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1、1福福 州州 大大 学学 made by syhuang第五章第五章 二次型二次型5.1 二次型的概念二次型的概念5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形5.3 正定二次型正定二次型2福福 州州 大大 学学 made by syhuang5.1 二次型的概念二次型的概念一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法三、合同矩阵三、合同矩阵3福福 州州 大大 学学 made by syhuang定义函数定义函数 为为 k次齐次函数次齐次函数, 一、二次型及其标准形的一、二次型及其标准形的概念概念称为二次型称为二次型. .备注备注: 如果如果4福福 州
2、州 大大 学学 made by syhuang一、二次型及其标准形的一、二次型及其标准形的概念概念称为二次型称为二次型. .例如例如不是二次型不是二次型是二次型是二次型（我们仅讨论（我们仅讨论实实二次型）二次型）实二次型：实二次型： 为实数。为实数。 复二次型：复二次型： 为复数。为复数。5福福 州州 大大 学学 made by syhuang只含有平方项只含有平方项的二次型的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或或法式法式).例如例如为标准形为标准形. 若标准形中的系数只在若标准形中的系数只在 1,0,1 三个数中取值三个数中取值,即有即有称上式为二次型的称上式为二次型的规范形规范形
3、.例如例如为规范形为规范形.6福福 州州 大大 学学 made by syhuang1 1用和号表示用和号表示 对二次型对二次型 二、二次型的表示方法7福福 州州 大大 学学 made by syhuang2 2用矩阵表示用矩阵表示8福福 州州 大大 学学 made by syhuang2 2用矩阵表示用矩阵表示9福福 州州 大大 学学 made by syhuang10福福 州州 大大 学学 made by syhuang2. 用矩阵表示用矩阵表示(参见书参见书P146)对称矩阵对称矩阵 A 称为二次型称为二次型 f 的矩阵的矩阵. f 称为对称矩阵称为对称矩阵 A的二次型的二次型.说明说明
4、: 二次型与对称矩阵之间存在二次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系.对称矩阵对称矩阵 A 的秩称为二次型的秩称为二次型 f 的的秩秩.11福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例1 1 写出二次型写出二次型的矩阵表示式并求的矩阵表示式并求 f 的秩的秩.解解即二次型即二次型 f 的秩为的秩为 3.12福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例2 2 是否为二次型是否为二次型?若是若是, 写出写出 f 的矩阵的矩阵.展开技巧展开技巧 (如作业如作业P35 一一6)解解故故 f 是二次型是二次型, 且其矩阵为且其矩阵为:2613福福 州州 大大 学学
5、 made by syhuang三、合同矩阵三、合同矩阵1. 定义定义5.2 若变换矩阵若变换矩阵 C 是可逆矩阵是可逆矩阵, 线性变换线性变换 x=Cy称为称为可逆可逆(线性线性)变换变换.(见书见书P11)2. 定义定义5.3 设设A和和 B 都是都是 n 阶方阵阶方阵, 若有若有可逆矩阵可逆矩阵 C 使得使得 B=CTAC, 则称矩阵则称矩阵A与与B 合同合同.问：问： “合同合同”是等价关系是等价关系 吗？吗？(等价定义在书等价定义在书P26)3. 定理定理5.1 可逆线性变换不改变二次型的秩可逆线性变换不改变二次型的秩. 说明说明: 二次型二次型 f =xTAx 经可逆变换经可逆变换
6、 x=Cy 后后, 其秩不变其秩不变,但但 f 的矩阵由的矩阵由 A 变为变为 B = CTAC.14福福 州州 大大 学学 made by syhuang5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形 一、一、用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形 二、二、拉格朗日配方法拉格朗日配方法 15福福 州州 大大 学学 made by syhuang一、用正交变换化二次型为标准形一、用正交变换化二次型为标准形 对于二次型对于二次型, 我们讨论的我们讨论的主要问题主要问题是是:寻求可逆的线性变换寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形将二次型化为标准形.由上可知由上可知: 即寻找可逆矩阵即寻
7、找可逆矩阵 C 使使 CTAC 为对角阵为对角阵.此问题称为把对称阵此问题称为把对称阵 A 合同对角化合同对角化. 设设对称阵对称阵 A 的的n个特征值为个特征值为: 1, 2, , n, 对角阵对角阵 = diag ( 1, 2, , n), 则总存在则总存在正交阵正交阵 P 使得使得 P 1AP= , 即即 PTAP= . 16福福 州州 大大 学学 made by syhuang定理定理 5.2 任给二次型任给二次型 f = xTAx, 总有总有正交变换正交变换 x = Py, 使使 f 化为标准形化为标准形:其中其中 1, 2, , n是是 f 的矩阵的矩阵 A 的的n个特征值个特征值
