《2024年高考真题数学试题分类汇编 导数（原卷版+含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考真题数学试题分类汇编 导数（原卷版+含解析）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、120242024年高考数学真题分类汇编-导数年高考数学真题分类汇编-导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1(新课标II II卷)设函数 f(x)=(x+a)ln(x+b)，若 f(x)0，则a2+b2的最小值为()A.18B.14C.12D.12(甲卷理科)设函数 f x=ex+2sinx1+x2，则曲线y=f x在 0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.23二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.3(新课标II II卷).设函数 f(x)=2x3-3ax2+1，则()A.当a1时，f(x)有三个零点B.当a-2当
2、且仅当1x1时，f x0处切线为l(1)若切线l的斜率k=-1，求 f x单调区间；(2)证明：切线l不经过 0,0；(3)已知k=1，A t,f t，C 0,f t，O 0,0，其中t0，切线l与y轴交于点B时当2SACO=15SABO，符合条件的A的个数为？(参考数据：1.09ln31.10，1.60ln51.61，1.94ln70,求证:对于点 M 0,0,存在点 P,使得点 P 是 M 在 f x的“最 近点”；(2)对于 f x=ex,M 1,0,请判断是否存在一个点 P,它是 M 在 f x的“最近点”,且 直线 MP与 y=f x在点 P 处的切线垂直;(3)已知 y=f x在定
3、义域 R 上存在导函数 fx,且函数 g x在定义域 R 上恒正.设点 M1t-1,f t-g t,M2t+1,f t+g t,若对任意的 tR,存在点 P 同时是 M1,M2在 f x的“最近点”,试判断 f x的单调性.120242024年高考数学真题分类汇编-导数年高考数学真题分类汇编-导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1(新课标II II卷)设函数 f(x)=(x+a)ln(x+b)，若 f(x)0，则a2+b2的最小值为()A.18B.14C.12D.1【答案】C【详解】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+，令x+a=0解得x=-a；令ln(x+
4、b)=0解得x=1-b；若-a-b，当x-b,1-b时，可知x+a0,ln x+b0，此时 f(x)0，不合题意；若-b-a0,ln x+b0，此时 f(x)0，不合题意；若-a=1-b，当x-b,1-b时，可知x+a0,ln x+b0；当x 1-b,+时，可知x+a0,ln x+b0，此时 f(x)0；可知若-a=1-b，符合题意；若-a1-b，当x 1-b,-a时，可知x+a0，此时 f(x)0，不合题意；综上所述：-a=1-b，即b=a+1，则a2+b2=a2+a+12=2 a+122+1212，当且仅当a=-12,b=12时，等号成立，所以a2+b2的最小值为12；解法二：由题意可知：
5、f(x)的定义域为-b,+，令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；则当x-b,1-b时，ln x+b0，故x+a0，所以1-b+a0；故1-b+a=0，则a2+b2=a2+a+12=2 a+122+1212，当且仅当a=-12,b=12时，等号成立，所以a2+b2的最小值为12.故选：C.2(甲卷理科)设函数 f x=ex+2sinx1+x2，则曲线y=f x在 0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.23【答案】A【详解】fx=ex+2cosx1+x2-ex+2sinx2x1+x22，则 f0=e0+2cos01+0-e0+2sin
6、001+02=3，即该切线方程为y-1=3x，即y=3x+1，2令x=0，则y=1，令y=0，则x=-13，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=121-13=16.故选：A.曲线 f x=x6+3x-1在 0,-1处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-32【答案】A【详解】fx=6x5+3，所以 f0=3，故切线方程为y=3(x-0)-1=3x-1，故切线的横截距为13，纵截距为-1，故切线与坐标轴围成的面积为12113=16故选：A.二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.3(新课标II II卷).设函数 f(x)=2x3-3ax2+1，则()A.当
7、a1时，f(x)有三个零点B.当a1，故x-,0 a,+时 f(x)0，故 f(x)在-,0,a,+上单调递增，x(0,a)时，f(x)0，f(a)=1-a30，则 f(0)f(a)0，根据零点存在定理 f(x)在(0,a)上有一个零点，又 f(-1)=-1-3a0，则 f(-1)f(0)0,f(a)f(2a)1时，f(x)有三个零点，A选项正确；B选项，f(x)=6x(x-a)，a0时，x(a,0),f(x)0，f(x)单调递增，此时 f(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的a,b，使得x=b为 f(x)的对称轴，即存在这样的a,b使得 f(x)=f(2b-x)，即2
8、x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1，根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有x3的项为2C33(2b)0(-x)3=-2x3，于是等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的a,b，使得x=b为 f(x)的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简f(1)=3-3a，若存在这样的a，使得(1,3-3a)为 f(x)的对称中心，则 f(x)+f(2-x)=6-6a，事实上，f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a于是6-6a=
