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1、3.3 向量组的线性相关性1线性相关与线性无关线性相关与线性无关定义定义 对给定向量组对给定向量组若存在不全为零若存在不全为零的数的数使使成立成立,否则称为否则称为线性无关线性无关. .则称向量组则称向量组 线性相关线性相关; ;线性相关与线性无关线性相关与线性无关注注: :1.线性无关线性无关2. 向量组只含有一个向量向量组只含有一个向量 时时,线性无关线性无关的充要条件是的充要条件是3. 包含零向量的任何向量组是线性相关的包含零向量的任何向量组是线性相关的; ;4. 仅含两个向量的向量组线性相关的充要条仅含两个向量的向量组线性相关的充要条件是这两个向量的分量对应成比例件是这两个向量的分量对
2、应成比例; ;5. 两个向量线性相关的几何意义是这两个向两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线量共线, , 向量共面向量共面. .完完三个向量线性相关的几何意义是这三个三个向量线性相关的几何意义是这三个例例1 1 设有设有3个向量个向量(列向量列向量): :不难验证不难验证因此因此是是3 3个线性相关的个线性相关的3 3维向量维向量. .完完例例2 设有二个设有二个2维向量维向量: :如果它如果它们线性相关们线性相关, ,那么存在不全为零的数那么存在不全为零的数使使也就是也就是即即于是于是这同这同不全为零的假定是不全为零的假定是矛盾矛盾的的. . 因此因此与与是线性无关的两是线性无关的两个
3、个. .完完证明线性无关的一种方法证明线性无关的一种方法要证明要证明 个向量个向量 线性无关线性无关, ,常用的方常用的方法是法是: :使得使得先假定存在数先假定存在数再设法证明要使上式成立再设法证明要使上式成立,只有只有于是于是, ,由定义即知由定义即知线性无关线性无关. .应特别注意的是应特别注意的是, ,定义中定义中“不全为零不全为零”的条件是不可的条件是不可缺少的缺少的, , 总等于零向量总等于零向量, ,得毫无意义得毫无意义. .线性相关、线性无关的定义就会变线性相关、线性无关的定义就会变否则任何一组向量分别乘以否则任何一组向量分别乘以 0 以后再求和以后再求和完完线性相关性的判定线
4、性相关性的判定定理定理 1向量组向量组 线性相关的充线性相关的充要条件是向量组中要条件是向量组中个向量线性表示个向量线性表示. .证证必要性必要性 设设 线性相关线性相关,则存在不则存在不全为零的数全为零的数 使使成立成立.于是于是不妨设不妨设至少有一个向量可由其余至少有一个向量可由其余即即 可由其余向量线性表示可由其余向量线性表示. .线性相关性的判定线性相关性的判定定理定理 1向量组向量组 线性相关的充线性相关的充要条件是向量组中要条件是向量组中个向量线性表示个向量线性表示. .证证至少有一个向量可由其余至少有一个向量可由其余充分性充分性不妨设不妨设即即 线性相关线性相关. . 证毕证毕.
