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1、第六节Green 公式Gauss 公式推广推广高斯公式高斯公式高斯公式 通量与散度 第十一章 平面闭区域上的二重积分区域边界曲线上的曲线积分Green公式推广空间闭区域上的三重积分区域边界曲面上的曲面积分Gauss公式一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式公式)这里里是曲面是曲面在点在点（x，y，z）处的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦.例例1. 用Gauss 公式计算其中 为柱面闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用Gauss
2、公式, 得原式 =(用柱坐标)及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 斯托克斯公式 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空二、空间曲曲线积分与路径无关的条件分与路径无关的条件 第十一章 平面上的二重积分区域边界曲线上 的曲线积分Green公式推广曲面上的第二类曲面积分区域边界曲线上 的曲线积分Stokes公式一一、 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一则有注意注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:例例1. 利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解解: 记三角形域为, 取上侧, 则边界, 方向如图所示. 利用轮换对称性
