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1、学案学案6 6 指指 数数 函函 数数 (1)(1)了解指数函数模型的实际背景了解指数函数模型的实际背景. .(2)(2)理解有理指数幂的含义理解有理指数幂的含义, ,了解实数指了解实数指数幂的含义数幂的含义, ,掌握幂的运算掌握幂的运算. .(3)(3)理解指数函数的概念及其单调性理解指数函数的概念及其单调性, ,掌掌握指数函数图象通过的特殊点握指数函数图象通过的特殊点, ,会画底会画底数为数为2,3,10, , 2,3,10, , 的指数函数的图象的指数函数的图象. .(4)(4)体会指数函数是一类重要的函数模体会指数函数是一类重要的函数模型型. .指数函数指数函数 1.对指数幂运算的考查
2、虽然鲜见单独命题，但是在考对指数幂运算的考查虽然鲜见单独命题，但是在考查指数函数时总有幂的运算，是学生基本运算能力的重查指数函数时总有幂的运算，是学生基本运算能力的重要体现，是历年高考的内容要体现，是历年高考的内容.对于该部分内容的复习对于该部分内容的复习,要要注意算法的优化注意算法的优化,保证考试中运算迅速准确保证考试中运算迅速准确. 2.对指数函数的考查对指数函数的考查,大多以基本函数的性质为依托大多以基本函数的性质为依托,结合运算结合运算,考查函数的图象、性质以及灵活运用函数性质考查函数的图象、性质以及灵活运用函数性质进行大小比较进行大小比较,方程、不等式求解等方程、不等式求解等.有时还
3、需要利用指有时还需要利用指数函数的基本性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性数函数的基本性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性等性质等性质.要熟练掌握指数幂的运算法则，明确算理，能对要熟练掌握指数幂的运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理常见的指数型函数进行变形处理. 1.1.指数幂的概念指数幂的概念 (1)根式根式一般地一般地,如果如果 xn=a (aR,n1,且且nN*), 那么那么x 叫做叫做 .式子式子 叫做叫做 ,这里这里n叫做叫做 ,a叫做叫做 . (2)根式的性质根式的性质a的的n次方根次方根根式根式根指数根指数被开方数被开方数 当当n为奇数时为奇数时,正数的正数的n次
4、方根是一个正数次方根是一个正数,负数负数 的的n次方根是一个负数次方根是一个负数,这时这时,a的的n次方根用符号次方根用符号 表示表示. 当当n为偶数时为偶数时,正数的正数的n次方根有两个次方根有两个,它们互为相它们互为相反数反数,这时这时,正数的正的正数的正的n次方根用符号次方根用符号 表示表示, 负的负的n 次方根用符号次方根用符号 表示表示.正负两个正负两个n次方根可以合写为次方根可以合写为 (a0). ( )n= . 当当n为奇数时为奇数时, = ;当当n为偶数时为偶数时, =|a|= 负数没有偶次方根负数没有偶次方根. 零的任何次方根都是零零的任何次方根都是零.a a a (a0)-
5、 a (a0,m,nN*,且且n1).正数的负分数指数幂是正数的负分数指数幂是 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意的负分数指数幂没有意义义.2)有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质:aras= (a0,r,sQ).(ar)s= (a0,r,sQ).(ab)r= (a0,b0,rQ).= = (a0,m,nN*,且且n1).ars名师伴你行3.指数函数的图象与性质a10a0时时, ;当当x0时时, ;当当x1 0y1 0y1 增函数增函数 减函数减函数 名师伴你行考点考点考点考点1 1 指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值 化
6、简下列各式化简下列各式(其中各字母均为正数其中各字母均为正数):(1) 原式原式= (2)原式原式=【分析】【分析】(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂、先化为分数指数幂以便用法则运算；（幂、先化为分数指数幂以便用法则运算；（2）（）（3）题）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，若符合用法则进行下去，若不符合应再创设条件条件，若符合用法则进行下去，若不符合应再创设条件去求去求.(3)原式原式= 【评析评析评析评析】 一般地一般地,进行指数幂运算时进行指数幂运算时,化负指数为正指数化负
7、指数为正指数,化根式为分数指数幂化根式为分数指数幂,化小数为分数运算化小数为分数运算,同时还要注意同时还要注意运算顺序问题运算顺序问题. 化简下列各式化简下列各式: 【解析解析解析解析】 (1)原式原式= (2)原式原式=考点考点考点考点2 2 指数函数的图象指数函数的图象指数函数的图象指数函数的图象 已知函数已知函数（1）作出图象；）作出图象；（2）由图象指出其单调区间；）由图象指出其单调区间；（3）由图象指出，当）由图象指出，当x取什么值时有最值取什么值时有最值. 【分析分析分析分析】先去绝对值符号，将函数写成分段函数先去绝对值符号，将函数写成分段函数的形式的形式 ，再画出其图象，再画出其
8、图象， 然后根据图象判断其单然后根据图象判断其单调性、最值调性、最值. 【解析解析解析解析】（1）由函数解析式可得）由函数解析式可得 (x-2) (x-2), 其图象分成两部分其图象分成两部分: 一部分是一部分是y= (x-2)的图象，由下列变换可得的图象，由下列变换可得到到: y= y= ;向左平移向左平移2个单位个单位另一部分是另一部分是y=2x+2(x-2)的图象，由下列变换可得到的图象，由下列变换可得到:y=2x y=2x+2,如图如图,实线部分为函数实线部分为函数 的图象的图象.(2)由图象观察知由图象观察知,函数在函数在(-,-2上上 是增函数，在是增函数，在 (-2,+) 上是减