5、 .设设中至少有一个向量能中至少有一个向量能由其余向量线性表示由其余向量线性表示, ,例如例如, ,设有向量组设有向量组线性相关性的判定线性相关性的判定定理定理 1向量组向量组 线性相关的充线性相关的充要条件是向量组中要条件是向量组中个向量线性表示个向量线性表示. .至少有一个向量可由其余至少有一个向量可由其余例如例如, ,设有向量组设有向量组因为因为故故 线性相关线性相关.由由又如又如, ,则有则有由此可得由此可得即即线性相关线性相关. .设设完完 定理定理 2 设有列向量组设有列向量组则向量组则向量组 线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是: :矩阵矩阵 的秩小于向量的个数的秩小于向量的
6、个数证证 由齐次线性方程组由齐次线性方程组有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是: :其系数矩阵的秩小于未其系数矩阵的秩小于未知数的个数知数的个数, ,推论推论 1充要条件是充要条件是: :个个 维列向量组维列向量组 线性无关的线性无关的量的个数量的个数定理得证定理得证. .矩阵矩阵的秩等于向的秩等于向 定理定理 2 设有列向量组设有列向量组则向量组则向量组 线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是: :矩阵矩阵 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数推论推论 2的充要条件是的充要条件是: :不等于零不等于零. .注注: :推论推论 3 当向量组中所含向量的个数大于向量的当向量组中所含向量的个
7、数大于向量的上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立. .维数时维数时, ,完完个个线性无关线性无关维列向量组维列向量组的行列式的行列式矩阵矩阵此向量组线性相关此向量组线性相关. .例例3维向量组维向量组称为称为维单位坐标向量维单位坐标向量组组, , 讨论其线性相关讨论其线性相关性性. .解解维单位坐标向量维单位坐标向量组构成的矩阵组构成的矩阵是是阶阶单位矩阵单位矩阵. ., ,由由知知即即等于向量组中等于向量组中=故由推论故由推论2知此向量是线性无关知此向量是线性无关的的. .向量的向量的个数个数, , 完完例例4 4 已知已知试讨论向量组试讨论向量组及及的线
8、性相关的线性相关性性. .解解 对矩阵对矩阵施行初等行变换成行阶施行初等行变换成行阶梯形梯形矩阵矩阵, ,可同时看出矩阵可同时看出矩阵及及的的秩秩, ,利用定理利用定理2即可得出即可得出结论结论. .易易见见, ,故向量组故向量组线线性相性相关关. . 向量组向量组线性无关线性无关. .例例5 判断下列向量组是否判断下列向量组是否线性相关线性相关: :解解 对矩阵对矩阵施以初等行变换化为阶梯形施以初等行变换化为阶梯形矩阵矩阵: :秩秩所以向量组所以向量组线性线性相关相关. .完完例例6 证明证明: : 若向量组若向量组线性无关线性无关, ,则向量组则向量组亦亦线性无关线性无关. .证证 设有一
9、组数设有一组数使使成立成立, , 整理得整理得由由线性无关线性无关, , 故故例例6证证即只有即只有时时式才式才成立成立. .因为向量组因为向量组线性无关线性无关. .因为因为故方程组故方程组仅有零仅有零解解. .完完定理定理 3如果向量组中有一部分向量如果向量组中有一部分向量(部分组部分组)线性线性相关相关, 则整个向量组线性相关则整个向量组线性相关.证证 设向量组设向量组 中有中有 个个 向量的向量的部分组线性相关部分组线性相关, , 不妨设不妨设 线性相关线性相关, ,则存在不全为零的数则存在不全为零的数 使使成立成立. .因而存在一组不全为零的数因而存在一组不全为零的数使使成立成立,
10、,线性相关线性相关. .即即注注: :定理亦可叙述如下定理亦可叙述如下: :线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关. .完完定理定理 4 若向量组若向量组 线性相关线性相关, 而而向量组向量组 线性无关线性无关, 则向量则向量 可由可由线性表示且表示法唯一线性表示且表示法唯一.证证 先证先证 可由可由 线性表示线性表示.线性相关线性相关,故存在一组不全为故存在一组不全为零的数零的数 使使成立成立. . 注意到注意到 线性无关线性无关, ,易知易知得证得证. .定理定理 4 若向量组若向量组 线性相关线性相关, 而而向量组向量组 线性无关线性无关,
11、则向量则向量 可由可由线性表示且表示法唯一线性表示且表示法唯一.证证易知易知由由线性无关线性无关, , 再证表示法的唯一性再证表示法的唯一性. . 若若故表示法是唯一的故表示法是唯一的. . 证毕证毕. .定理定理 4 若向量组若向量组 线性相关线性相关, 而而向量组向量组 线性无关线性无关,则向量则向量 可由可由线性表示且表示法唯一线性表示且表示法唯一.证证例如例如, , 可由初始单可由初始单任意一向量任意一向量即即位向量组位向量组唯一地线性表示唯一地线性表示, ,完完定理定理 5 设有两向量组设有两向量组向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示, 若若则向则向量组量组 线性相关
12、线性相关.证证欲证存在不全为零的数欲证存在不全为零的数 使使定理定理 5 设有两向量组设有两向量组向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示, 若若则向则向量组量组 线性相关线性相关.证证代入代入 ,故齐次线性方程组故齐次线性方程组并注意到并注意到有非零解有非零解, ,证毕证毕. .线性相关线性相关. .从而向量组从而向量组推论推论都是线性无关的都是线性无关的, , 证证 向量组向量组 线性无关且可由线性无关且可由 线性表示线性表示, , 向量组向量组 线性无关且可由线性无关且可由 线性表示线性表示, , 证毕证毕. .完完则则则则则则若若与与设向量组设向量组可以相互线性表示可以相互
13、线性表示, , 与与等价命题等价命题向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示, , 向量组向量组 线性无关线性无关, ,若若 则则例例7 设向量组设向量组线性相关线性相关, ,线性无关线性无关, , 证明证明能由能由线性表示线性表示; ;不能由不能由线性表示线性表示. .证明证明因因线性无关线性无关, ,故故线性无关线性无关, ,而而线性相关线性相关, ,用用反证法反证法. .向量组向量组从而从而能由能由线线性表示性表示;假设假设能由能由线性表示线性表示, ,而由而由知知能由能由线性表示线性表示, , 因此因此能由能由表示表示, ,这与这与线性无关矛盾线性无关矛盾. . 证证毕毕.
