高三数学第一轮复习 排列组合课件 新人教B版

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1、学案学案2 排列与组合排列与组合 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 排列与组排列与组合合1.理解排列的概念及排列数公式理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的并能利用公式解决一些简单的实际问题实际问题.2.理解组合的概念及组合数公式理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的并能利用公式解决一些简单的实际问题实际问题.

2、 名师伴你行考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 排列与组合的应用是高考考查的重点内容之一，每排列与组合的应用是高考考查的重点内容之一，每年高考都有一两个小题出现年高考都有一两个小题出现.主要考查有附加条件的排主要考查有附加条件的排列与组合的应用题，难度一般不会太大，属于容易或列与组合的应用题，难度一般不会太大，属于容易或中档题，而且常与概率结合在一起命题中档题，而且常与概率结合在一起命题.返回目录返回目录 排列与排列数排列与排列数组合与组合数组合与组合数定定义义 1.1.排列排列: :一般地一般地, ,从从n n个不同元素中取个不同元素中取出出m(mnm(mn) )个元素个元素, , ,

3、,叫做从叫做从n n个个列列. .特别地特别地, ,当当n=mn=m时时, ,叫做叫做n n个不同元个不同元素素的一个的一个 . . 2.2.排列数排列数: :从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn) )个元素个元素的的 ，叫做从，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的排列数个元素的排列数1.1.组合组合: :一般地一般地, ,从从n n个个不同元素中取出不同元素中取出m(mnm(mn) )个元素个元素 , ,叫做从叫做从n n个不同元素中个不同元素中取出取出m m个元素的一个组个元素的一个组合合. .2.2.组合数：从组合数：从n n个不同个不同元素中

4、取出元素中取出m(mm(mn) )个个不同元素不同元素 ，叫做从，叫做从n n个个不同元素中取出不同元素中取出m m个元个元素的组合数素的组合数. .按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列全排列全排列 所有不同排列的个数所有不同排列的个数合成一组合成一组所有不同组所有不同组 合的个数合的个数 名师伴你行返回目录返回目录 表示法表示法表示法表示法 组合数组合数公式公式公式公式排列数公式排列数公式 =或或 =组合数公式组合数公式或或性质性质性质性质 =n!;0!=1备注备注备注备注n,m N+且且mnn(n-1)(n-2)(n-m+1)名师伴你行返回目录返回目录 (1)解方程解方程: (2)

5、计算：计算：考点考点考点考点1 1 有关排列、组合的计算有关排列、组合的计算有关排列、组合的计算有关排列、组合的计算 【分析【分析【分析【分析】利用排列数和组合数公式进行解答利用排列数和组合数公式进行解答.名师伴你行返回目录返回目录 【解析【解析【解析【解析】（1）由）由 得得 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1), 整理得整理得3x2-17x+10=0. 解得解得x=5或或 (舍去舍去). 即原方程的解为即原方程的解为x=5.名师伴你行返回目录返回目录 38-n0 3n38-n n+213n 38-n,3n,21+n N*. 解得解得 n 且且n N*, n=10. （2

6、）依题意得）依题意得名师伴你行返回目录返回目录 （1） 和和 中，中，m,n须满足须满足nm0且且m,n N*. （2）在计算组合数、排列数时多用公式的多项）在计算组合数、排列数时多用公式的多项式或分式形式，在有关化简或证明题中多用阶乘式式或分式形式，在有关化简或证明题中多用阶乘式.名师伴你行返回目录返回目录 证明下列恒等式：证明下列恒等式：（1）（2）名师伴你行返回目录返回目录 证明证明证明证明:（1）证法一证法一证法一证法一：左端：左端= 证法二证法二证法二证法二： 表示从表示从n+1个元素中取个元素中取m个元素的个元素的排列个数，其中不含某元素排列个数，其中不含某元素a1的有的有 个，含