9、函数上是减函数.(3)由图象观察知由图象观察知 ,当当 x=-2时，时， 函数函数 有有最大值，最大值为最大值，最大值为1，没有，没有最小值最小值.向左平移向左平移2个单位个单位 【评析评析评析评析】根据函数与基本函数关系，利用图象变换（平根据函数与基本函数关系，利用图象变换（平移、伸缩、对称）移、伸缩、对称） 作图是作函数图象的常用方法作图是作函数图象的常用方法.若曲线若曲线y=2x+1与直线与直线y=b没有公共点，则没有公共点，则b的取的取值范围为值范围为 .解解:（画出曲线（画出曲线y=2x+1与与直线直线y=b的图象如图所示的图象如图所示.由图象可得由图象可得y=2x+1与直与直线线y
10、=b没有公共点，则没有公共点，则b应满应满足的条件是足的条件是b-1,1.）-1,1考点考点考点考点3 3 指数函数的性质指数函数的性质指数函数的性质指数函数的性质 已知已知f(x)= (a0且且a1).(1)判断判断f(x)的奇偶性的奇偶性;(2)讨论讨论f(x)的单调性的单调性;(3)当当x-1,1时时,f(x)b恒成立恒成立,求求b的取值范围的取值范围. 【分析分析分析分析】 (1)首先看函数的定义域而后用奇偶性首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判断定义判断;(2)单调性利用复合函数单调性易于判断单调性利用复合函数单调性易于判断,还还可用导数解决可用导数解决;(3)恒成立问题关键是探求恒
11、成立问题关键是探求f(x)的最小的最小值值. 【解析解析解析解析】 (1)函数定义域为函数定义域为R,关于原点对称关于原点对称. 又又f(-x)= =-f(x), f(x)为奇函数为奇函数. (2)当当a1时时,a2-10, y=ax为增函数为增函数,y=a-x为减函数为减函数, 从而从而y=ax-a-x为增函数为增函数, f(x)为增函数为增函数. 当当0a1时时,a2-10,且且a1时时,f(x)在定义域内单调递增在定义域内单调递增.(3)由由(2)知知f(x)在在R上是增函数上是增函数,在区间在区间-1,1上为增函数上为增函数.f(-1)f(x)f(1).f(x)min=f(-1)=要使
12、要使f(x)b在在-1,1上恒成立上恒成立,则只需则只需b-1.故故b的取值范围是的取值范围是(-,-1. 【评析评析评析评析】 1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法求法: (1)函数函数y=a f(x)的定义域与的定义域与y=f(x)的定义域相同；的定义域相同； (2)先确定先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定可确定y=a f(x)的值域的值域. 2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤: (1)求复合函数的定义域求复合函数的定义域;
13、 (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; (3)分层逐一求解函数的单调性分层逐一求解函数的单调性; (4)求出复合函数的单调区间求出复合函数的单调区间(注意注意“同增异减同增异减”).若函数若函数y= 为奇函数为奇函数.(1)求求a的值的值;(2)求函数的定义域求函数的定义域;(3)求函数的值域求函数的值域;(4)讨论函数的单调性讨论函数的单调性.【解析解析】函数函数y= , y= .(1)由奇函数的定义，可得由奇函数的定义，可得f(-x)+f(x)=0,即即 =0, =0,a=- .(2)y= , 2x-10,即即x0.函数函数y= 的定义域为的定义域为
14、x|x0.(3)解法一：解法一：x0,2x-1-1.2x-10,02x-1-1或或2x-10. 或或 ,即函数的值域为即函数的值域为yy 或或y0, 0.可得可得y 或或y 或或y0时时,设设0x1x2,则则y1-y2= .0x1x2,1 . 0, 0.y1-y2x1,则则f(x2)-f(x1)当当x2x1时时, 0.又又 0, 0,故当故当x2x1时时,f(x2)-f(x1)0,即即f(x2)f(x1),f(x)是增函数是增函数.证法二证法二:考虑复合函数的增减性考虑复合函数的增减性.f(x)=y1=10x为增函数为增函数,y2=102x+1为增函数为增函数,y3= 为减函数为减函数,y4=
15、- 为增函数为增函数,f(x)= 为为增函数增函数.f(x)= 在定义域内是增函数在定义域内是增函数.(3)令令y=f(x),由由y= ,解得解得102x= ,102x0,-1y1,函函数数y=f(x)的的单单调调增增(减减)区区间间即即为为y=a f(x)的的单单调调增增(减减)区区间间;若若0a1,函函数数y=f(x)的的单单调调增增(减减)区区间间则则为为函数函数y=a f(x)的单调减的单调减(增增)区间区间. 1.1.单调性是指数函数的重要性质单调性是指数函数的重要性质单调性是指数函数的重要性质单调性是指数函数的重要性质, , 特别是函数图象特别是函数图象特别是函数图象特别是函数图象
16、的无限伸展性的无限伸展性的无限伸展性的无限伸展性,x,x轴是函数图象的渐近线轴是函数图象的渐近线轴是函数图象的渐近线轴是函数图象的渐近线 . . 当当当当0a1 0a1a1时时时时,x-,y0;,x-,y0;当当当当a1a1时时时时,a,a的值的值的值的值 越越越越大大大大, ,图象越靠近图象越靠近图象越靠近图象越靠近y y轴轴轴轴, ,递增的速度越快递增的速度越快递增的速度越快递增的速度越快; ;当当当当0a10a1时时时时, a, a的的的的值越小值越小值越小值越小, ,图象越靠近图象越靠近图象越靠近图象越靠近y y轴轴轴轴, ,递减的速度越快递减的速度越快递减的速度越快递减的速度越快. . 2. 2.画指数函数画指数函数画指数函数画指数函数y=axy=ax的图象的图象的图象的图象, ,应抓住三个关键点应抓住三个关键点应抓住三个关键点应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),:(1,a),(0,1),(-1, ).(-1, ).