14、 .完完3.4 向量组的秩26引引 例例设设 是所有是所有 维列向量的全体维列向量的全体, ,是是 中的中的 个向量个向量, , 则由第三节例则由第三节例 3知道知道, ,这这 个个向量是线性无关的向量是线性无关的. . 现在我们在这现在我们在这 个向量中再个向量中再加进去任意一个加进去任意一个 维向量维向量这时有这时有这表明这表明 是一组线性相关的向量组了是一组线性相关的向量组了. .引例引例因此因此 这组向量有这样两个性质这组向量有这样两个性质: :(1) 它们本身是线性无关的它们本身是线性无关的; ;对于具有这种特性的向量组对于具有这种特性的向量组, , 我们将引入新的定义我们将引入新的
15、定义. .组便线性相关了组便线性相关了.(2) 如果再加进去任意一个如果再加进去任意一个 维向量维向量, , 则所得的向量则所得的向量完完极大线性无关向量组极大线性无关向量组定义定义 设有向量组设有向量组若在若在 中能选中能选出出 个向量个向量满足满足(1) 向量组向量组 线性无关线性无关;(2) 向量组向量组 中任意中任意 个向量个向量(若有的话若有的话)都线性都线性相关相关. .无关组无关组(简称为简称为极大无关组极大无关组). .则称向量组则称向量组 是向量组是向量组 的一个的一个极大线性极大线性极大线性无关向量组极大线性无关向量组注注: :极大无关组极大无关组亦称为亦称为最大无关组最大
16、无关组; ;只含零向量的向量组没有极大无关组只含零向量的向量组没有极大无关组; ;向量组的极大无关组可能不止一个向量组的极大无关组可能不止一个, ,向量的个数是相同的向量的个数是相同的. .但由定义知但由定义知, ,例如例如, ,因为任何三个二维向量的向量组必线因为任何三个二维向量的向量组必线性相关性相关, ,一个极大线性无关组一个极大线性无关组. . 大线性无关组大线性无关组. .故故是该向量组的是该向量组的又又线性无关线性无关, ,易知易知也是该向量组的极也是该向量组的极二维向量组二维向量组完完其其定理定理 1 如果如果 是是 的线性无的线性无关部分组关部分组, ,证证 必要性必要性组组,
17、 ,显然显然可由可由线性表示线性表示; ;它是极大无关组的充分必要条件是它是极大无关组的充分必要条件是中的每一个向量都可由中的每一个向量都可由线性表示线性表示. .如果如果的一个极大无关的一个极大无关是是而当而当 不是不是中的数中的数线性相关线性相关, ,又又时时, ,线性无关线性无关, ,是是 中的数时中的数时, ,则当则当故故可由可由线性表示线性表示.定理定理 1 如果如果 是是 的线性无的线性无关部分组关部分组, ,证证它是极大无关组的充分必要条件是它是极大无关组的充分必要条件是中的每一个向量都可由中的每一个向量都可由线性表示线性表示. .充分性充分性如果如果 可由可由 线性表示线性表示
18、, ,注注: :完完则则中任何包含中任何包含个向量的部分个向量的部分组都线性相关组都线性相关, ,于是于是是极大无关组是极大无关组. .向量组与其极大线性无关组可相互线性表示向量组与其极大线性无关组可相互线性表示. .向量组的秩向量组的秩定义定义向量组向量组 的极大无关组所含向量的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩的个数称为该向量组的秩, ,记为记为规定规定: :全由零向量组成的向量组的秩为零全由零向量组成的向量组的秩为零. .例如例如, ,前面已讨论过前面已讨论过, ,二维向量组二维向量组的极大线性无关组的向量的个数为的极大线性无关组的向量的个数为 2, 故故注注: :列向量组的秩之间
