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1、 学科网（北京）股份有限公司 浙江培优联盟浙江培优联盟 2023 学年第二学期高二学年第二学期高二 4 月月 数学试题数学试题 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上
2、无效试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知集合12,1,0,2,3AxxB=，则AB=（）A1,0,1 B1,0,2 C1,1 D1,0,1,2 2已知复数1i2iz+=，其中i是虚数单位，则z的虚部为（）A35 B35 C15 D15 3在等比数列 na中，公比2q=且121aa+=，则4a=（）A83 B43 C8 D4 4过点()4,3且
3、与双曲线22143xy=有相同渐近线的双曲线方程是（）A221129yx=B221129xy=C221912yx=D221912xy=5下列求导运算正确的是（）A()2e2e=B()2(27)2 27xx+=+C()cos22sin2xx=D2ln1lnxxxx=6韩愈的师说中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余余嘉其能行古道，作师说以贻之”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为（）学科网（北京）股份有限公司
4、 A84 B96 C168 D204 7()1021001210(1)2(2)(2)xaaxaxax+=+，则2a=（）A180 B180 C45 D45 8圆锥的底面半径为3，高为 2，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值及CD与底面所成角的正弦值分别为（）A4 19285,1919 B57285,1919 C4 19 2 19,1919 D57 2 19,1919 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选
5、对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9已知函数()3143fxxx=，则（）A()fx有 3 个零点 B()fx在原点处的切线方程为yx=C()fx的图象关于点()0,0对称 D()fx在0,3上的最大值为 4 10设数列 na是各项均为正数的等比数列，则（）A357,a a a是等比数列 B 3na是等比数列 Clgna是等比数列 D1na是等比数列 11抛物线22(0)ypx p=的焦点为F，抛物线上一点()1,Pt到焦点F的距离为 2，过焦点F的直线l与抛物线交于,A B两点，下列说法正确的是（）A1p=B若直线l
6、的倾斜角为4，则8AB=C111AFBF+=D若2,AFFB A=在x轴的上方，则直线AB的斜率为2 2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 125(23)x 展开式中3x项的系数是_ 13袋中装有 2 个红球，3 个黄球，有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 个球，则 3 次中恰有 2 次抽到黄球的概率是_ 14若函数()()2exf xmxx=在1,3上存在单调递增区间，则m的取值范围是_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算
7、步骤 学科网（北京）股份有限公司 15（13 分）已知等差数列 na的前n项和为nS，满足1354,15aaS+=等比数列 nb满足235109,3bb bb=（1）求 ,nnab的通项公式；（2）若nnncab=，求数列 nc的前n项和nT 16（15 分）在ABC中，,a b c分别是角,A B C的对边，且满足33 cossin0acBbC+=（1）求角C的大小；（2）若2 3,cD=为AB的中点且2CD=，求ABC的面积 17（15 分）在三棱柱111ABCABC中，111,3,ABACAAABAC BC=平面,ABC E是1BC的中点 （1）证明：直线11AB 平面1ABC；（2）求
8、平面AEB与平面11AAC C夹角的正弦值 学科网（北京）股份有限公司 18（17 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，右焦点为F，圆222:O xya+=，过F且垂直于x轴的直线被圆O所截得的弦长为2 3（1）求C的标准方程；（2）若直线:2l ykx=与曲线C交于,A B两点，求OAB面积的最大值 19（17 分）一般地，设函数()fx在区间,a b上连续，用分点011iinaxxxxxb=将区间,a b分成n个小区间，每个小区间长度为()1iixxxx=，在每个小区间1,iixx上任取一点()1,2,iin=，作和式()()()111nnniiiiiiSfxf
9、xx=如果x无限接近于 0（亦即n +）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间,a b上的定积分，记为()dbaSf xx=当()0fx 时，定积分()dbaf xx的几何意义表示由曲线()yfx=，两直线,xa xb=与x轴所围成的曲边梯形的面积如果()fx是区间,a b上的连续函数，并且()()Fxfx=，那么()d()()()bbaaf xxF xF bF a=（1）求()21edxxx+；（2）设函数()()()()()ln1,0fxxg xxfxx=+若()()fxmg x恒成立，求实数m的取值范围；数列 na满足()111,nnaag a=，利用定积分
10、几何意义，证明：21lnnniiiiana=在区间1,3上有解，即2210mxmxx+在区间1,3上有解，所以212xmxx+在区间1,3上有解，所以2min12xmxx+令1,2,4xt t+=，则22211112(1)11xxtxxxttt+=+令()1g ttt=，所以()g t在2,4上单调递增，所以()max15()44g tg=，即2min14215xxx+=+，所以415m，所以实数m的取值范围是4,15+15解：（1）设 na的公差为,ndb的公比为q，学科网（北京）股份有限公司 则11124,54515,2aadad+=+=解得11,1,.nadan=又由()22411109
11、,3,bqbqbqb=解得111,33,nnbbq=（2）由题意得13nncn=，01211 3233 33nnTn=+，则()12131 323133nnnTnn=+-，得12121 1 31 31 33nnnTn=+1311331322nnnnn=+，121344nnnT=+16解：（1）33 cossin0acBbC+=，由正弦定理可得3sin3sin cossin sin0ACBBC+=又因为在ABC中，有()sinsinsin coscos sinABCBCBC=+=+，所以()3 sin coscos sin3sin cossin sin0BCBCCBBC+=，化简得3sin co
12、ssin sin0BCBC+=因为0B，所以sin0B，所以3cossin0CC+=，于是tan3C=因为0C，过F且垂直于x轴的直线被圆O所截得的弦长为2 3，则2222 3ac=又2221,2abc e=，解得2,3,ab=所以C的标准方程为22143xy+=（2）设()()1122,A x yB xy，联立直线l与椭圆C的方程222,1,43ykxxy=+=可得()22341640kxkx+=，所以()2121222164,16 12303434kxxx xkkk+=+，得214k 又原点到直线AB的距离221dk=+，所以()2222212121224 3 41114134kABkxx
13、kxxx xkk=+=+=+，所以2214 3 41234AOBkSAB dk=+令241(0)kt t=，则2241kt=+，所以24 34 34 334442AOBtSttttt=+，当且仅当2t=时，等号成立，学科网（北京）股份有限公司 即当52k=时，OAB的面积取得最大值3 19解：（1）()22221113edeee22xxxxx+=+=+（2）()()fxmg x恒成立，即()()ln101mxxxx+令()()ln11mxxxx=+，则()22111(1)(1)mxmxxxx+=+当1m 时，()0 x，所以()x在)0,+上单调递增，又()00=，所以()0 x在)0,+上恒成立，所以当1m 时，()()fxmg x；1m 时，对(0,1xm，有()0 x，所以()x在(0,1m 上单调递减，所以()()100m时，存在0 x，使()0 x，故()()fxmg x不恒成立 综上，1m 由()1nnag a=，可得111nnnaaa=+，所以1111nnaa=+，即数列1na是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，则()111nnna=+=，所以1nan=11 dnxx是由曲线1yx=，直线1,xxn=及x轴所围成的曲边梯形的面积，而211123niian=+是图一中阴影所示各矩形的面积和，所以11111 dln23nxnnx+=，不等式右边得证
