。则存在。则存在t0，使，使f(t0)= g(t0)=0模型模型求解求解最后，因为最后，因为f(t) g(t)=0，所以，所以f(t0)= g(t0)=0。令令h(t)= f(t)-g(t),则h(0)0和h( ) 0，由，由f和和g的连续性知的连续性知h也是连也是连续函数。根据连续函数的基本性质续函数。根据连续函数的基本性质,必存在必存在t0 （0t00可可知知g( )0,f( )=0 方法方法总结总结1) 一个变量一个变量t表示位置；表示位置；2)引入距离函数引入
23、距离函数(只设两个只设两个)；3)证明技巧证明技巧转动转动90度。度。模型模型推广推广1) 若对象是若对象是4条腿同长的长方条腿同长的长方形桌子，结果怎样？形桌子，结果怎样？2) 某某甲甲早早8时时从从山山下下旅旅店店出出发发沿沿一一路路径径上上山山，下下午午5时时到到达达山山顶顶并并留留宿宿。次次日日早早8时时沿沿同同一一路路径径下下山山，下下午午5时时回回到到旅旅店店。某某乙乙说说，甲甲必必在在两两天天中中的的同同一一时时刻刻经经过过路路径径中中的的同同一一地地点点，为什么？为什么？(数学解法、巧妙的形象解法数学解法、巧妙的形象解法) 建模示例建模示例4 4 商人们怎样安全过河商人们怎样安
24、全过河问题(智力游戏) 3名商人名商人 3名随从名随从河河小船小船(至多至多2人人)随从们密约随从们密约, , 在河的任一岸在河的任一岸, , 一旦随从的人数比商人多一旦随从的人数比商人多, , 就杀人越货就杀人越货. .但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定. .商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步(A到到B或或B到到A)船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限步使全体人员过河经有限步使全体人员过河! !模型构成xk第第k次渡河前次
25、渡河前A岸的商人数岸的商人数yk第第k次渡河前次渡河前A岸的随从数岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)过程的状态过程的状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策决策 D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集允许决策集合合uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk+(-1)k dk 状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2, n),
26、使使sk S按按转移律转移律由由s1=(3,3)到达到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机图图解解法法状态状态s=(x,y) 16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策D 移动移动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上右上移移.s1sn+1d1, d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考规格化方法规格化方法, , 易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态允许状态SS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2D
27、=(u , v) u+v=1, 2 建模示例建模示例5 5 报童的诀窍！报童的诀窍！问问题题: 报报童童每每天天清清晨晨从从报报社社购购进进报报纸纸零零售售，晚晚上上将将没没有有卖卖掉掉的的报报纸纸退退回回。设设报报纸纸每每份份的的购购进进价价为为b，零零售售价价为为a，退退回回价价为为c。请请为为该该报报童童筹筹划划一一下下，他他应应如如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大收入？何确定每天购进报纸的数量，以获得最大收入？假设和分析:1. 设设abc, 且一般地且一般地a-bb-c;2. 需求量是随机的，但是有规律需求量是随机的，但是有规律, 可以通过市场调可以通过市场调查和经验统计其规律，比
28、如在其销售范围内每天报查和经验统计其规律，比如在其销售范围内每天报纸需求量为纸需求量为r的概率是的概率是f(r) (r=0, 1, 2, .)一个一个概率分布概率分布;3. 若设其购进若设其购进n份报纸，每天报童的销售净收益是随份报纸，每天报童的销售净收益是随机的机的! 于是讨论其平均净收益于是讨论其平均净收益G(n)(期望收益期望收益), 如下如下平均净收益平均净收益G(n)(期望收益期望收益)：问题转化为：问题转化为：模型建立模型建立一个离散概率模型：一个离散概率模型：最大化期望收益最大化期望收益模型求解模型求解求导等技巧直接不能用！求导等技巧直接不能用！ 数学模型数学模型, 姜启源编姜启
29、源编P273：将离散量：将离散量r看成连续看成连续量，这时上面的求和可改为积分，进一步就可以求导量，这时上面的求和可改为积分，进一步就可以求导(利用变利用变限积分函数求导法则限积分函数求导法则)，寻找其极值点！，寻找其极值点！下面给出另一种不同的方法！下面给出另一种不同的方法！分析分析G(n)的改变量的改变量G(n)=G(n)- G(n-1)：相当于求相当于求G(n)的稳定点！的稳定点！含义？含义？相当于球相当于球G(n)的稳定点！的稳定点！结结论论：最最优优决决策策n满满足足使使需需求求量量不不超超过过n的的概概率率和和需需求求量量超超过过n的的概概率率之之比比接接近近(a-b)/(b-c)
30、！或或需需求求量量不不超超过过n的概率为的概率为(a-b)/(a-c)赚赔比赚赔比v相识问题相识问题设有设有n个人参加一个宴会，已个人参加一个宴会，已知没有人认识所有的人，问是否知没有人认识所有的人，问是否有两个人，他们认识的人一样多有两个人，他们认识的人一样多？简例简例v棋子颜色的变化问题棋子颜色的变化问题任任意意取取黑黑白白两两种种颜颜色色的的棋棋子子8个个，排排成成一一个个圆圆圈圈，然然后后在在两两颗颗同同色色棋棋子子间间放放一一个个白白棋棋子子，异异色色棋棋子子间间放放一一个个黑黑棋棋子子，拿拿去去原原来来的的棋棋子子。多多次次重重复复该该过过程程后后，棋棋子子颜颜色色会会如如何何变化
31、？变化？ (数目不是数目不是8而是任意自然数而是任意自然数n时如时如何何?)鸽巢原理鸽巢原理(抽屉原理抽屉原理)找关键量找关键量.1、某某人人家家住住T市市在在他他乡乡工工作作，每每天天下下班班后后乘乘火火车车于于6时时抵抵达达T市市车车站站，他他的的妻妻子子驾驾车车准准时时到到车车站站接接他他回回家家。一一日日他他提提前前下下班班搭搭早早一一班班火火车车于于5:30抵抵T市市车车站站，随随即即步步行行回回家家，他他的的妻妻子子像像往往常常一一样样驾驾车车前前来来，在在路路上上遇遇到到他他接接回回家家时时，发发现现比比往往常常提提前前了了10分分钟钟，问他步行了多长时间？问他步行了多长时间？假
32、假如如相相遇遇时时车车还还是是象象往往常常一一样样前前行行会会和和往往常常一一样样回家！回家！-推出相遇时间！推出相遇时间！找关键量找关键量.2、两两兄兄妹妹分分别别在在离离家家2千千米米和和1千千米米且且方方向向相相反反的的两两所所学学校校上上学学，每每天天同同时时放放学学后后分分别别以以4千千米米/小小时时和和2千千米米/小小时时的的速速度度步步行行回回家家，一一小小狗狗以以6千千米米/小小时时的的速速度度从从哥哥哥哥处处奔奔向向妹妹妹妹，又又从从妹妹妹妹处处奔奔向向哥哥哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？ 如如果果兄兄妹妹上上学学时时小小狗狗也也奔奔波波在在他他们们之之间间，问问当当他们到达学校时小狗在何处？他们到达学校时小狗在何处？