19、的关系列向量组的秩之间的关系, ,进一步讨论矩阵的秩与组成矩阵的行向量组或进一步讨论矩阵的秩与组成矩阵的行向量组或完完参见定理参见定理 2. .矩阵与向量组秩的关系矩阵与向量组秩的关系定理定理 2设设 为为 矩阵矩阵,的列向量组的秩的列向量组的秩, , 也等于它的行向量组的秩也等于它的行向量组的秩. .证证 设设则由矩阵则由矩阵的秩的定义知的秩的定义知,则矩阵则矩阵 的秩等于它的秩等于它存在存在 的的 阶子式阶子式从而从而所在的所在的 个列向量线性无关个列向量线性无关; 又又 中所有中所有阶子式阶子式故故 中任意中任意 个列向量个列向量线性相关线性相关, 因而因而 所在的所在的 列是列是 的列
20、向量组的的列向量组的一个极大无关组一个极大无关组, 所以所以 的列向量组的秩等于的列向量组的秩等于同理可证同理可证, 的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于矩阵与向量组秩的关系矩阵与向量组秩的关系定理定理 2 设设 为为 矩阵矩阵,列向量组的秩列向量组的秩, ,也等于它的行向量组的秩也等于它的行向量组的秩. .则矩阵则矩阵 的秩等于它的的秩等于它的推论推论 矩阵矩阵 的行向量组的秩与列向量组的秩相等的行向量组的秩与列向量组的秩相等. .行即是行向量组的一个极大无关组行即是行向量组的一个极大无关组. .矩阵的初等行矩阵的初等行(列列)变换不改变其列变换不改变其列(行行)向量组的线向量组的线性关
21、系性关系.注注: : 若若 是矩阵是矩阵 的一个最高非零子式的一个最高非零子式, ,完完所在的所在的的的 列即是列向量组的一个极大无关组列即是列向量组的一个极大无关组, ,所在所在则则例例1 全体全体维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作求求的一个极大无关组及的一个极大无关组及的的秩秩. .解解 因为因为维单位坐标向量构成的向量组维单位坐标向量构成的向量组是是线性无关的线性无关的, ,又知又知中的任意中的任意个向量都个向量都线性相关线性相关, ,因此向量组因此向量组的一个极大无关的一个极大无关组组, ,是是且且的秩等于的秩等于完完例例2 设矩阵设矩阵向量组的一个极大向量组的一个极大无关组
22、无关组, , 并把不属于极大无关组并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示的列向量用极大无关组线性表示.解解对对施行初等行变换施行初等行变换化为行阶梯形化为行阶梯形矩阵矩阵: :求矩阵求矩阵的列的列知知故列向量组的极大无关组含故列向量组的极大无关组含3个个向量向量. .而三个非零首元在第而三个非零首元在第三三列列, , 故故为列为列例例2解解对对施行初等行变换施行初等行变换化为行阶梯形化为行阶梯形矩阵矩阵: :知知故列向量组的极大无关组含故列向量组的极大无关组含3个个向量向量. .而三个非零首元在第而三个非零首元在第三三列列, , 故故为列为列向量组的一个极大向量组的一个极大无关组无关
23、组. .故故线性无关线性无关. .由由的行最简形的行最简形矩阵矩阵: :完完例例3 求向量组求向量组的秩和一个极大无的秩和一个极大无组组. .解解 向量的分量中含参数向量的分量中含参数向量组的秩和极大无关组向量组的秩和极大无关组与与的取值的取值有关有关. .对下列矩阵作初等行对下列矩阵作初等行变换变换: :1203=例例3解解 向量的分量中含参数向量的分量中含参数向量组的秩和极大无关组向量组的秩和极大无关组与与的取值的取值有关有关. .对下列矩阵作初等行对下列矩阵作初等行变换变换: :显然显然线性无关线性无关, , 且且时时, ,则则且且是极大是极大无关无关组组; ;时时, ,则则且且是极是极