7、有个，含有a1的可的可这样进行排列：先排这样进行排列：先排a1,有有m种排法，再从另外种排法，再从另外n个元素个元素中取出中取出m-1个元素排在剩下的个元素排在剩下的m-1个位置上，有个位置上，有 种排法，故含种排法，故含a1的有的有 种排法种排法.由加法原理知：由加法原理知：名师伴你行返回目录返回目录 （2）由组合数性质知：）由组合数性质知： 左边左边=右边右边.名师伴你行返回目录返回目录 有有3名男生，名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列名女生，按下述要求，分别求出其不同排列的种数的种数.（1）选其中）选其中5人排成一行；人排成一行；（2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头

8、的位置；）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置；（3）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头；）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头；（4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；（5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（6）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；（7）全体排成一行，其中男生不能排在一起；）全体排成一行，其中男生不能排在一起；（8）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保 持不变；持不变；（9）全体

9、排成一行，甲、乙两人间恰有）全体排成一行，甲、乙两人间恰有3人；人；（10）全体排成前后两排，前排）全体排成前后两排，前排3人，后排人，后排4人人.考点考点考点考点2 2 排列问题排列问题排列问题排列问题 名师伴你行返回目录返回目录 【分析【分析【分析【分析】本题包括了有限制条件的排列问题的几本题包括了有限制条件的排列问题的几种基本类型，注意在处理这类问题时一般应遵循：种基本类型，注意在处理这类问题时一般应遵循：“先特殊，后一般先特殊，后一般”的原则，即先考虑特殊的元素或特的原则，即先考虑特殊的元素或特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于“必相邻必相邻”

10、元素，常采用元素，常采用“捆绑法捆绑法”的技巧，对于的技巧，对于“不相邻不相邻”元素常采用元素常采用“插空法插空法”的技巧，此外的技巧，此外“正难则反正难则反”是是处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正确的重要手段确的重要手段.名师伴你行返回目录返回目录 【解析【解析【解析【解析】（1）由排列的定义可知不同排列的种数为）由排列的定义可知不同排列的种数为 =2 520. （2）首先在中间或两头之一排甲，共有）首先在中间或两头之一排甲，共有 种方法；种方法；其次在所剩的其次在所剩的6个位置上对其余个位置上对其余6人进行全排列，共有人进行全排列，

11、共有 种方法，依分步乘法计数原理，所有不同的排列数为种方法，依分步乘法计数原理，所有不同的排列数为 =2 160. （3）仿（）仿（2）先排甲、乙共）先排甲、乙共 种排法，其余种排法，其余5人人尚有尚有 种排法，故共有种排法，故共有 =240种不同排种不同排法法. （4）当乙排在首位时，共有）当乙排在首位时，共有 种排法种排法;当乙不在首当乙不在首位时，先排乙有位时，先排乙有 种方法，再排甲也有种方法，再排甲也有 种方法，种方法，最后其余各元素有最后其余各元素有 种方法，故共有种方法，故共有 种不同排法种不同排法. 所有不同的排列种数为所有不同的排列种数为 =3 720.名师伴你行返回目录返回

12、目录 （5）将男生、女生分别各看成一个元素，其排法有）将男生、女生分别各看成一个元素，其排法有 种，又男生的排列有种，又男生的排列有 种，女生的排列有种，女生的排列有 种，种，由分步乘法计数原理，所有不同的排列数为由分步乘法计数原理，所有不同的排列数为 =288. （6）先排男生有）先排男生有 种排法，此三人中间及两端种排法，此三人中间及两端恰有恰有4空供女生排列，有空供女生排列，有 种排法，从而共有种排法，从而共有 =144不同的排列不同的排列. （7）从）从7人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可，人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可，故所求不同排列数为故所求不同排列数为 - =4 320.