9、(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a3即12-6a=012a-24=018-12a=6-6a，解得a=2，即存在a=2使得(1,f(1)是 f(x)的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f(x)=2x3-3ax2+1，f(x)=6x2-6ax，f(x)=12x-6a，由 f(x)=0 x=a2，于是该三次函数的对称中心为a2,fa2，由题意(1,f(1)也是对称中心，故a2=1a=2，即存在a=2使得(1,f(1)是 f(x)的对称中心，D选项正确.故选：AD三、填空题：4(新课标I I卷)若曲线y=ex+x
10、在点 0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=.【详解】由y=ex+x得y=ex+1，y|x=0=e0+1=2，故曲线y=ex+x在 0,1处的切线方程为y=2x+1；由y=ln x+1+a得y=1x+1，设切线与曲线y=ln x+1+a相切的切点为 x0,ln x0+1+a，由两曲线有公切线得y=1x0+1=2，解得x0=-12，则切点为-12,a+ln12，切线方程为y=2 x+12+a+ln12=2x+1+a-ln2，根据两切线重合,所以a-ln2=0，解得a=ln2.故答案为：ln25曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在 0,+上有两个不同的交点，则a的取值范围为
11、【答案】-2,1【详解】令x3-3x=-x-12+a，即a=x3+x2-5x+1，令g x=x3+x2-5x+1 x0,则gx=3x2+2x-5=3x+5x-1，令gx=0 x0得x=1，当x 0,1时，gx0，g x单调递增，g 0=1,g 1=-2，因为曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在 0,+上有两个不同的交点，所以等价于y=a与g x有两个交点，所以a-2,1.故答案为：-2,14四、解答题：6(新课标I I卷)已知函数 f(x)=lnx2-x+ax+b(x-1)3(1)若b=0，且 f(x)0，求a的最小值；(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(3)若 f(x)-2当且
12、仅当1x-2当且仅当1x2，故x=1为 f x=-2的一个解，所以 f 1=-2即a=-2，先考虑1x-2恒成立.此时 f x-2即为lnx2-x+2 1-x+b x-130在 1,2上恒成立，设t=x-1 0,1，则lnt+11-t-2t+bt30在 0,1上恒成立，设g t=lnt+11-t-2t+bt3,t 0,1，则gt=21-t2-2+3bt2=t2-3bt2+2+3b1-t2，当b0，-3bt2+2+3b-3b+2+3b=20，故gt0恒成立，故g t在 0,1上为增函数，故g tg 0=0即 f x-2在 1,2上恒成立.当-23bg 0=0即 f x-2在 1,2上恒成立.5当
13、b-23，则当0t1+23b1时，gt0故在 0,1+23b上g t为减函数，故g t-2在 1,2上恒成立时b-23.而当b-23时，而b-23时，由上述过程可得g t在 0,1递增，故g t0的解为 0,1，即 f x-2的解为 1,2.综上，b-23.7(新课标II II卷).已知函数 f(x)=ex-ax-a3(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点 1,f(1)处的切线方程；(2)若 f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围【解析】【小问1详解】当a=1时，则 f(x)=ex-x-1，f(x)=ex-1，可得 f(1)=e-2，f(1)=e-1，即切点坐标为 1,e-2，切线
14、斜率k=e-1，所以切线方程为y-e-2=e-1x-1，即 e-1x-y-1=0.【小问2详解】解法一：因为 f(x)的定义域为R R，且 f(x)=ex-a，若a0，则 f(x)0对任意xR R恒成立，可知 f(x)在R R上单调递增，无极值，不合题意；若a0，令 f(x)0，解得xlna；令 f(x)0，解得xlna；可知 f(x)在-,lna内单调递减，在 lna,+内单调递增，则 f(x)有极小值 f lna=a-alna-a3，无极大值，由题意可得：f lna=a-alna-a30，构建g a=a2+lna-1,a0，则ga=2a+1a0，可知g a在 0,+内单调递增，且g 1=0
15、，不等式a2+lna-10等价于g ag 1，解得a1，所以a的取值范围为 1,+；解法二：因为 f(x)的定义域为R R，且 f(x)=ex-a，若 f(x)有极小值，则 f(x)=ex-a有零点，令 f(x)=ex-a=0，可得ex=a，可知y=ex与y=a有交点，则a0，若a0，令 f(x)0，解得xlna；令 f(x)0，解得xlna；可知 f(x)在-,lna内单调递减，在 lna,+内单调递增，则 f(x)有极小值 f lna=a-alna-a3，无极大值，符合题意，由题意可得：f lna=a-alna-a30，构建g a=a2+lna-1,a0，因为则y=a2,y=lna-1在
16、0,+内单调递增，6可知g a在 0,+内单调递增，且g 1=0，不等式a2+lna-10等价于g ag 1，解得a1，所以a的取值范围为 1,+.8(甲卷理科)已知函数 f x=1-axln 1+x-x(1)当a=-2时，求 f x的极值；(2)当x0时，f x0恒成立，求a的取值范围【答案】(1)极小值为0，无极大值.(2)a-12【解析】【小问1详解】当a=-2时，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，故 f(x)=2ln(1+x)+1+2x1+x-1=2ln(1+x)-11+x+1，因为y=2ln(1+x),y=-11+x+1在-1,+上为增函数，故 f(x)在-1,+上为增函数，而 f(0)=0，故当-1x0时，f(x)0时，f(x)0，故 f x在x=0处取极小值且极小值为 f 0=0，无极大值.【小问2详解】fx=-aln 1+x+1-ax1+x-1=-aln 1+x-a+1x1+x,x0，设s x=-aln 1+x-a+1x1+x,x0，则sx=-ax+1-a+11+x2=-a x+1+a+11+x2=-ax+2a+11+x2，当a-12时，sx0，故s x在 0,