8、. 设设对称阵对称阵 A 的的n个特征值为个特征值为: 1, 2, , n, 对角阵对角阵 = diag ( 1, 2, , n), 则总存在则总存在正交阵正交阵 P 使得使得 P 1AP= , 即即 PTAP= . 推论推论 任给二次型任给二次型 f = xTAx, 总有总有可逆可逆变换变换 x = C z , 使使 f 化为规范性化为规范性:其中其中 r 是是 f 的秩的秩. 17福福 州州 大大 学学 made by syhuang用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:1. 写出二次型写出二次型 f 的矩阵的矩阵 A . 2. 求出矩阵求出矩阵 A 的
9、所有特征值的所有特征值: 1, 2, , n. 3. 对每个对每个 = i 求出对应方程求出对应方程(A E)x=0的基的基础解系础解系, 并正交、单位化得并正交、单位化得: P1, P2, ,Pn. 4. 得正交矩阵得正交矩阵: P = (P1, P2, ,Pn). 5. 正交变换正交变换 x = Py 将将 f 化为标准形化为标准形:18福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例1 1 求一个求一个正交变换正交变换 x = Py, 将二次型将二次型 f 化为标准形化为标准形. 解解f 的矩阵为的矩阵为:A的特征值为的特征值为:19福福 州州 大大 学学 made by sy
10、huang对对 1= 4, 对对 2 = 3= 5, 20福福 州州 大大 学学 made by syhuang正交化得：正交化得：单位化得：单位化得：21福福 州州 大大 学学 made by syhuang得正交矩阵得正交矩阵: P = (P1, P2, P3)故正交变换故正交变换 将将 f 化为标准形化为标准形:22福福 州州 大大 学学 made by syhuang说明说明:故正交变换故正交变换 将将 f 化为标准形化为标准形:则则可逆变换可逆变换 (其中其中 K=PC )将将 f 化为化为规范形规范形: 23福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例2 2 二次型二
11、次型经正交变换经正交变换 化为标准形化为标准形:求求 a, b 及正交矩阵及正交矩阵P.解解f 的矩阵为的矩阵为:由由 f 的标准形可知的标准形可知A的特征值为的特征值为:24福福 州州 大大 学学 made by syhuang对对 1=1, 对对 2 = 0, 25福福 州州 大大 学学 made by syhuang对对 3 = 4, 故所求正交阵为故所求正交阵为 P = (P1, P2, P3)26福福 州州 大大 学学 made by syhuang二、拉格朗日配方法二、拉格朗日配方法用正交变换化二次型为标准形，其用正交变换化二次型为标准形，其特点特点是是保持几何形状不变保持几何形状
12、不变注：注：正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变. (书书P136)问题问题有没有其它方法，也可以把二次型化有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法27福福 州州 大大 学学 made by syhuang1.若二次型若二次型含有含有 的平方项的平方项，则，则先把含有先把含有 的乘积项集中的乘积项集中，然后，然后配方配方，再对其余的变量同，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就
13、得到标准形性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中若二次型中不含有平方项不含有平方项，但是，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换化化二次型为含有平方项的二次型，然后再按二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.28福福 州州 大大 学学 made by syhuang解解例例1 1含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项29福福 州州 大大 学学 made by syhuang所用变换矩阵为所用变换矩阵为30福福 州州 大大 学学 made by syhuang解解例例2 2由于所给二次型中由于所给二次型中无平方
14、项无平方项，所以，所以(含有平方项含有平方项)31福福 州州 大大 学学 made by syhuang再配方，得再配方，得(含有平方项含有平方项)(下面求变换矩阵下面求变换矩阵) 32福福 州州 大大 学学 made by syhuang则变换矩阵为则变换矩阵为设可逆变换为设可逆变换为x=Cz，33福福 州州 大大 学学 made by syhuang正交正交变换得到的得到的实二次型的二次型的标准形准形对角角线元素是元素是实对称称阵的特征的特征值; 联系与区分：联系与区分：且且标准形在不准形在不计特征特征值顺序序时是唯一的是唯一的. 可逆可逆线性性变换得到的得到的实二次型的二次型的标准形准形
15、对角角线元素元素不一定不一定是是实对称称阵的特征的特征值, 标准形也不唯一准形也不唯一.可逆，可逆，但但 根不为根不为134福福 州州 大大 学学 made by syhuang5.3 正定二次型正定二次型一、一、惯性定理惯性定理二、正二、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念三、正三、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别35福福 州州 大大 学学 made by syhuang 一个实二次型一个实二次型, 既可以通过正交变换法化为标既可以通过正交变换法化为标准形准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形也可以通过拉格朗日配方法化为标准形. 用不同的方法其标准形的表达式一般来说是用不同的方法
