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1、一、一、 直线及直线上点的投影特性直线及直线上点的投影特性二、二、 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置三、三、 两直线的相对位置两直线的相对位置3-3 3-3 直线的投影直线的投影四、四、 直线的投影变换直线的投影变换五、五、 直角投影定理直角投影定理六、六、 用直角三角形法求真长及倾角用直角三角形法求真长及倾角两点中x值大的点 在左两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上a a ab b bBA三、三、 两点的相对位置两点的相对位置1. 两点相对位置例：已知直线AB的正面投影、水平投影， 求其侧面投影。b a aba b 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。abc(d)
2、一、一、直线及直线上点的投影特性直线及直线上点的投影特性直线上的点具有两个特性： 1从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 2定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A K: K B = a k : k b= a k : k b = a k : k b 直线上的点直线上的点VabBAabHKkkc abca b abca b c 在在不在不在例题 判断点C是否在线段AB上。aa b bka b k k （应用第三投影）例题例题 已知点K在线段AB上，求点K 的正面投影。例题例题 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。cccabc1.一般位置直线
3、2.投影面平行线 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线3.投影面垂直线 (1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线二、二、 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置1. 一般位置直线ABbbabaaZXaaaOYH YWbbb投影特性：1 a b、 ab、a b均小于实长 2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3不反映 、 、 实角(1) 水平线 只平行于水平投影面的直线aababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真实大小（2）正平线只平行于正面投影面的直线aababbXabab baOZYHYW
4、AB 投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真实大小（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线aa b a bbAB投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3反映 、 角的真实大小XZa b bbaOYHYWab a aba b b aa b ba 投影面平行线投影面平行线1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长。在其平行的那个投影面上的投影反映实长。2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：实长实长实长实长实长实长ba aa b
5、b b a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1 a b 积聚 成一点 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB（1）铅垂线 垂直于水平投影面的直线AB（2）正垂线 垂直于正面投影面的直线bababa投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OX ; ab OZ 3 ab = ab =ABABzXab baOYHYWab（3）侧垂线 垂直于侧面投影面的直线投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =ABABbaababZXabbaOYHYWab投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧
6、垂线侧垂线2.另外两个投影面上，另外两个投影面上，投影反映线段实长。投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )积聚积聚为点为点积聚积聚为点为点积聚积聚为点为点从属于V 面的直线ZXabaOYHYWabbBbbabaA a从属于V 投影面的铅垂线ZYWbXaba(b)OYHa从属于OX轴的直线ZXabaOYHYWabb1.两直线平行2. 两直线相交 3. 两直线交叉三、三、 两直线的相对位置两直线的相对位置1. 平
7、行两直线 1若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。 2平行两线段之比等于其投影之比。baadbbccXbaabdcdc例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。ABAB与与CDCD平行。平行。a b c d abcdc a b d 2. 相交两直线 当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。bXaabkcddck
8、例题例题 判断两直线的相对位置为什么？为什么？两直线相交吗？不相交！交点不符合点的投影规律！3. 交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 b Xa abc d dc11 (2 )2交叉两直线重影点投影的可见性判断(3 )4 1(2)43341 2 12例题例题 判断两直线重影点的可见性3(4)34121(2)例例2 2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。ABAB与与CDCD不平行。不平行。 对于特殊位置直对于特殊位置直线，只有两组同名投线，只有两组同名投影互相平行，空间直影互相平行，空间直线不一定平行。线不一定平行。cbadd b a c b d c a 例
9、：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。cbadd b a c b d c a cdd c bab a 例题例题 判断两直线的相对位置dacboYWYHz例题例题 判断两直线的相对位置11dc 11（一）、换面法的基本概念换面法的基本概念（二）、（二）、新投影面的选择原则新投影面的选择原则（三）、（三）、点的投影变换规律点的投影变换规律（四）、直线的投影变换（四）、直线的投影变换四、四、直线的投影变换直线的投影变换aabb 两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd 直线与平面的交点abcdabcd 两平面夹角V1X1 a1 b1a1b1 X1V1H（一）、换面法的基
10、本概念V/H 体系变为V1/H 体系 换面法换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V1X1 a1 b1a1b1 X1V1H（二）、新投影面的选择原则（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件两个基本条件：1新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2新投影面必须垂直于一个不变投影面。(三)、点的投影变换规律1点的一次变换2点的投影变换规律1点的一次变换X1V1a1a1X1 V1a1X1HV1 V1a12 点的投影变换规律（1） 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2） 点的新投
11、影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。H1X1 点在V/H1体系中的投影 X1H1Va1a1V1X1（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 a1 b1a1b1 X1V1H例题例题1 把一般位置直线变为H1投影面平行线 X1H1Va1b1X1H1Va1 b1（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 bb1X1a1b1 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线V1X1 a1 b12a2 b2把一般位置直线变为投影面垂直线X2H2V1a2 b2X1HV1a1 b1 一、垂直相交的两直线的投影定理一定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理
12、二定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影定理三定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。例题8例题9例题10五、五、 直角投影定理直角投影定理H投影特性投影特性: abox, bac90ABCxobcacabcab返回垂直相交两直线的投影AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac交叉垂直的两直线的投影b 例题例题 求点到直线 MN 的距离。bAB
13、ab|yA-yB|aa211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b例题例题 求两直线AB与CD的公垂线 。 由于直线的线段长与其投影长度之间存在着余弦（cos）关系，故可利用直角三角形来进行求解。六、六、 用直角三角形法求真长及倾角用直角三角形法求真长及倾角 利用直角三角形法求直线AB的实长及其对V、H的倾角ABABabXobayyzz 这一方这一方法除求实长法除求实长外，还可用外，还可用来求解坐标来求解坐标差、投影长差、投影长以及倾角的以及倾角的大小大小。线段实长与倾角的求法线段实长与倾角的求法b 例题例题 求点到直线 MN 的距离。bABab|yA-yB|aab 例题例题 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB =23。bcABab|yA-yB|bc=BCcaa基本要求
