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1、3.3 3.3 实对称矩阵实对称矩阵实数域实数域称为称为实对称矩阵实对称矩阵. .如如A A为对称矩阵为对称矩阵本节证明：本节证明： 实对称矩阵实对称矩阵且对任一且对任一实对称矩阵实对称矩阵A A， 存在存在Q Q，使得使得的特征值和特征向量的特征值和特征向量一定可以对角化，一定可以对角化，对称对称矩阵矩阵1定理定理3.12 3.12 都是都是实数实数. .一、一、 实对称矩阵实对称矩阵实对称实对称矩阵的特征值矩阵的特征值说明：说明： 若若A A是是实数域实数域上的上的则则都是实数都是实数. .对称对称矩阵，矩阵，的特征值的性质的特征值的性质2定理定理3.133.13对应于不同特征值的对应于不
2、同特征值的是相互正交的是相互正交的. .A A是是实对称矩阵实对称矩阵, , A A的两个特征值的两个特征值则则 实对称矩阵的实对称矩阵的特征向量特征向量证证即即3定理定理3.14 3.14 是对角矩阵是对角矩阵. .定理定理3.143.14 则存在则存在n n阶阶正交正交 设设A A是是n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵, , 矩阵矩阵Q Q, , 使得使得 是对角矩阵是对角矩阵. .则存在则存在n n阶阶正交正交 设设A A是是n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵, , 矩阵矩阵Q Q, , 使得使得 4例例特征值特征值: :特征向量特征向量: : 两两正交两两正交将它们单位化将它们单位化令令Q Q为正交矩阵为正交矩阵为单位正为单位正交向量组交向量组5例例 解解特征值特征值: :将将 正交化正交化. .Q Q-1-1A AQ Q为对角矩阵为对角矩阵. . 求正交矩阵求正交矩阵Q Q, ,使使6例例 Q Q-1-1AQAQ为对角矩阵为对角矩阵. . 求正交矩阵求正交矩阵Q,Q,使使特征值特征值将将 正交化正交化. . 令令再将再将单位化单位化. .7特征值特征值: :两两正交两两正交. .再将它们单位化再将它们单位化. .两两正交两两正交, ,为单位向为单位向量量. .Q Q为正交矩阵为正交矩阵. .对应于对应于对应于对应于令令8