16、其标准形的表达式一般来说是不同的不同的, 但但标准形中所含有的项数是确定标准形中所含有的项数是确定的的,其项数其项数等于二次型的等于二次型的秩秩, 而且正系数的项数和负系数的项而且正系数的项数和负系数的项数也分别相等数也分别相等. 实二次型的这个性质常称为惯性定理实二次型的这个性质常称为惯性定理 下面我们限定所用的变换为实变换下面我们限定所用的变换为实变换, 来研究二来研究二次型的标准形所具有的性质次型的标准形所具有的性质.36福福 州州 大大 学学 made by syhuang一、惯性定理一、惯性定理 定理定理5.3. 实二次型实二次型f(x) = xTAx总可以通过总可以通过 可逆线性变
17、换可逆线性变换将其化为将其化为标准形标准形 f = k1 y12 + + kn yn2 其中其中k1, , kn中非零的个数中非零的个数r =秩秩( f ), 且且正项的个数正项的个数p与与负项的个数负项的个数q (p+q=r) 都是在可逆线性变换下的都是在可逆线性变换下的不变量不变量.f(或或A)的的正惯性指数正惯性指数 f(或或A)的的负惯性指数负惯性指数 正交变换呢正交变换呢?若二次型若二次型 f 的秩为的秩为r,正惯性指数为正惯性指数为 p , 则则f 的规范形为的规范形为:37福福 州州 大大 学学 made by syhuang二、正二、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念定义定
18、义5.4 设有二次型设有二次型 f = xTAx, 若对任何非零向量若对任何非零向量 x 0, 都有都有 f (x)0 (显然有显然有 f (0 )=0), 则称则称 f 为为正定二次型正定二次型 , 并称并称对称阵对称阵 A 是是正定正定的的. (或称或称 A 是正定阵是正定阵).若对任何若对任何 x 0, 都有都有 f (x)0 ,则称则称 f 为为负定二次型负定二次型 ,并并称称对称阵对称阵 A 是是负定负定的的. (或称或称 A 是负定阵是负定阵). f 为正定二次型为正定二次型.例如例如:则则 f 不为正定二次型不为正定二次型.注意注意例例1 1 设设 A, B 均为正定阵均为正定阵
19、, 证明证明 A+B 亦为正定阵亦为正定阵.3038福福 州州 大大 学学 made by syhuang 练习练习14: 144页页 提高题提高题3 158-159页：页： 一一2 二二9 三三12; 14; 16 39福福 州州 大大 学学 made by syhuang三、正三、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别定理定理5.4 实二次型实二次型 f = xTAx 为正定的充要条件是为正定的充要条件是: 其标准形的其标准形的 n 个系数全为正个系数全为正,即正惯性指数为即正惯性指数为 n . 证明证明设设可逆变换可逆变换 x = Cy 使使 充分性充分性即即 f = xTAx 为正定二
20、次型为正定二次型 . 必要性必要性 假设有假设有 ks 0, 则当则当 y = es =(0, ,0,1,0, ,0)T 时时,(第第s个分量为个分量为1, 其它为其它为0)这与这与 f 正定矛盾正定矛盾. 命题得证命题得证.40福福 州州 大大 学学 made by syhuang三、正三、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别定理定理5.4 实二次型实二次型 f = xTAx 为为正定正定的充要条件是的充要条件是: 其其标准形的标准形的 n 个系数全为正个系数全为正,即正惯性指数为即正惯性指数为 n . 二次型二次型 f = xTAx 为正定等价于其矩阵为正定等价于其矩阵 A 为正定为正定
21、.故判别二次型故判别二次型 f = xTAx 是否正定亦可转化为判别其是否正定亦可转化为判别其矩阵矩阵 A是否是否正定正定.推论推论1 对称阵对称阵 A 正定的充要条件是正定的充要条件是 A 的特征值全为正的特征值全为正.推论推论2 对称阵对称阵 A 正定的充要条件是正定的充要条件是 A均与单位阵均与单位阵E合同合同.41福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例2 2 判定二次型判定二次型的正定性的正定性.解解f 的矩阵为的矩阵为:故故 A 是正定阵是正定阵, 从而从而 f 是正定二次型是正定二次型.42福福 州州 大大 学学 made by syhuang定义定义5.5 对
22、于对于 n 阶矩阵阶矩阵 A=(aij), 行列式行列式称为方阵称为方阵 A 的的 k 阶顺序主子式阶顺序主子式. 定理定理5.5 (霍尔维茨定理霍尔维茨定理)(1) 对称阵对称阵 A 为为正定正定的充要条件是的充要条件是 A 的的各阶各阶顺序主顺序主子式为正子式为正. (2) 对称阵对称阵 A 为为负定负定的充要条件是的充要条件是奇奇数阶顺序主子式为数阶顺序主子式为负负, 偶偶数阶正数阶正. 43福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例3 3 判定二次型判定二次型的正定性的正定性.解解f 的矩阵为的矩阵为:它的顺序主子式它的顺序主子式:故故 A 是正定阵是正定阵, 从而从而
23、 f 是正定二次型是正定二次型.44福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例4 4 判定二次型判定二次型的正定性的正定性.解解f 的矩阵为的矩阵为:它的顺序主子式它的顺序主子式:故故 A 是负定阵是负定阵, 从而从而 f 是负定二次型是负定二次型.45福福 州州 大大 学学 made by syhuang例例5 5 t 取何值时取何值时, 二次型二次型正定正定.解解f 的矩阵为的矩阵为:它的顺序主子式它的顺序主子式:由由 A 正定正定, 得得46福福 州州 大大 学学 made by syhuang 练习练习15: 158-159页：页： 一一4; 5 三三15 四四 18; 19; 20
