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1、8.6 相空间和玻耳兹曼分布律相空间和玻耳兹曼分布律 8.6.1 相空间和分布函数相空间和分布函数 8.6.2 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 *8.6.3 能量均分定理的证明能量均分定理的证明 8.6.4 简谐振子的平均能量简谐振子的平均能量8.6.1 相空间和分布函数相空间和分布函数 相空间：相空间： 分分子子的的状状态态可可以以用用分分子子的的位位置置和和速速度度（动动量量）作为独立变量来描述。作为独立变量来描述。相空间体积元：相空间体积元： 分分子子在在任任一一时时刻刻的的运运动动状状态态，均均可可用用相相空空间间中的一个点来代表。中的一个点来代表。 由位置和速度（动量）构成的空间由位置
2、和速度（动量）构成的空间 为为描描述述分分子子同同时时按按位位置置和和按按速速度度的的分分布布，定定义分子义分子相空间分布函数：相空间分布函数： 或，或，分子的状态在相空间分布的概率密度。分子的状态在相空间分布的概率密度。 f(r,v)：状状态态处处于于 (r, v) 附附近近的的单单位位相相空空间间体体积内的分子数，占系统分子总数的百分比。积内的分子数，占系统分子总数的百分比。 ：位位置置处处于于rr+dr、速速度度处处于于vv+dv的的分分子子数数，即即状状态态处处于于相相空空间间体体积积元元d 内的分子数。内的分子数。 N：系统的总分子数：系统的总分子数归一化条件归一化条件 ：8.6.2
3、 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律同同时时按按位位置置和和速度的分布？速度的分布？ 近近独独立立粒粒子子系系统统：位位置置和和速速度度相相互互独独立立，按按概率乘法法则，有概率乘法法则，有 分子的能量：分子的能量： 由归一化条件由归一化条件 ，得，得 平衡态系统中分子的相空间分布函数：平衡态系统中分子的相空间分布函数： 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 体体现现统统计计物物理理学学基基本本思思想想：把把宏宏观观量量看看成成相相应微观量的统计平均值应微观量的统计平均值 玻玻耳耳兹兹曼曼分分布布律律是是气气体体动动理理论论的的基基础础，适适用用于于理理想想气气体体，也也可可用用于于实实际际气气体体、液液体
4、体和和固固体体等等分分子子之之间间相相互互作作用用力力不不是是很很强强的的经经典典的的热热力力学系统。学系统。 物物理理量量 W(r, v) 在在温温度度为为 T 的的平平衡衡态态下下的的统统计计平均值：平均值： *8.6.3 能量均分定理的证明能量均分定理的证明 分分子子在在各各个个自自由由度度上上的的动动能能，可可以以写写成成相相应应的的平方项。平方项。 例如，刚性双原子分子的能量：例如，刚性双原子分子的能量：相空间体积元：相空间体积元： 对对各各个个能能量量平平方方项项求求统统计计平平均均，如如果果统统计计平平均值都等于均值都等于kT/2，就证明了能量均分定理。，就证明了能量均分定理。
5、以转动动能以转动动能 为例，计算平均值。为例，计算平均值。 类类似似地地，对对其其他他平平方方项项求求平平均均，结结果果也也都都等等于于kT/2。 能能量量均均分分定定理理的的一一般般表表述述：在在温温度度为为T的的平平衡衡态态系系统统中中，分分子子能能量量表表达达式式中中每每一一个个平平方方项项对对应的平均能量都等于应的平均能量都等于kT/2。 分分子子中中原原子子振振动动可可看看成成简简谐谐振振动，一个振动自由度能量包括两个平方项：动，一个振动自由度能量包括两个平方项：振动自由度：振动自由度：动能动能u、 ：相对运动的速度、位移：相对运动的速度、位移，势能势能 、k：等效的质量、劲度系数：
6、等效的质量、劲度系数一个振动自由度对应的平均能量：一个振动自由度对应的平均能量：分子平均能量：分子平均能量： 自由度自由度 ：t：平动；：平动；r：转动；：转动；s：振动：振动 固固体体晶晶格格点点阵阵上上原原子子沿沿三三个个互互相相垂垂直直的的方方向向作作简简谐谐振振动动，振振动动自自由由度度s=3，其其他他自自由由度度为为零零，原子振动的平均能量为原子振动的平均能量为3kT。 在在温温度度为为 T 的的平平衡衡态态下下， （mole）固固体体的的内能：内能：8.6.4 简谐振子的平均能量简谐振子的平均能量简谐振子：简谐振子：作简谐振动的系统作简谐振动的系统 按按照照经经典典概概念念，简简谐
7、谐振振子子的的能能量量连连续续变变化化，振子的平均能量振子的平均能量 。 1. 简谐振子的能级简谐振子的能级 在在12.6.2节节将将会会看看到到，频频率率为为 的的一一维维简简谐谐振振子的能级：子的能级：普朗克常量：普朗克常量： 实实际际上上，简简谐谐振振子子的的能量是量子化的。能量是量子化的。 把把h /2取取为为能能量量零零点点，简简谐谐振振子子的的能能量量只只能能是能量单元是能量单元h 的整数倍：的整数倍：h 、2h 、3h 、2. 简谐振子的平均能量简谐振子的平均能量 在在温温度度为为T的的平平衡衡态态下下，频频率率为为 的的一一维维简简谐谐振子的平均能量：振子的平均能量：如果振子频率较低或系统温度较高如果振子频率较低或系统温度较高,回到经典情况。回到经典情况。 为什么？为什么？证明：证明： 由由N个个频频率率为为 的的一一维维简简谐谐振振子子组组成成的的系系统统，达到温度为达到温度为T的平衡态。的平衡态。由归一化条件由归一化条件 , 求出求出 按按玻玻耳耳兹兹曼曼分分布布律律，系系统中能量为统中能量为 n的振子数的振子数Nn与总振子数与总振子数N的比值：的比值：设设把把h /2取为能量零点，则有取为能量零点，则有设设 ，因，因 ，则有，则有 再把再把 换成换成1/kT，即证。，即证。 金刚石金刚石【思考思考】推导爱因斯坦固体摩尔热容公式推导爱因斯坦固体摩尔热容公式
