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1、差分方程建模（或差分方程建模（或 2 2）满足一差分方程的序满足一差分方程的序列列yt称为此差分方程的解。类似于微分称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程数时，称此解为该差分方程的的通解通解。若解中不含任意常数，。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的则称此解为满足某些初值条件的特解特解，例如，考察两阶差分，例如，考察两阶差分方程方程 易易见 与与 均是它的特解，而均是它的特解，而 则为它的通解，其它的通解，其 中中c1，c2为两个任两个任 意常数。意常数。类似于微
2、分方程，称差分方程似于微分方程，称差分方程为为n阶线性差分方程，阶线性差分方程，当当0时称其为时称其为n阶非齐次线性差分阶非齐次线性差分方程，而方程，而记t时段初市段初市场上的供上的供应量量 (即上即上 一一时段的生段的生产 量量)为xt ，市，市场上上该商品的价格商品的价格 为Pt 。商品成交的。商品成交的价格是由需求曲价格是由需求曲线决定的，决定的， 即即随着随着 ,Mt将将趋于平衡点于平衡点M*,即商品量将即商品量将趋于平衡于平衡 量量x*,价价格将格将趋于平衡价于平衡价 格格P*。图中的箭中的箭线反映了在市反映了在市场经济下下该商品的商品的供供应量与价格的量与价格的发展展趋势。xoPP
3、0P2P*P1xx1x2x0x*需求曲线需求曲线供应曲线供应曲线M0M2M1M*PoM3M2M1但是，如果供应曲线和需求曲但是，如果供应曲线和需求曲线呈图线呈图中的形状，则平衡点中的形状，则平衡点M*是不稳定的，是不稳定的，Mt将越来越远将越来越远离平衡点。离平衡点。图图和图和图的区别在哪里，的区别在哪里，如何判定平衡点的稳定如何判定平衡点的稳定性呢？性呢？但是，如果供应曲线和需求曲线呈但是，如果供应曲线和需求曲线呈图图中的形状，则平衡点中的形状，则平衡点M*是不稳定的，是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波
4、动也会导致市场供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性的讨论在经济学中被称为市场经济的的讨论在经济学中被称为市场经济的蛛网模型蛛网模型。不难看出，在不难看出，在图图中平衡点中平衡点M*处供应曲线的切线斜率大于处供应曲线的切线斜率大于需求曲线切线斜率的绝对值，需求曲线切线斜率的绝对值，而在图而在图中情况恰好相反。中情况恰好相反。现在利用差现在利用差分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡否正确。我们知道，平衡点点M
5、*是否稳定取决于是否稳定取决于在在M*附近供、附近供、需曲线的局部性态。为此，需曲线的局部性态。为此，用用M*处供、需曲线的线性近似来处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型代替它们，并讨论此线性近似模型中中M*的稳定性。的稳定性。设供供应曲曲线与需求曲与需求曲线的的线性近似分性近似分别为 和和 式中，式中，a、b分分别为供供应曲曲线在在M*处的切的切线斜率与需求曲斜率与需求曲线 在在M*处切切线斜率的斜率的绝对值。根据市根据市场经济的的规律，当供律，当供应量量 为xt时，现时段的价格段的价格，又，又对价格价格，由供，由供应曲曲线解得下一解得下一时段的商品量段的商品量由此由此导出
6、一出一阶差分方程：差分方程：（4.18）此差分方程的解在此差分方程的解在(b/a)b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生产时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步趋于者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步趋于稳定；反之，稳定；反之，若若ab（商品紧缺易引起顾客抢购），该商品（商品紧缺易引起顾客抢购），该商品供售市场易造成混乱供售市场易造成混乱.如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不格波动而造成的经济损失，他应当提高自己
7、的经营水平，不应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，若若t 时段的商品量为时段的商品量为xt 时，仍有时，仍有 （4.21）将（将（4.19）式、（）式、（4.21）式代入（）式代入（4.20）式，整理得）式，整理得 （4.19）但但t+1时段的商品量段的商品量则不再不再为而被修正而被修正为（4.20）由（由（4.19）式得）式得（4.22）（4.22）式是一个常系数二）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程性差分方程，
8、特征方程为其特征根为其特征根为记。若。若，则此此时差分方程（差分方程（4.22）是不）是不稳定的。定的。，若若，此，此时特征根特征根为一一对共共轭复数，复数，。由线性差分方程稳定的条件，由线性差分方程稳定的条件，当当r2即即b2a时（时（4.22）式）式是稳定的，从是稳定的，从而而M*是稳定的平衡点。是稳定的平衡点。不难发现，生产者管理方式的不难发现，生产者管理方式的这一更动不仅使自己减少了因这一更动不仅使自己减少了因价格波动而带来的损失，而且价格波动而带来的损失，而且大大消除了市场的不稳定性。大大消除了市场的不稳定性。生产者在采取上述方式来确定生产者在采取上述方式来确定各时段的生产量后，如发
9、现市各时段的生产量后，如发现市场仍不稳定（场仍不稳定（b2a），可按类），可按类似方法试图再改变确定生产量似方法试图再改变确定生产量的方式，此时可得到更高阶的的方式，此时可得到更高阶的差分方程。对这些方程稳定性差分方程。对这些方程稳定性条件的研究很可能会导出进一条件的研究很可能会导出进一步稳定市场经济的新措施。步稳定市场经济的新措施。例例4.15国民经济的稳定性国民经济的稳定性国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。现在我们用差
10、分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析一下国民经济的稳定性问题。一下国民经济的稳定性问题。再生再生产的投的投资水平水平It取决于消取决于消费水平的水平的变化量，化量，设政府用于公共政府用于公共设施的开支在一个不太大的施的开支在一个不太大的时期内期内变动不大，不大，设为常数常数G。故由。故由可得出可得出。将。将及及代入代入。记yt为第第t周期的国民收入，周期的国民收入，Ct为第第t周期的消周期的消费资金。金。Ct的的值决决定于前一周期的国民收入，定于前一周期的国民收入，设 （4.23）（4.23）式是一个二）式是一个二阶常系数差分方程，其特征
