理论力学习题讲解1

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1、1 理论力学习题讲解求体系的拉氏量、哈密顿量、求解运动方程求体系的拉氏量、哈密顿量、求解运动方程求哈密顿求哈密顿- -雅克比方程及其应用，雅克比方程及其应用，正则变换的理解和讨论正则变换的理解和讨论求惯性张量、刚体动能等求惯性张量、刚体动能等2P10:P10:习题习题1 1P11:P11:习题习题3 3P19:P19:习题习题1,2 1,2 P20:P20:要会要会P25:P25:习题习题1 1P33:P33:习题习题1 1P70:P70:习题习题1,3 1,3 文中内容要掌握文中内容要掌握P101: P101: 习题习题1,21,2P113:P113:习题习题1 1 补充定轴转动补充定轴转动

2、P130:P130:推导推导 P135:P135:习题习题1,2,31,2,3P140:P140:习题习题1,21,2P146:P146:内容内容P150:P150:内容内容P156:P156:习题习题1 13一、求力学体系的拉氏量与运动方程一、求力学体系的拉氏量与运动方程4P10.1P10.1均匀重力场中的平面双摆均匀重力场中的平面双摆注：这样坐标选取注：这样坐标选取y y方向上和书上差一负号方向上和书上差一负号5P11.3 (a)P11.3 (a)平面摆，悬挂点沿着竖直圆平面摆，悬挂点沿着竖直圆一定常圆平率一定常圆平率omegaomega运动运动6解：解： 体系的自由度为体系的自由度为1，

3、以，以r为广义坐标，为广义坐标， 代入拉氏方程得代入拉氏方程得 （2）2. 转动杆上质点的运动转动杆上质点的运动 如图所示，一光滑杆在竖直平面如图所示，一光滑杆在竖直平面OYZ内以角速度内以角速度绕水平轴绕水平轴ox转动转动, 一质点约束在杆上运动一质点约束在杆上运动,t=0时时 ,求质点的运动规律。求质点的运动规律。 7上式为二阶线性常系数非齐次微分方程。设上式为二阶线性常系数非齐次微分方程。设 是（是（2）式的一个特解，将（）式的一个特解，将（3）式对）式对t求二次导数，得求二次导数，得则（则（2）式的解为）式的解为 根据初始条件：根据初始条件：t=0时，时，可得可得将（将（3）、（）、（

4、4）式代入（）式代入（2）式解得）式解得 ，所以（，所以（2）式的一个）式的一个特解为特解为8代入（代入（6）式，得质点的运动规律）式，得质点的运动规律 93. 如图求体系的平衡位置如图求体系的平衡位置 解：体系自由度解：体系自由度2，广，广义坐坐标： 1011根据平衡条件根据平衡条件注意，该条件最后用，代入运动方程，简化之注意，该条件最后用，代入运动方程，简化之求解！求解！12 1 试求如图试求如图6.3所示的两个耦合振子的振动频率。所示的两个耦合振子的振动频率。三、三、 微振动微振动13 解：自由度解：自由度为2，以位移，以位移为广义坐标，则为广义坐标，则 （1） 将（将（1）代入拉格朗日

5、方程得）代入拉格朗日方程得 （2）（3）引进两个新的坐标引进两个新的坐标 分别将（分别将（2）和（）和（3）相加减，得）相加减，得由此得由此得和和振动模式的频率分别为振动模式的频率分别为 和和 14基本解法：基本解法： 1.应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程， 2.解方程。解方程。15 2 弦的等分点上三个相同质点弦的等分点上三个相同质点m的振动（的振动（P.181例例）势能形式势能形式, ,弦的性质弦的性质: :1.1.力横向处处相等力横向处处相等2.2.小角度小角度=力大小相等力大小相等16 解：弦的伸解：弦的伸长量量为为（1）17弦的弹性势能和

6、动能为弦的弹性势能和动能为 将将T、V代入拉格朗日方程得代入拉格朗日方程得设（设（2）式的特解为）式的特解为（3）（2）18将（将（3）代（）代（2），并引入），并引入 ，得，得 （5）式有不为零的解的条件是）式有不为零的解的条件是 （5） 它的三个根为它的三个根为（6） （4）19将（将（6）式中的）式中的分别代入（分别代入（4）式中的任意两式，可得振幅关系：）式中的任意两式，可得振幅关系：（7） （8） （9） 20则方程（则方程（2）的通解为）的通解为 （10） 式中的式中的和和六个常数由初始条件决定。六个常数由初始条件决定。21Landao. pLandao. p22232425 5

7、两个相同的单摆耦合成双单摆。两个相同的单摆耦合成双单摆。 求体系微振动的运动规律。求体系微振动的运动规律。26 解：解：自由度自由度为2 2，取，取和和为广义坐为广义坐标，则标，则 （1） 将（将（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得 （2）令（令（2）式的特解为）式的特解为 （3）27将（将（6）代入（）代入（4）中的任一式得振幅比值）中的任一式得振幅比值（7）（8）这里这里 为方程（为方程（4）的根，于是两个特解即可确定，两个特）的根，于是两个特解即可确定，两个特解的解的 线性叠加即得通解线性叠加即得通解 常数常数 由初始条件决定。由初始条件决定。 28将（将（3）代入（）代入（2）