13、 （8）只须在）只须在7个位置中选个位置中选4个位置将女生进行排列，个位置将女生进行排列，再将再将3名男生按顺序插入，共有名男生按顺序插入，共有 =840种不同排法种不同排法. 名师伴你行返回目录返回目录 （9）先选）先选3人排在甲、乙之间，有人排在甲、乙之间，有 种排法，种排法，又因甲、乙排列有又因甲、乙排列有 种，再将此种，再将此5人看作一个元素与人看作一个元素与其余其余2人进行全排列有人进行全排列有 种，故共有种，故共有 =720种不同排法种不同排法. （10）前后二排形式变化，顺序之实犹存，其排法）前后二排形式变化，顺序之实犹存，其排法仍有仍有 种种.本题主要考查解排列、组合的一些基本

14、方法本题主要考查解排列、组合的一些基本方法.名师伴你行返回目录返回目录 给定数字给定数字0,1,2,3,5,9，每个数字最多用一次，每个数字最多用一次.（1）可以组成多少个四位数？）可以组成多少个四位数？（2）可以组成多少个四位奇数？）可以组成多少个四位奇数？（3）可以组成多少个四位偶数？）可以组成多少个四位偶数？（1 1）解法一）解法一）解法一）解法一：从：从“位置位置”考虑，由于考虑，由于0不能放在首位，因不能放在首位，因此首位数字只能有此首位数字只能有 种取法，其余种取法，其余3个数位可以从余下个数位可以从余下的的5个数字中任取个数字中任取3个排列，所以可以组成个排列，所以可以组成 =3

15、00（个）四位数（个）四位数.解法二解法二解法二解法二：从：从“元素元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字考虑，组成的四位数可以按有无数字0分成两类，有数字分成两类，有数字0的有的有 个，无数字个，无数字0的有的有 个，所以共组成个，所以共组成 + =300（个）四位数（个）四位数.名师伴你行返回目录返回目录 解法三解法三解法三解法三：间接法，从：间接法，从6个元素中取出个元素中取出4个元素的所有排个元素的所有排列中，减去列中，减去0在首位上的排列数即为所求在首位上的排列数即为所求.所以共有所以共有 - =300（个）四位数（个）四位数. （2）从）从“位置位置”考虑，个位数字必须是奇数有考虑

16、，个位数字必须是奇数有 种种排法，首位数字不能是排法，首位数字不能是0，则在余下的，则在余下的4个非个非0数字中取数字中取1个个有有 种取法，其余两个数位的排法是种取法，其余两个数位的排法是 ，所以共有，所以共有 =192（个）四位奇数（个）四位奇数. （3）解法一解法一解法一解法一：间接法，由（：间接法，由（1），（），（2）知共有）知共有300-192=108（个）四位偶数（个）四位偶数. 解法二解法二解法二解法二：从：从“位置位置”考虑，按个位数字是否为考虑，按个位数字是否为0分成分成两种情况，两种情况，0在个位时有在个位时有 个四位偶数，个四位偶数，2在个位在个位时，有时，有 个四位偶

17、数，共有个四位偶数，共有 + =108（个）四位偶数（个）四位偶数.名师伴你行返回目录返回目录 7名男生和名男生和5名女生中选取名女生中选取5人人,分别求符合下列条件的选法分别求符合下列条件的选法总数有多少种总数有多少种?(1)A,B必须当选必须当选;(2)A,B必不当选必不当选;(3)A,B不全当选不全当选;(4)至少有至少有2名女生当选名女生当选;(5)选取选取3名男生和名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等名女生分别担任班长、体育委员等5种种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任生担任.【分析【分析【分析【分析】 (1

18、)(2)(3)属于组合问题属于组合问题,可用直接法可用直接法,(4)属于组合属于组合问题问题,可用间接法可用间接法,(5)属于先选后排问题属于先选后排问题,应分步完成应分步完成.考点考点考点考点3 3 组合问题组合问题组合问题组合问题 名师伴你行返回目录返回目录 【解析【解析【解析【解析】 (1)由于由于A,B必须当选必须当选,那么从剩下的那么从剩下的10人中人中选取选取3人即可人即可, =120种种. (2)从除去从除去A,B两人的两人的10人中选人中选5人即可人即可, 有有 =252种种. (3)全部选法有全部选法有 种种,A,B全当选有全当选有 种种, 故故A,B不全当选有不全当选有 -