24、大无关大无关组组. .完完定理定理 3若向量组若向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示, 则则证证 设向量组设向量组 的一个极大无关组为的一个极大无关组为向量组向量组 的一个极大无关组为的一个极大无关组为欲证欲证向量组向量组 能由能由 线性表示线性表示,能由能由 线性表示线性表示, ,线性表示线性表示,向量组向量组 能由能由即存在系数矩阵即存在系数矩阵使得使得能由能由线性表示线性表示, ,定理定理 3若向量组若向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示, 则则证证若若则方程组则方程组(简记为简记为 )有非零解有非零解从而方程组从而方程组即即有非零解有非零解, , 这与向量组这与向量
25、组 线性线性无关矛盾无关矛盾, , 证毕证毕. .不能成立不能成立故故推论推论1 等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等(由等价的定义及定由等价的定义及定理推得理推得). .有非零解有非零解, ,定理定理 3 若向量组若向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示, 则则推论推论 2设设则则证证 设矩阵设矩阵 和和 用其列向量表示为用其列向量表示为而而由由因此因此由上面结论得由上面结论得知矩阵知矩阵的列向量组线性表示的列向量组线性表示, ,的列向量组能由的列向量组能由证毕证毕. .即即定理定理 3 若向量组若向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示, 则则推论推论 3设向量组设向量组
26、 是向量组是向量组 的部分组的部分组, ,若向量组若向量组 线性无关线性无关, ,则向量组则向量组 是向量组是向量组 的一个极大无关组的一个极大无关组 (定理一定理一). .证证 设向量组设向量组 含有含有 个向量个向量, 组组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示,故故从而向量从而向量组组 中任意中任意 个向量线性相关个向量线性相关, , 向量组向量组 的一个极大无关组的一个极大无关组. .完完且向量组且向量组线性表示线性表示,能由向量组能由向量组因向量因向量则它的秩为则它的秩为所以向量组所以向量组是是例例4 4 设设及及为两个为两个矩阵矩阵, ,证明证明: : 与与乘积乘积的秩的秩即即证
27、证设设的秩和的秩和的的秩秩, ,不大于不大于即即例例4 4 设设及及为两个为两个矩阵矩阵, ,证明证明: : 与与乘积乘积的秩的秩即即证证的秩和的秩和的的秩秩, ,不大于不大于因此有因此有即即的列向量组的列向量组可由可由的列向量组的列向量组线性线性表示表示, ,故故的极大无关组可的极大无关组可由向量间线由向量间线性关系的判定性关系的判定定理定理: :的极大无关组线性的极大无关组线性表示表示, ,由由例例4 4 设设及及为两个为两个矩阵矩阵, ,证明证明: : 与与乘积乘积的秩的秩即即证证的秩和的秩和的的秩秩, ,不大于不大于类似类似地地: : 设设可以可以证明证明: :因此因此, ,完完例例5
28、 设向量组设向量组能由向量组能由向量组线性线性表示表示, , 且它们的且它们的秩秩相等相等, ,证明向量组证明向量组与向量组与向量组等价等价. .证一证一 只要证明向量组只要证明向量组能由向量组能由向量组线性线性表示表示. .设两个向量组的秩都为设两个向量组的秩都为并设并设组和组和组的极大无组的极大无关组依次为关组依次为和和因因组能组能故故组能由组能由组线性表示组线性表示, 即有即有阶方阵阶方阵使使因因组组线性无关线性无关, , 故故但但因此因此于是矩阵于是矩阵可逆可逆, ,并有并有组线性组线性表示表示, ,由由例例6 已知已知证明向量组证明向量组与与等价等价. .证证 要证存在要证存在2阶方阵阶方阵使使先求先求对增广矩阵对增广矩阵施行初等行变换施行初等行变换:例例6证证因因知知可逆可逆, , 取取即为所即为所求求. .因此向量组因此向量组与与等价等价. .完完