8、得）得（4）要使上式的要使上式的有不恒为零的解，必须有不恒为零的解，必须（5）由（由（5）得）得（6）296 耦合摆已知：摆长l，摆锤质量m， 弹性系数k求：摆微振动规律30解解耦合摆的动能为耦合摆的动能为自由度为自由度为 广义坐标广义坐标2是是 保守力系保守力系 T=否否 ？耦合摆的势能为耦合摆的势能为31化简到广义坐标化简到广义坐标小振动线性化小振动线性化32运用拉氏方程运用拉氏方程, ,得动力学方程得动力学方程试特解：试特解：二阶常系数线性齐次方程组二阶常系数线性齐次方程组33特征方程：特征方程：系统具有两个固有频率：第一固有频率（基频）系统具有两个固有频率：第一固有频率（基频）和第二固

9、有频率。和第二固有频率。34特解一：特解一：特解二：特解二：对应于线性代数的对应于线性代数的_对称模式对称模式反对称模式反对称模式35通解通解40 1均匀长方形薄片的边长为均匀长方形薄片的边长为a与与b，质量为，质量为m求此长方形薄片绕其求此长方形薄片绕其对角线以对角线以匀速转动时的转动惯量和角动量。匀速转动时的转动惯量和角动量。 解：如图所示，坐标轴取在惯量主解：如图所示，坐标轴取在惯量主轴上，因轴上，因则转动惯量为则转动惯量为四、刚体四、刚体41角动量为角动量为42hR为圆锥体与平面为圆锥体与平面 2如如图4.31所示，均所示，均质圆锥体的高体的高为h，质量量为m，接触线同接触线同轴的夹角

10、，质心轴的夹角，质心C C在圆锥体轴线在圆锥体轴线上，且距顶点为上，且距顶点为，速率为，速率为。求该圆锥体在求该圆锥体在平面上作无滑动滚动时的平面上作无滑动滚动时的动能。圆锥顶角为动能。圆锥顶角为2。m1aabm1m243解：圆锥体作定点转动，解：圆锥体作定点转动，OD为转动瞬轴。所以为转动瞬轴。所以 44当几何关系当几何关系, ,代入代入, ,得得 则动能则动能45 1 写出粒子在中心写出粒子在中心势场 中的哈密顿函数和正则方程。中的哈密顿函数和正则方程。 解：粒子在中心势场中运动的特点、自由解：粒子在中心势场中运动的特点、自由度、广义坐标如何？度、广义坐标如何？粒子的粒子的拉格朗日函数拉格

11、朗日函数为为 （1） 广义动量广义动量 （2） 哈密顿函数哈密顿函数 五、五、 哈密顿力学哈密顿力学46于是得正则方程于是得正则方程 （3） （4） 47 3 用正则变换法求平面谐振子的运动用正则变换法求平面谐振子的运动，振，振 解：设振子沿解：设振子沿x，y方向的动量为方向的动量为动频率为动频率为，哈密顿函数为，哈密顿函数为设母函数设母函数由（由（7.19）式，得）式，得 （2）48将（将（3 3）式中的）式中的及及表示代入（表示代入（1 1）中，得）中，得 （4） （5） 由（由（7.15）式，得）式，得 （6） 积分得积分得 （7） 积分常数积分常数由起始条件决定。由起始条件决定。49

12、由（由（3）式得振子运动方程）式得振子运动方程 （8） 50 例例2 用哈密顿用哈密顿雅可比方程解开普勒问题。雅可比方程解开普勒问题。 解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿-雅可比方程形式为雅可比方程形式为 （1） 哈密顿函数哈密顿函数 （2） 由由，代入（，代入（2 2）和（）和（1 1）得哈密顿）得哈密顿雅可比方程为雅可比方程为 （3） 51求出方程（求出方程（3）的解，代入）的解，代入 （4） 可得可得用用乘（乘（3 3）式两边，并移项得）式两边，并移项得 （5） 用分离变量法求解，令用分离变量法求解，令 （6） 52将（将（6）代入（）代入（5）得）得 （7

13、） 上式左边只是上式左边只是r的函数，右边只是的函数，右边只是的函数，要使其对任意的的函数，要使其对任意的r、都成立，都成立，只有当它们都等于同一个常量时才有可能。这个常量必为正值，因此把它用只有当它们都等于同一个常量时才有可能。这个常量必为正值，因此把它用 来表示，由此可得来表示，由此可得 （8） （9） 积分（积分（8）式得）式得 （10）（9）式可改写为）式可改写为53令令，则（，则（1313）式可改写为）式可改写为 （14） 这正是开普勒问题的轨道方程。这正是开普勒问题的轨道方程。 （15） 这就是开普勒问题的运动方程这就是开普勒问题的运动方程r=r（t）的积分表示式，再将（）的积分表示式，再将（15）和（）和（14）联立起来即可解得联立起来即可解得=（t）。）。