19、 =672种种. (4)注意到注意到“至少有至少有2名女生名女生”的反面是只有一名女生的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行或没有女生，故可用间接法进行. 有有 - - =596种选法种选法. 名师伴你行返回目录返回目录 (5)分三步进行分三步进行: 第一步第一步:选选1男男1女分别担任两个职务为女分别担任两个职务为 ; 第二步第二步:选选2男男1女补足女补足5人有人有 种种; 第三步第三步:为这为这3人安排工作有人安排工作有 . 由分步乘法计数原理共有由分步乘法计数原理共有 =12 600种选法种选法.名师伴你行返回目录返回目录 在解组合问题时在解组合问题时,常遇到至多、至少问题，

20、此时可常遇到至多、至少问题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量考虑用间接法求解以减少运算量.如果同一个问题涉如果同一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则及排列组合问题应注意先选后排的原则.名师伴你行返回目录返回目录 某医院有内科医生某医院有内科医生12名名,外科医生外科医生8名名,现选派现选派5名参加赈名参加赈灾医疗队灾医疗队,其中其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种共有多少种不同选法不同选法?(2)甲、乙均不能参加甲、乙均不能参加,有多少种选法有多少种选法?(3)甲、乙两人至少有一人参加甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法有多少种

21、选法?(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选有几种选法法?名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 【解解析析】(1)只只需需从从其其他他18人人中中选选3人人即即可可,共共有有 =816(种种).(2)只只需需从从其其他他18人人中中选选5人人即即可可,共共有有 =8 568(种种).(3)分分两两类类:甲、甲、乙乙中中有有一一人人参参加加,甲、甲、乙乙都都参参加加,共共有有 + =6 936(种种).(4)解解法法一一(直直接接法法)：至至少少一一名名内内科科医医生生一一名名外外科科医医生生的的选选法法可可分分四四类类:一一内内四四外外;二二

22、内内三三外外;三三内内二二外外;四四内内一一外外,所所以以共共有有 + + + =14 656(种种).解解法法二二(间间接接法法)：由由总总数数中中减减去去五五名名都都是是内内科科医医生生和和五五名名都都是是外外科科医医生生的的选选法法种种数数,得得 -( + )=14 656(种种).返回目录返回目录 从从6名短跑运动员中选出名短跑运动员中选出4个人参加个人参加4100m的接力赛，的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？少种参赛方案？ 【分析【分析【分析【分析】 此题是有限制条件的排列、组合问此题是有限制条件的排列

23、、组合问题，可从以下三点进行考虑：题，可从以下三点进行考虑： （1）先考虑特殊元素或先考虑特殊位置；）先考虑特殊元素或先考虑特殊位置； （2）直接解法和间接解法；）直接解法和间接解法； （3）注意重复与遗漏）注意重复与遗漏.考点考点考点考点4 4 排列组合的综合应用排列组合的综合应用排列组合的综合应用排列组合的综合应用 名师伴你行返回目录返回目录 【解析【解析【解析【解析】解法一解法一（直接法）：把问题分为三类，甲、（直接法）：把问题分为三类，甲、乙两人均不参赛，参赛方案种数为乙两人均不参赛，参赛方案种数为 ；甲、乙两人；甲、乙两人有且只有一人参赛，参赛方案种数为有且只有一人参赛，参赛方案种数