11、方程常系数差分方程，其特征方程为，相，相应特征根特征根为 （4.24）成立成立时才是才是稳定的。定的。 （4.24）式可用于）式可用于预报经济发展展趋势。现用待定系数法求方程用待定系数法求方程 （4.23）的一个特解）的一个特解令令代入（代入（4.23）式，得）式，得故当（故当（4.24）式成立）式成立时，差分方程，差分方程 （4.23）的通解）的通解为其中其中为的模，的模，为其幅角。其幅角。例如，若取例如，若取， 易易见，此，此时关系式关系式 （4.12）成立，又若）成立，又若 取取y0=1600，y1=1700， G=550，则由迭代公式由迭代公式求得求得y2=1862.5, y3=200
12、7.8, y4=2110.3, y5=2171.2, y6=2201.2, y7=2212.15, y8=2213.22, y9=2210.3,。易见易见例例4.16商品销售量预测商品销售量预测(实例实例)某商品前某商品前5年的销售量见表年的销售量见表。现希望根据。现希望根据前前5年的统计年的统计数据预测数据预测第第6年起该商品在各季度中的销售量。年起该商品在各季度中的销售量。从表中可以看出，该商品在从表中可以看出，该商品在前前5年相同季节里的销售量呈增年相同季节里的销售量呈增长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度
13、的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，一种办法是应一种办法是应用用最小二乘法最小二乘法建立经验模型。即根据本例中数建立经验模型。即根据本例中数据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量大体按线性增长，可设销售量由由15253217152430151320271512182614111625121234第五年第五年第四年第四年第三年第三年第二年第二年第
14、一年第一年销售量售量季度季度 年份年份求得求得a=1.3，b=9.5。根据根据预测第六年起第一季度的销售量为预测第六年起第一季度的销售量为=17.3，=18.6，如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示第第t年第一年第一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：或或等等。等等。上述差分方程中的系数
15、不一定能使所有上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，数据吻合，较为合合理的理的办法是用最小二乘法求一法是用最小二乘法求一组总体吻合体吻合较好的数据。以建立好的数据。以建立二二阶差分方程差分方程 为例，例，为选取取a0,a1,a2使使最小，解最小，解线性方程性方程组：即求解即求解得得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二。即所求二阶差分方程差分方程为 虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值测值y6=21
16、，y7=19，等。等。上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前其系数与前5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种能会相
17、差甚大，但对同一种商品，这种差异差异应当是微小的，应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。为此，将季度此，将季度编号号 为t=1,2,20，令，令或或 等，利用全体数等，利用全体数 据来据来拟合，求合，求拟合得最好的系数。以二合得最好的系数。以二阶差分方程差分方程为例，例，为 求求a0、a1、a2使得使得最小最小求解求解线性方程性方程组即求解三元一次方程即求解三元一次方程组解得解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程故求得二阶差分方程（t21）根据此式迭代，可求得第六年和第七年第
18、一季度销售量的预根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为测值为y21=17.58，y25=19.16还是较为可信的。还是较为可信的。例例4.16人口问题的差分方程模型人口问题的差分方程模型在在3.2中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模型中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模型Malthus模型模型和和Verhulst模型模型（又称（又称Logistic模型）。前者模型）。前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时效果较效果较好。好。1、离散时间离散时间的的Logistic模型模型在研究人口或种群数量的实际
19、增长情况时，有时采用离散化在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十分
20、自然地提了出来。分自然地提了出来。建立离散模型的一条直接途径是建立离散模型的一条直接途径是 用用差分代替微分差分代替微分。从人口。从人口问题的的Logistic模型模型可可导出一出一阶差分方程差分方程（4.25）(4.25)式中右端的因子式中右端的因子常被称为常被称为阻尼因子阻尼因子。当当PtN时，种群增长接时，种群增长接近近Malthus模型；当模型；当Pt接近接近N时，这一因子时，这一因子将越来越明显地发挥阻尼作用，将越来越明显地发挥阻尼作用，若若PtN，它将使种群增长，它将使种群增长速度速度在在Pt接近接近N时变得越来越慢，若时变得越来越慢，若PN，它将使种群呈负，它将使种群呈负增长。增
21、长。（4.25）式可改写）式可改写为（4.26）记,于是于是(4.26)式又可改写式又可改写为（4.27）虽然，（虽然，（4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，其后的，其后的x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。可利用方程确定的递推关系迭代求出。差分方程（差分方程（4.27）有两个平衡点，）有两个平衡点，即即x*=0和和。类似。类似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定（时不能确定除外）。例如，对时不能确定除外）。例如，对，讨论，讨论在在x*处的线性近似方程处的线性近似方程可知，当可知，当（即（即）时平衡点平衡点是是稳定的，此定的，此时 （）若当若当，则平稳点，则平稳点是不稳定的，（这与对是不稳定的，（这与对一切一切a，p*=N均为均为Logistic方程的稳定平衡点不同）。方程的稳定平衡点不同）。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！26