24、为 （4！-3！）；甲、乙两人均参赛，参赛方案种数为）；甲、乙两人均参赛，参赛方案种数为 （4！-23!+2!）.因此，所求的参赛方案种数为因此，所求的参赛方案种数为 + （4！-3！）！）+（4！-23！+2！）！）=252. 解法二解法二（间接法）：（间接法）：6人中取人中取4人参赛的种数为人参赛的种数为 ；去除甲、乙两人至少有；去除甲、乙两人至少有1人排在不恰当的位置种数为人排在不恰当的位置种数为 ；因为前面把甲、乙两人都排在不恰当的位置种数减去了；因为前面把甲、乙两人都排在不恰当的位置种数减去了两次，因此应加上甲、乙两人都排在不恰当位置的种数为两次，因此应加上甲、乙两人都排在不恰当位置

25、的种数为 .因此，所求的参赛种数为因此，所求的参赛种数为 - + =252.名师伴你行返回目录返回目录 对于较复杂的排列、组合综合题，往往还要根据对于较复杂的排列、组合综合题，往往还要根据受限元素或受限位置进行分类或分步处理，但必须层受限元素或受限位置进行分类或分步处理，但必须层次清楚，不重不漏，也可以先不考虑受限条件，然后次清楚，不重不漏，也可以先不考虑受限条件，然后扣除不符合条件的种数扣除不符合条件的种数.名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考天津卷如图，用四种不同颜色给图中年高考天津卷如图，用四种不同颜色给图中的的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，六个点涂色，要

26、求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有色方法共有( )A.288种种 B.264种种C.240种种 D.168种种名师伴你行返回目录返回目录 【解析】【解析】分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A,D,E有有A34种方法，再涂点种方法，再涂点B,C,F有有2种方法，故有种方法，故有 2=48（种）方法；（种）方法；第二类，涂四种颜色，先涂点第二类，涂四种颜色，先涂点A,D,E有有 种方法，再涂点种方法，再涂点B,C,F有有 种方法，故共有种方法，故共有 3 =216（种）方（种）

27、方法法.由分类加法计数原理，共有由分类加法计数原理，共有48+216=264（种）不同的涂（种）不同的涂法法.故应选故应选B.名师伴你行返回目录返回目录 1. 1.对有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题对有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题对有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题对有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法：思想方法：思想方法：思想方法： (1)(1)有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置殊元素或特殊位置殊元素或特殊位置殊元素或特殊位

28、置. . (2) (2)元素必须相邻的排列，可以先将相邻的元素看元素必须相邻的排列，可以先将相邻的元素看元素必须相邻的排列，可以先将相邻的元素看元素必须相邻的排列，可以先将相邻的元素看作是一个整体作是一个整体作是一个整体作是一个整体. . (3) (3)元素不相邻的排列，可以制造空档插进去元素不相邻的排列，可以制造空档插进去元素不相邻的排列，可以制造空档插进去元素不相邻的排列，可以制造空档插进去. . (4) (4)元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，利用规定顺

29、序的实情求结果制排列后，利用规定顺序的实情求结果制排列后，利用规定顺序的实情求结果制排列后，利用规定顺序的实情求结果. .名师伴你行返回目录返回目录 2. 2.解排列、组合混合题一般是先选元素，后排元素；解排列、组合混合题一般是先选元素，后排元素；解排列、组合混合题一般是先选元素，后排元素；解排列、组合混合题一般是先选元素，后排元素；或充分利用元素的性质进行分类、分步；再利用两个基或充分利用元素的性质进行分类、分步；再利用两个基或充分利用元素的性质进行分类、分步；再利用两个基或充分利用元素的性质进行分类、分步；再利用两个基本原理作最后处理本原理作最后处理本原理作最后处理本原理作最后处理. . 3. 3.对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的不同形式不同形式不同形式不同形式. .处理这类选择题可采用分析答案形式用排除处理这类选择题可采用分析答案形式用排除处理这类选择题可采用分析答案形式用排除处理这类选择题可采用分析答案形式用排除法，错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误法，错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误法，错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误法，错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误. .名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行